Problem (15) : Menyelesaikan Tiga Persamaan dengan OBE


Terpikir dalam kepala, apakah penjelasan yang saya paparkan dalam blog ini masih terlalu ribet ? Inin terpikir setelah salah satu pengunjung bertanya lewat email tentang mencari solusi persamaan. Melalui tulisan ini mencoba untuk menjabarkan langkah demi langkah untuk penyelesaian tiga persamaan sebagai berikut :

2x + 4y + 5z = 36

x + 3y +   z = 13

3x + 5y + 2z = 29

Untuk menyelesaikan ini bisa kita gunakan Operasi Baris Elementer (OBE) atau menggunakan eliminasi / substitusi seperti yang telah diajarkan di sekolah. Tapi disini saya akan menyelesaiakn persamaan tersebut dengan OBE.

  1. Jika 3 persamaan diatas diubah kedalam matriks, maka diperoleh seperti dibawah ini

    \left [\begin{array}{rrr} 2& 4& 5\\ 1& 3& 1\\ 3& 5& 2 \end{array} \right ] \left [\begin{array}{rrr} x\\ y\\ z \end{array} \right ] = \left [\begin{array}{rrr} 36\\ 13\\ 29 \end{array} \right ]

    Langkah ini hanya ingin menunjukkan persamaan diatas dapat dibentuk menjadi suatu matriks dengan solusinya yaitu x, y dan z.

  2. Kemudian bentuk tiga persamaan diatas kedalam matriks yang diperbesar

    \left[ \left.\begin{matrix} 2& 4& 5\\ 1& 3& 1\\ 3& 5& 2 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 36\\ 13\\ 29\end {array}\right]

  3. Setelah dibentuk matriks diperbesar ini, baru kita lakukan OBE dengan mereduksi kedalam bentuk Eselon Baris atau bentuk Eseleon Baris Tereduksi.

    ubah terlebih dahulu baris pertama kolom paling kiri (a11 := baris 1, kolom 1) sedemikian sehingga entry matriksnya menjadi 1.

    baris 1 : B1 : 2

    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& \frac{5}{2}\\ 1& 3& 1\\ 3& 5& 2 \end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 18\\ 13\\ 29\end {array}\right]

    ubah entry-entry dibawah a11 menjadi nol.

    baris 2 : B2 – B1 dan baris 3 : B3 – 3B1

    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& \frac{5}{2}\\ 0& 1& -\frac{3}{2}\\ 0& -1& -\frac{11}{2}\end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 18\\ -5\\ -25\end {array}\right]

    sekarang perhatikan entry a22 (baris 2, kolom 2), kita harus ubah entrynya menjadi 1, tapi berhubung entry a22 sudah bernilai 1. Maka langkah selanjutnya yaitu mengubah entry yang dibawah a22 menjadi nol.

    baris 3 : B3 + B2

    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& \frac{5}{2}\\ 0& 1& -\frac{3}{2}\\ 0& 0& -7\end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 18\\ -5\\ -30\end {array}\right]

    setelah ini ubah lagi entry a33 (baris 3, kolom 3) sedemikian sehingga entrynya bernilai 1.

    baris 3 : B3 : -7

    \left[ \left.\begin{matrix} 1& 2& \frac{5}{2}\\ 0& 1& -\frac{3}{2}\\ 0& 0& 1\end{matrix}\right| \begin {array}{rrr} 18\\ -5\\ \frac{30}{7}\end {array}\right]

    matriks terakhir ini sudah berbentuk Eselon Baris, sampai sini kita langsung bisa hitung solusinya, yaitu

    baris 3 diperoleh : z = \frac{30}{7}

    baris 2 diperoleh : y – \frac{3}{2}z = -5

    y – \frac{3}{2}.\frac{30}{7} = -5 (substitusi “z”)

    y = -5 + \frac{75}{7} = –\frac{35}{7} + \frac{45}{7} = \frac{10}{7}

    baris 3 diperoleh : x + y + \frac{5}{2}z = 18

    x + \frac{10}{7} + \frac{5}{2}.\frac{30}{7} = 18

    x + \frac{10}{7} + \frac{75}{7} = \frac{126}{7}

    x = \frac{126}{7}\frac{95}{7} = –\frac{31}{7}

jadi solusi dari persamaan diatas adalah x = –\frac{31}{7}, y = \frac{10}{7} dan z = \frac{30}{7}

Iklan

4 comments on “Problem (15) : Menyelesaikan Tiga Persamaan dengan OBE

  1. kalo soalnya kaya gini gmana yah saya kurang ngerti

    tentukan nilai a manakah sistem persamaan linear
    x + 2y – 3z = 4
    3x – 5y + 5z = 2
    4x + y + (a^2 – 14)z = a + 2
    yang mempunyai
    a. tidak memiliki pemecah
    b. memiliki satu pemecah
    c. memiliki banyak pemecah

    • pemecah ?
      Maksudnya solusi ?
      ubah dulu ke3 persamaa tsb kedalam bentuk matriks augmentasi (matriks yg diperluas)
      kemudian OBE sampe jadi gaus jordan.
      a. tidak punya solusi, artinya dalam satu baris entri2nya nol tapi kolom kanan pada matriks augmentasinya tidak sama dengan nol.
      saya agk susah ngejelasinnya, coba baca di buku hiward anton.
      dibuku itu kalo gk salah ada penjelasannya utk no.b dan no.c,

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s