Akar 3 Bilangan Irrasional


Saat mencoba ngerjain tugas bersama salah seorang teman, ada soal yang menyita perhatian saya dan cukup menarik menurut saya, yaitu membuktikan akar 3 sebagai bilangan irrasional. Sebenarnya ide pembuktiannya sama seperti Pembuktian Akar 2 Merupakan Bilangan Rasional, tapi disini digunakan sedikit modifikasi. Pembuktian ini kita tetap menggunakan pembuktian kontradiksi.

misal \sqrt{3} adalah bilangan rasional sehingga dapat ditulis sebagai \sqrt{3} = \frac{p}{q} dengan p, q \in \mathbb{Z} dengan q \neq 0 dan FPB (p, q) = 1 [p dan q saling prima]

3 = \frac{p^2}{q^2}

3q2 = p2

3q2 adalah kelipatan 3, berakibat p2 juga kelipatan 3 dan p adalah kelipatan 3. Disini kita akan menggunakan tiga kasus untuk menunjukkan bahwa hanya p = 3m yang merupakan kelipatan 3 yaitu dengan memandang kasus p = 3m, p = 3m + 1 dan p = 3m + 2.

kasus 1 : p = 3m

p2 = (3m)2

p2 = 9m2

p2 = 3(3m)2

jadi p2 merupakan kelipatan 3

kasus 2 : p = 3m + 1

p2 = (3m + 1)2

p2 = 9m2 + 6m + 1

p2 = 3(3m2 + 2m) + 1

jadi p bukan merupakan kelipatan 3.

Kasus 3 : p = 3m + 2

p2 = (3m + 2)2

p2 = 9m2 + 12m + 4

p2 = 3(3m2 + 4m + 1) + 1

jadi p bukan merupakan kelipatan 3

dari 3 kasus diatas, p2 merupakan kelipatan 3 maka p juga merupakan kelipatan 3 dengan p = 3m dengan suatu p \in \mathbb{Z}

3q2 = p2

3q2 = (3m)2

3q2 = 9m2

q2 = 3m2

3m2 adalah kelipatan 3 maka q2 adalah kelipatan 3 dan berakibat q adalah kelipatan 3. Jadi p dan q juga kelipatan 3, sehingga FPB (p, q) = 3. Hal ini kontradiksi dengan pengandaian. Jadi akar 3 adalah bilangan irasional.

Iklan

20 comments on “Akar 3 Bilangan Irrasional

  1. Mau nanya nih mas. Kok pada akhir pembuktian ditulis FPB(p,q)=3?

    Pada pembuktian di atas kita peroleh q kelipatan 3, berarti kita bisa menulis q=3k untuk k suatu bilangan bulat. Jika dilanjutkan, kita peroleh k dan m juga kelipatan 3. Tulis m=3a dan k=3b untuk a dan b suatu bilangan bulat.

    Akibatnya: p=3m=9a dan q=3k=9b.
    Artinya p dan q mempunyai faktor persekutuan lain yang lebih dari 3, sehingga FPB(p,q) \neq 3.

    Jika dilanjutkan, akan kita peroleh bahwa a dan b juga kelipatan 3. Yang artinya 27 juga faktor persekutuan p dan q.

    Mohon dikoreksi, jika ada kekeliruan dalam pendapat saya, mas. 🙂

      • Menurut saya, begini mas.
        q kelipatan 3, artinya q=3k untuk suatu bilangan bulat k. Dengan mensubstitusi q=3k ke persamaan q^2 = 3m^2, kita peroleh (3k)^2 = 3m^2 yang dapat disederhanakan menjadi 3k^2 = m^2.

        Untuk menunjukkan k dan m kelipatan 3, kita dapat menggunakan cara yang mas gunakan untuk menunjukkan q dan p kelipatan 3 berdasarkan persamaan 3q^2 = p^2.

        • ooooo sepertinya saya paham kmn arahnya mas.
          jadi, begini mas, dalam pembuktian itu qta melakukan langkah per langkah (harus sesuai dengan kaidah). Nah kadang yg jadi msalah, kita sudah melakukan langkah per langkahnya benar tapi kita tidak menemukan “tujuan'” buktinya.
          Sehingga dalam pembuktian, kita harus melihat “tujuan” buktinya mas.
          Sehingga dalam pembuktian di tulisan ini, dgn menunjukkan bahwa FPB(p,q) = 3, itu qta sudah menunjukkan kontradiksinya.
          Ini pendapat saya mas, mgkn ada yg masih keliru juga 😀

          • Oiya mas.
            Setelah menunjukkan bahwa p dan q merupakan kelipatan 3, kita sudah dekat dengan tujuan pembuktian ini (kontradiksi). Yang menjadi masalah adalah bagaimana kita membahasakannya.
            Dalam hal ini, saya lebih condong ke penggunaan kata “Faktor Persekutuan” daripada “Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)”.
            Menurut saya, 3 tidak bisa disebut sebagai FPB dari p dan q, karena 3 bukanlah yang terbesar. p dan q mempunyai faktor persekutuan lain yang ternyata lebih besar daripada 3.

    • kalau FPB tidak sama dengan 1, nanti kita gk akan bisa gunakan pembuktian kontradiksinya mas. Itu hanya ide agar bisa menuju pembuktiannya

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s