Pembahasan Latihan Soal Integral (1) UN SMA


  1. Diketahui \int_a^3 (3x2 + 2x + 1) dx = 25 Nilai \frac{1}{2} a = …

    A. – 4

    B. – 2

    C. – 1

    D. 1

    E. 2

    PEMBAHASAN :

    \int_a^3 (3x2 + 2x + 1) dx = x3 + x2 + x \mid_a^3

    25 = (33 + 32 + 3) – (a3 + a2 + a)

    a3 + a2 + a = 27 + 9 + 3 – 25

    a3 + a2 + a – 14 = 0

    (a – 2)(a2 + a + 7) = 0

    a = 2 atau a2 + a + 7 = 0

    jadi \frac{1}{2} a = 1

    JAWABAN : D

  2. Nilai \int_0^\pi sin 2x cos x dx = …

    A. -4/3

    B. -1/3

    C. 1/3

    D. 2/3

    E. 4/3

    PEMBAHASAN :

    \int_0^\pi sin 2x cos x dx = \int_0^\pi 2 sin x cos x cos x dx

    = \int_0^\pi 2 sin x cos2 x dx

    misal u = cos x \Rightarrow du = -sin x dx

    = \int_0^\pi 2 u2 (-du)

    = –\frac{1}{3} u3 \mid_0^\pi

    Substitusi u = cos x

    = –\frac{1}{3} cos3 x \mid_0^\pi

    = –\frac{1}{3} cos3 (\pi) + \frac{1}{3} cos3 0

    = –\frac{1}{3} (-1)3 + \frac{1}{3} .13

    = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}

    = \frac{2}{3}

    JAWABAN : D

  3. Hasil dari \int_0^1 3x\sqrt{3x^2+1} dx = …

    A. 7/2

    B. 8/3

    C. 7/3

    D. 4/3

    E. 2/3

    PEMBAHASAN :

    \int_0^1 3x\sqrt{3x^2+1} dx = …

    misal u = 3x2 + 1 \Rightarrow du = 6x dx

    = \int_0^1 \sqrt{u} \frac{du}{2}

    = \int_0^1 \frac{1}{2} u1/2 du

    = \frac{1}{2} .\frac{2}{3} u3/2 \mid_0^1

    substitusi u = 3x2 + 1, sehingga diperoleh

    = \frac{1}{3} (3x2 + 1)3/2 \mid_0^1

    = \frac{1}{3} (3.12 + 1)3/2\frac{1}{3} (3.02 + 1)3/2

    = \frac{1}{3} 8 – \frac{1}{3} .1

    = \frac{7}{3}

    JAWABAN : C

  4. Hasil dari \int cos5 x dx = …

    A. –\frac{1}{6} cos6 x sin x + C

    B. \frac{1}{6} cos6 x sin x + C

    C. –sin x + \frac{2}{3} sin3 x + \frac{1}{5} sin5 x + C

    D. sin x – \frac{2}{3} sin3 x + \frac{1}{5} sin5 x + C

    E. sin x + \frac{2}{3} sin3 x + \frac{1}{5} sin5 x + C

    PEMBAHASAN :

    \int cos5 x dx = \int cos x (cos2 x)2 dx

    = \int cos x (1 – sin2 x)2 dx

    = \int cos x (1 – 2 sin2 x + sin4 x) dx

    misal u = sin x \Rightarrow du = cos x

    = \int (1 – 2u2 + u4) du

    = u – \frac{2}{3} u3 + \frac{1}{5} u5 + C

    substitusi u = sin x,

    = sin x – \frac{2}{3} sin3 x + \frac{1}{5} sin5 x + C

    JAWABAN : D

  5. Hasil dari \int cos x (x2 + 1) dx = …

    A. x2 sin x + 2x cos x + C

    B. (x2 – 1)sin x + 2x cos x + C

    C. (x2 + 3)sin x – 2x cos x + C

    D. 2x2 cos x + 2x2 sin x + C

    E. 2x sin x – (x2 – 1)cos x + C

    PEMBAHASAN :

    dalam penyelesaian soal ini akan menggunakan Integral Parsial

    u = x2 + 1 \Rightarrow du = 2x dx

    dv = cos x dx \Rightarrow v = sin x

    \int u dv = uv – \int v du

    = sin x (x2 + 1) – \int sin x 2x dx

    parsial lagi

    m = 2x \Rightarrow dm = 2 dx

    dn = sin x dx \Rightarrow n = -cos x

    = sin x (x2 + 1) – (2x (-cos x) – \int -cos x 2 dx)

    = sin x (x2 + 1) – (-2x cos x + 2 sin x) + C

    = sin x (x2 + 1) + 2x cos x – 2 sin x + C

    = sin x (x2 – 1) + 2x cos x + C

    JAWABAN : B

  6. Diketahui \int_p^3 (3x2 – 2x + 2) dx = 40. Nilai \frac{1}{2} p = …

    A. 2

    B. 1

    C. – 1

    D. – 2

    E. – 4

    PEMBAHASAN :

    \int_p^3 (3x2 – 2x + 2) dx = x3 – x2 + 2x \mid_p^3

    40 = (33 – 32 + 6) – (p3 – p2 + 2p)

    p3 – p2 + 2p = 27 – 9 + 6 – 40

    p3 – p2 + 2p + 16 = 0

    (p + 2)(p2 + p + 7) = 0

    p = -2 atau p2 + p + 7 = 0

    jadi \frac{1}{2} p = -1

    JAWABAN : C

  7. Hasil dari \int_0^{\frac{\pi}{2}} sin 3x cos 5x dx = …

    A. -10/6

    B. -8/10

    C. -5/16

    D. -4/16

    E. 0

    PEMBAHASAN :

    \int_0^{\frac{\pi}{2}} sin 3x cos 5x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} [sin 8x + sin (-2x)] dx

    [Sifat Trigonometri]

    = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} sin 8x dx – \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} sin 2x dx

    misal u = 8x \Rightarrow du = 8 dx

    v = 2x \Rightarrow dv = 2 dx

    = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} sin u \frac{du}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} sin v \frac{dv}{2}

    = –\frac{1}{16} cos u \mid_0^{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{4} cos v \mid_0^{\frac{\pi}{2}}

    substitusi u = 8x dan v = 2x

    = –\frac{1}{16} cos 8x \mid_0^{\frac{\pi}{2}} + \frac{1}{4} cos 2x \mid_0^{\frac{\pi}{2}}

    = [-\frac{1}{16} (cos 8(\frac{\pi}{2}) – cos 8(0))] + [\frac{1}{4} (cos 2(\frac{\pi}{2}) – cos 2(0))]

    = [-\frac{1}{16} (1 – 1)] + [\frac{1}{4} (-1 – 1)]

    = -\frac{1}{2}

    JAWABAN :

  8. \int_0^\pi x sin x dx = …

    A. \frac{\pi}{4}

    B. \frac{\pi}{3}

    C. \frac{\pi}{2}

    D. \pi

    E. \frac{3\pi}{2}

    PEMBAHASAN :

    dalam penyelesaian soal ini akan menggunakan Integral Parsial

    u = x \Rightarrow du = dx

    dv = sin x dx \Rightarrow v = -cos x

    \int u dv = uv – \int v du

    = -x cos x – \int (-cos x) dx

    = [-x cos x + sin x] \mid_0^\pi

    = [-\pi cos (\pi) + sin (\pi)] – [-0 cos 0 + sin 0]

    = –\pi (-1)

    = \pi

    JAWABAN : D

  9. Nilai \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2x + sin x) dx = …

    A. \frac{1}{4}\pi^2 – 1

    B. \frac{1}{4}\pi^2

    C. \frac{1}{4}\pi^2 + 1

    D. \frac{1}{2}\pi^2 – 1

    E. \frac{1}{2}\pi^2 + 1

    PEMBAHASAN :

    \int_0^{\frac{\pi}{2}} (2x + sin x) dx = x2 – cos x \mid_0^{\frac{\pi}{2}}

    = ((\frac{\pi}{2})2 – cos (\frac{\pi}{2})) – (02 – cos 0)

    = (\frac{\pi^2}{4} – 0) – (02 – 1)

    = \frac{\pi^2}{4} + 1

    JAWABAN : C

  10. Nilai \int x sin(x2 + 1) dx = …

    A. –cos (x2 + 1) + C

    B. cos (x2 + 1) + C

    C. –½ cos (x2 + 1) + C

    D. ½ cos (x2 + 1) + C

    E. –2cos (x2 + 1) + C

    PEMBAHASAN :

    misal u = x2 + 1 \Rightarrow du = 2x dx

    \int x sin(x2 + 1) dx = \int sin u \frac{du}{2}

    = -\frac{1}{2} cos u + C

    substitusi u = x2 + 1

    = -\frac{1}{2} cos (x2 + 1) + C

    JAWABAN : C

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

Kalian lagi persiapan untuk Ujian Nasional? Kalian tidak harus ikut bimbingan belajar, bisa belajar lewat video. Check it out ke Quipper Video

Iklan

12 comments on “Pembahasan Latihan Soal Integral (1) UN SMA

    • waalaikumslam
      setau saya uji integral ini hanya ingin menguji deretnya konvergen atau divergen. Jadi dengan menunjukkan integralnya [dengan btas atas = \infty dan batas bawah = 1] konvergen maka dretnya juga scra bersama-sama konvergen ato jika integralnya divergen maka deretnya juga divergen.

      contoh :
      cek apakah deret \sum \frac{1}{n^p} konvergen atau divergen untuk 0 < p < 1
      penyelesain :
      \int_1^{\infty} \frac{1}{X^p} dx = lim_{M \to \infty} \int_1^{M} \frac{1}{X^p} dx
      = \frac{1}{1-p} lim_{M \to \infty} (X^{1-p}) \mid_1^M
      = \frac{1}{1-p} lim_{M \to \infty} (M^{1-p}-1)
      = \infty
      karena integralnya divergen, maka deretnya divergen

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s