Bilangan Prima dan Irrasional

Dari postingan sebelumnya untuk menunjukkan akar 2 merupakan bilangan irrasional dan akar 3 merupakan bilangan irrasional, maka terpikir untuk menulis kasus umum yang merupakan bilangan irrsioanal. Setelah bongkar-bongkar buku, ternyata dapat soal kira-kira bunyinya seperti ini “prove that is irrational number for any prime “.

Pada pembuktian kasus umum ini juga kita akan menggunakan metode pembuktian kontradiksi. Tapi sebelumnya saya akan memberikan sebuah lemma yang nanti akan digunakan untuk menunjang proses pembuktiannya.

Lemma :

Jika a, b dan p adalah bilangan prima, maka p|ab p|a atau p|b.

Kita asumsikan merupakan bilangan rasional sedemikian sehingga kita dapat tulis sebagai = dengan a, b dan b 0 serta FPB(a, b) = 1.

= , dengan mengkuadratkan kedua ruas maka diperoleh p = , dan karena b² berdasarkan definisi keterbagian maka p|a², kemudian berdasarkan lemma maka p|a, karena a habis dibagi oleh p sehingga dapat ditulis a = p.k untuk suatu k .

p.b² = a² = (p.k)² = p²k² b² = pk²

karena k² maka berdasarkan definisi keterbagian dapat ditulis p|b². Dan berdasarkan lemma berakibat p|b.

karena p|a dan p|b berakibat FPB(a, b) = p atau FPB(a, b) > 1, sehingga ini kontradiksi dengan asumsi awal yaitu FPB(a, b) = 1. Jadi haruslah bilangan irrasional.