Fibonacci dan Induksi Matematika


Barisan Fibonacci adalah barisan recursif yang ditemukan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Italia yang bernama Leonardo da Pisa. Barisan ini tergolong cukup uniq karena barisan yang terbentuk sebagai berikut F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, F3 = F1 + F2 = 2, F4 = F2 + F3 = 3, F5 = F3 + F4 = 8, … .Jika diperhatikan, bahwa suku ke-n merupakan penjumlahan dua suku sebelumnya untuk n \geq 2. Jadi barisan ini didefinisikan secara recursif sebagai berikut.

Fn = \left\{\begin{matrix} 0, \quad jika \quad n=0 \\1, \quad jika \quad n=1 \\ F_{n-1}+F_{n-2}, \quad jika \quad lainnya \end{matrix}\right.

Untuk barisan Fibonacci ini ada sifat yang menarik menurut saya, dimana setiap kuadrat barisannya (sampai barisan ke-n) apabila dijumlahkan sama dengan perkalian barisan ke-n dikalikan dengan barisan ke-(n+1). Secara formal dapat ditulis sebagai berikut.

Tunjukkan bahwa :

F12 + F22 + F32 + … + Fn2 = Fn.Fn+1

Bukti :

Untuk membuktikan sifat ini kita akan menggunakan Induksi Matematika.

Basis Induksi :

untuk n = 1

F12 = F1.F1+1

1 = 1.1

1 = 1 [benar]

Langkah Induksi :

untuk n = k, diasumsikan benar

F12 + F22 + F32 + … + Fk2 = Fk.Fk+1

Hipotesis Induksi :

akan dibuktikan benar untuk n = k + 1

F12 + F22 + F32 + … + Fk2 + Fk+12 = Fk.Fk+1 + Fk+12

= Fk+1(Fk + Fk+1)

berdasarkan definisi barisan fibonacci, maka diperoleh

= Fk+1.Fk+2

= Fk+1.F(k+1)+1 \blacksquare


4 comments on “Fibonacci dan Induksi Matematika

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s