Koefesien Binomial


Untuk mencari koefesien dari suatu persamaan yang berbentuk (x + y)n memiliki beberapa cara yang sering digunakan. Salah satunya dengan cara menjabarkan persamaan tersebut kemudian menentukan koefesien yang ingin ditentukan.

(x + y)0 = 1

(x + y)1 = x + y

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y2

(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5

(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 15xy5 +y6

atau menggunakan segitiga pascal seperti dibawah ini.

1

1   1

1   2   1

1   3   3   1

1   4   6   4   1

1   5   10   10   5   1

1   6   15   20   15   6   1

Dari cara menjabarkan diatas, bisa diperumum lagi untuk mempermudah perhitungan suku dan koefesiennya. Aturan untuk menjabarkan bentuk perpangkatan (x + y)n adalah

  1. Suku pertama adalah xn, sedangkan suku terakhir adalah yn
  2. Pada setiap suku berikutnya, pangkat x berkurang satu sedangkan pangkat y bertambah satu. Untuk setiap suku, jumlah pangkat x dan y adalah n
  3. Koefesien untuk xn-kyk, yaitu suku-(k + 1), adalah C(n, k). Bilangan C(n, k) disebut koefesien binomial.

Dari aturan diatas dapat disimpulkan bahwa

(x + y)n = C(n, 0)xn + C(n, 1)xn-1y1 + … + C(n, k)xn-kyk + … + C(n, n-1)x1yn-1 + C(n, n)yn

= \sum_{k=0}^{n} C(n, k)xn-kyk

Aturan secara umum ini dinamakan Koefesien Binomial

Contoh :

Tentukan suku keempat dan koefesien dari (x – y)5

Cara I : penjabaran

(x – y)5 = (x + (-y))5

= x5 + 5x4(-y) + 10x3(-y)2 + 10x2(-y)3 + 5x(-y)4 + (-y)5

= x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5

Jadi suku keempatnya adalah -10x2y3 dan koefesienya adalah -10

Cara II : segitiga pascal

perhatikan baris keenam pada segitiga pascal diatas : 1 5 10 10 5 1. Sehingga suku keempatnya adalah 10x2(-y)3 = -10x2y3 dan koefesiennya = -10

Cara III : koefesien binomial

(x + (-y))5

\sum_{k=0}^{n} C(n, k)xn-kyk

C(5, 3)x5-3(-y)3

= \frac{5!}{(5-3)!.3!} x2(-y)3

= \frac{3!.4.5}{2!.3!} x2(-y)3

= 10x2(-y)3

= -10x2y3

Jadi suku keempatnya adalah -10x2y3 dan koefesiennya adalah -10

Sumber :

Munir, R., 2009, Matematika Diskrit, Informatika, Bandung.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s