Pembuktian Langsung


Banyak sifat dan teorema yang ketika sekolah dulu kita gunakan tanpa tahu asal usul pembuktiannya, tapi ketika kita kuliah di matematika, sudah tidak asing lagi dengan pembuktian sifat-sifat atau teorema. Untuk membuktikannya tidak lepas dari teknik yang digunakan. Teknik yang biasa digunakan yaitu teknik Pembukitan Langsung, teknik Tidak Langsung dan Induksi Matematika. Tulisan ini akan membahas sedikit tentang teknik pembuktian langsung.

Bukti langsung adalah salah satu cara pembuktian sifat atau teorema matematika dengan penarikan kesimpulan dengan memanfaatkan silogisme, modus ponens dan modus tollens. Secara logika pembuktian q benar secara langsung atau ekuivalen dengan membuktikan bahwa pernyataan q benar dimana diketahui p benar.

Metode pembuktian langsung adalah suatu proses pembuktian pembuktian menggunakan alur maju, mulai dari hipotesis dengan menggunakan implikasi logic sampai pada pernyataan kesimpulan. Hukum-hukum dalam matematika pada umumnya berupa proposisi atau pernyataan berbentuk implikasi (p \Rightarrow q) atau biimplikasi (p \Leftrightarrow q) atau pernyataan kuantifikasi yang dapat diubah bentuknya menjadi pernyataan implikasi. Misal kita punya teorema p \Rightarrow q, dengan p disini sebagai hipotesis yang digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi. Selanjutnya, dengan menggunakan p kita harus menunjukkan bahwa berlaku q.

Contoh 1 :

Buktikan, jika x bilangan ganjil maka x2 bilangan ganjil.

Bukti :

Diketahui x ganjil, jadi dapat didefinisikan sebagai x := 2n + 1 untuk suatu n \in \mathbb{Z}. Selanjutnya, x2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2 (2n2 + 2) + 1, dengan mengambil m := 2n2 + 2, m \in \mathbb{Z} maka x2 = 2m + 1. Karena m merupakan bilangan bulat maka disimpulkan x2 ganjil.

Contoh 2 :

Buktikan bahwa jika a membagi b dan b membagi c maka a membagi c dengan a, b, dan c bilangan bulat.

Bukti :

a | b artinya b = ka untuk suatu k \in \mathbb{Z} … (i)

b | c artinya c = lb untuk suatu l \in \mathbb{Z} … (ii)

akan dibuktikan bahwa c = ma untuk suatu m \in \mathbb{Z}

substitusi (i) ke (ii), sehingga diperoleh

c = lb = l(ka) = (lk)a

karena lk adalah perkalian bilangan bulat yang hasilnya bilangan bulat juga (sifat tertutup perkalian bilangan bulat), maka ambil m := lk untuk dengan m \in \mathbb{Z}, sehingga diperoleh

c = ma untuk suatu m \in \mathbb{Z}

Contoh 3 :

Buktikan bahwa a + b bilangan ganjil jika dan hanya jika a atau b bilangan ganjil dengan a dan b bilangan bulat.

Bukti :

Pernyataan diatas ekuivalen dengan

(i) jika a + b bilangan ganjil maka a atau b bilangan ganjil

(ii) jika a atau b bilangan ganjil maka a + b bilangan ganjil

Jadi pada pembuktian ini kita akan membuktiaan (i) dan (ii).

Bukti bagian (i)

misalkan a dan b bilangan bulat sebarang dan a + b bilangan ganjil.

akan dibuktikan a atau b bilangan ganjil.

tanpa mengurangi perumuman akan dibuktikan a ganjil

klaim : b bilangan genap (b := 2m untuk suatu m \in \mathbb{Z})

a + b bilangan ganjil

a + b = 2k + 1 untuk suatu k \in \mathbb{Z}

substitusi b = 2m sehingga diperoleh

a + 2m = 2k + 1

a = 2k – 2m + 1 = 2(k – m) + 1

karena tertutup terhadap operasi pengurangan, maka ambil l := k – m, sehingga diperoleh

a = 2l + 1

jadi a bilangan ganjil

selanjutnya akan dibuktikan b bilangan ganjil

klaim : a bilangan genap (a := 2p untuk suatu p \in \mathbb{Z})

a + b bilangan ganjil

a + b = 2q + 1 untuk suatu k \in \mathbb{Z}

substitusi a = 2p sehingga diperoleh

2p + b = 2q + 1

b = 2q – 2p + 1 = 2(p – q) + 1

karena tertutup terhadap operasi pengurangan, maka ambil r := p – q, sehingga diperoleh

b = 2r + 1

jadi b bilangan ganjil

Bukti bagian (ii)

misal a dan b bilangan bulat sebarang dan a bilangan ganjil (a := 2m + 1 untuk suatu m \in \mathbb{Z}) dan b bilangan genap (b := 2n untuk suatu n \in \mathbb{Z}). Sehingga

a + b = 2m + 1 + 2n = 2(m + n) + 1

karena tertutup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat, ambil p := m + n, sehingga

a + b = 2p + 1 untuk suatu p \in \mathbb{Z}

jadi a + b bilangan ganjil

Contoh 4 :

Buktikan bahwa perkalian tiga bilangan asli berurutan habis dibagi 3

Bukti :

misal tiga bilangan asli berurutan didefinisikan sebagai n, n + 1 dan n + 2 untuk suatu n \in \mathbb{Z} dan perkalian tiga bilangan asli adalah m. Disini kita akan menggunakan 3 kasus, yaitu 3k, 3k + 1, 3k + 2

(i) m = (n)(n + 1)(n + 2)

= (3k)(3k + 1)(3k + 2)

= 3k(9k2 + 9k + 2)

= 3(9k3 + 9k + 3)

m adalah bilangan kelipatan 3

(ii) m = (n)(n + 1)(n + 2)

= (3k + 1)(3k + 1 + 1)(3k + 1 + 2)

= (3k + 1)(3k + 2)(3k + 3)

= (3k + 1)(9k2 + 15k + 6)

= 27k3 + 54k2 + 21k + 6

= 3(9k3 + 18k3+ 7k + 2)

m adalah bilangan kelipatan 3

(iii) m = (n)(n + 1)(n + 2)

= (3k + 2)(3k + 2 + 1)(3k + 2 + 2)

= (3k + 2)(3k + 3)(3k + 4)

= (3k + 2)(9k2 + 21k + 12)

= 27k3 + 81k2 + 78k + 24

= 3(9k3 + 27k2 + 26k + 8)

m adalah bilangan kelipatan 3

dari (i), (ii), dan (iii) terlihat bahwa m merupakan bilangan kelipatan 3 berakibat m habis dibagi 3.

Sumber :

Bahri, S., 2006, Logika dan Himpunan, Universitas Mataram, Mataram.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s