Bilangan Prima dan Irrasional


Dari postingan sebelumnya untuk menunjukkan akar 2 merupakan bilangan irrasional dan akar 3 merupakan bilangan irrasional, maka terpikir untuk menulis kasus umum yang merupakan bilangan irrsioanal. Setelah bongkar-bongkar buku, ternyata dapat soal kira-kira bunyinya seperti ini “prove that \sqrt{p} is irrational number for any prime p“.

Pada pembuktian kasus umum ini juga kita akan menggunakan metode pembuktian kontradiksi. Tapi sebelumnya saya akan memberikan sebuah lemma yang nanti akan digunakan untuk menunjang proses pembuktiannya.

Lemma :

Jika a, b \in \mathbb{Z} dan p adalah bilangan prima, maka p|ab \Rightarrow p|a atau p|b.

Kita asumsikan \sqrt{p} merupakan bilangan rasional sedemikian sehingga kita dapat tulis sebagai \sqrt{p} = \frac{a}{b} dengan a, b \in \mathbb{Z} dan b \neq 0 serta FPB(a, b) = 1.

\sqrt{p} = \frac{a}{b} , dengan mengkuadratkan kedua ruas maka diperoleh p = \frac{a^2}{b^2} \Leftrightarrow, dan karena b2 \in \mathbb{Z} berdasarkan definisi keterbagian maka p|a2, kemudian berdasarkan lemma maka p|a, karena a habis dibagi oleh p sehingga dapat ditulis a = p.k untuk suatu k \in \mathbb{Z}.

p.b2 = a2 = (p.k)2 = p2k2 \Leftrightarrow b2 = pk2

karena k2 \in \mathbb{Z} maka berdasarkan definisi keterbagian dapat ditulis p|b2. Dan berdasarkan lemma berakibat p|b.

karena p|a dan p|b berakibat FPB(a, b) = p atau FPB(a, b) > 1, sehingga ini kontradiksi dengan asumsi awal yaitu FPB(a, b) = 1. Jadi haruslah \sqrt{p} bilangan irrasional.


Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s