Pembuktian Rumus Trigonometri cos(a + b) dan cos(a – b)

Tulisan ini adalah lanjutan dari tulisan sebelumnya dari pembuktian sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b dan sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b. Sekarang mencoba membuktikan rumus dari cos (a + b). Perhatikan gambar dibawah ini.

cos a =

sin b =

dengan a + b + 90⁰ = 180⁰

b = 90⁰ – a

sehingga sin (90⁰ – a) =

jadi sin (90⁰ – a) = sin b = cos a

dari penjelasan diatas, diperoleh

cos (a + b) = sin (90⁰ – (a + b))

= sin ((90⁰ – a) – b)

= sin (90⁰ – a) cos b – cos (90⁰ – a) sin b [menggunakan sifat sin (a – b)]

sin b =

cos a =

dengan a + b + 90⁰ = 180⁰

a = 90⁰ – b

sehingga cos (90⁰ – b) =

jadi cos (90⁰ – b) = cos a = sin b

= cos a cos b – sin a sin b [menggunakan penjabaran diatas]

cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b

Bagaimana dengan pembuktian untuk rumus trigonometri cos(a – b) ? Kita dapat memanfaatkan sifat yang sudah dibuktikan diatas yaitu dengan mengambil b = -c, sehingga diperoleh

cos (a + (-c)) = cos a cos (-c) – sin a sin (-c)

karena –c berada pada kuadran IV dengan cos (-c) = cos c dan sin (-c) = -sin c, sehingga

= cos a cos c – sin a (-sin c)

= cos a cos c + sin a sin c

cos (a – c) = cos a cos c + sin a sin c