Des 2 2012

Pembahasan Latihan Soal Integral (2) UN SMA

$\int$ x sin 2x dx = …

A. $\frac{1}{4}$ sin 2x – $\frac{1}{2}$ x cos 2x + C

B. $\frac{1}{4}$ sin 2x + $\frac{1}{2}$ x cos 2x + C

C. $\frac{1}{4}$ sin 2x – $\frac{1}{2}$ x cos 2x + C

D. – $\frac{1}{4}$ cos 2x – $\frac{1}{2}$ x sin 2x + C

E. $\frac{1}{4}$ cos 2x + $\frac{1}{2}$ x sin 2x + C

PEMBAHASAN :

misal u = x $\Rightarrow$ du = dx

dv = sin 2x dx $\Rightarrow$ v = – $\frac{1}{2}$ cos 2x

$\int$ u dv = uv – $\int$ v du

= – $\frac{1}{2}$ x cos 2x – $\int$ – $\frac{1}{2}$ cos 2x dx

= – $\frac{1}{2}$ x cos 2x + $\frac{1}{4}$ sin 2x + C

= $\frac{1}{4}$ sin 2x – $\frac{1}{2}$ x cos 2x + C

JAWABAN : C
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}$ (sin² x – cos² x) dx = …

A. – $\frac{1}{2}$

B. – $\frac{1}{2}$ $\pi$

C. 0

D. $\frac{1}{2}$

E. $\frac{1}{2}$ $\pi$

PEMBAHASAN :

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}$ (sin² x – cos² x) dx = $\int_0^{\frac{\pi}{2}}$ cos 2x dx

[ingat Sifat Dasar Trigonometri]

misal u = 2x $\Rightarrow$ du = 2 dx

= $\int_0^{\frac{\pi}{2}}$ cos u $\frac{du}{2}$

= $\frac{1}{2}$ sin u $\mid_0^{\frac{\pi}{2}}$

Substitusi kembali u = 2x

= $\frac{1}{2}$ sin 2x $\mid_0^{\frac{\pi}{2}}$

= $\frac{1}{2}$ [sin 2 $\frac{\pi}{2}$ – sin 2.0]

= 0

JAWABAN : C
Hasil $\int$ 2x cos $\frac{1}{2}$ x dx = …

A. 4x sin $\frac{1}{2}$ x + 8 cos $\frac{1}{2}$ x + C

B. 4x sin $\frac{1}{2}$ x – 8 cos $\frac{1}{2}$ x + C

C. 4x sin $\frac{1}{2}$ x + 4 cos $\frac{1}{2}$ x + C

D. 4x sin $\frac{1}{2}$ x – 8 cos $\frac{1}{2}$ x + C

E. 4x sin $\frac{1}{2}$ x + 2 cos $\frac{1}{2}$ x + C

PEMBAHASAN :

disini akan digunakan Integral Parsial

misal u = 2x $\Rightarrow$ du = 2 dx

dv = cos $\frac{1}{2}$ x $\Rightarrow$ v = 2 sin $\frac{1}{2}$ x

$\int$ 2x cos $\frac{1}{2}$ x dx = 2x 2 sin $\frac{1}{2}$ x – $\int$ 2 sin $\frac{1}{2}$ x 2 dx

= 4x sin $\frac{1}{2}$ x – 4 (-2 cos $\frac{1}{2}$ x) + C

= 4x sin $\frac{1}{2}$ x + 8 cos $\frac{1}{2}$ x + C

JAWABAN : A
Hasil $\int$ $x\sqrt{9-x^2}$ dx = …

A. – $\frac{1}{3}$ (9 – x²) $x\sqrt{9-x^2}$ + C

B. – $\frac{2}{3}$ (9 – x²) $x\sqrt{9-x^2}$ + C

C. $\frac{2}{3}$ (9 – x²) $x\sqrt{9-x^2}$ + C

D. $\frac{2}{3}$ (9 – x²) $x\sqrt{9-x^2}$ + $\frac{2}{9}$ (9 – x²) $x\sqrt{9-x^2}$ + C

E. $\frac{1}{3}$ (9 – x²) $x\sqrt{9-x^2}$ + $\frac{1}{9}$ (9 – x²) $x\sqrt{9-x^2}$ + C

PEMBAHASAN :

misal u = 9 – x² $\Rightarrow$ du = -2x dx

= $\int$ $\sqrt{u}$ $\frac{du}{-2}$

= $\int$ $-\frac{1}{2}$ u^1/2 du

= $-\frac{1}{2}$ . $\frac{2}{3}$ u^3/2 + C

substitusi u = 9 – x², sehingga diperoleh

= $-\frac{1}{3}$ (9 – x²)^3/2 + C

= $-\frac{1}{3}$ (9 – x²) $\sqrt{9-x^2}$ + C

JAWABAN :
Nilai $\int_0^1$ 5x(1 – x)⁶ dx = …

A. 75/56

B. 10/56

C. 5/56

D. -7/56

E. -10/56

PEMBAHASAN :

misal u = 5x $\Rightarrow$ du = 5 dx

dv = (1 – x)⁶ dx $\Rightarrow$ v = $-\frac{1}{7}$ (1 – x)⁷

$\int_0^1$ 5x(1 – x)⁶ dx = 5x $-\frac{1}{7}$ (1 – x) – $\int_0^1$ $-\frac{1}{7}$ (1 – x)⁷ 5 dx

= $-\frac{5}{7}$ x(1 – x) + $\int_0^1$ $\frac{1}{7}$ . $\frac{1}{8}$ (1 – x)⁸ 5 dx

= ( $-\frac{5}{7}$ x(1 – x)⁷ + $\frac{5}{56}$ (1 – x)⁸) $\mid_0^1$

= ( $-\frac{5}{7}$ .1.(1 – 1)⁷ + $\frac{5}{56}$ (1 – 1)⁸) – ( $-\frac{5}{7}$ .0.(1 – 0)⁷ + $\frac{5}{56}$ (1 – 0)⁸)

= (0 + 0) – (0 + $\frac{5}{56}$ )

= $\frac{5}{56}$

JAWABAN : C
Hasil dari $\int$ cos x cos 4x dx = …

A. – $\frac{1}{5}$ sin 5x – $\frac{1}{3}$ x sin 3x + C

B. $\frac{1}{10}$ sin 5x + $\frac{1}{6}$ x sin 3x + C

C. $\frac{2}{5}$ sin 5x + $\frac{2}{3}$ x sin 3x + C

D. $\frac{1}{2}$ cos 5x + $\frac{1}{2}$ x cos 3x + C

E. – $\frac{1}{2}$ sin 5x – $\frac{1}{2}$ x sin 3x + C

PEMBAHASAN :

$\int$ cos x cos 4x dx = $\int$ $\frac{1}{2}$ (cos 5x + cos 3x) dx

= $\int$ $\frac{1}{2}$ cos 5x dx + $\int$ $\frac{1}{2}$ cos 3x dx

misal u = 5x $\Rightarrow$ du = 5 dx

v = 3x $\Rightarrow$ dv = 3 dx

substitusi, sehingga

= $\int$ $\frac{1}{2}$ cos u $\frac{du}{5}$ + $\int$ $\frac{1}{2}$ cos v $\frac{dv}{3}$

= $\frac{1}{10}$ sin u + $\frac{1}{6}$ sin v + C

substitusi kembali u = 5x dan v = 3x

= $\frac{1}{10}$ sin 5x + $\frac{1}{6}$ sin 3x + C

JAWABAN : B
Hasil dari $\int$ cos⁴ 2x sin 2x dx = …

A. $-\frac{1}{10}$ sin⁵ 2x + C

B. $-\frac{1}{10}$ cos⁵ 2x + C

C. $-\frac{1}{5}$ cos⁵ 2x + C

D. $\frac{1}{5}$ cos⁵ 2x + C

E. $\frac{1}{10}$ sin⁵ 2x + C

PEMBAHASAN :

misal u = cos 2x $\Rightarrow$ du = -2 sin 2x dx

$\int$ cos⁴ 2x sin 2x dx = $\int$ u⁴ $-\frac{du}{2}$

= $-\frac{1}{2}$ $\frac{1}{5}$ u⁵ + C

substitusi kembali u = cos 2x

= $-\frac{1}{10}$ cos⁵ 2x + C

JAWABAN : B
Hasil dari $\int$ 4 sin 5x cos 3x dx = …

A. -2 cos 8x – 2 cos 2x + C

B. $-\frac{1}{4}$ cos 8x – 2 cos 2x + C

C. $\frac{1}{4}$ cos 8x + 2 cos 2x + C

D. $-\frac{1}{2}$ cos 8x – 2 cos 2x + C

E. $\frac{1}{2}$ cos 8x – 2 cos 2x + C

PEMBAHASAN :

$\int$ 4 sin 5x cos 3x dx = $\int$ 2(sin 8x + sin 2x) dx

= $\int$ 2(sin 8x + sin 2x) dx

= $\int$ 2 sin 8x dx + $\int$ 2 sin 2x dx

misal u = 8x $\Rightarrow$ du = 8

v = 2x $\Rightarrow$ du = 2

substitusi, sehingga

= $\int$ 2 sin u $\frac{du}{8}$ + $\int$ 2 sin v $\frac{dv}{2}$

= $\frac{1}{4}$ $\int$ sin u du + $\int$ sin v dv

= $-\frac{1}{4}$ cos u – cos v + C

substitusi kembali u = 8x dan v = 2x

= $-\frac{1}{4}$ cos 8x – cos 2x + C

JAWABAN : B
Hasil dari $\int$ x² sin 2x dx = …

A. $-\frac{1}{2}$ x² cos 2x – $\frac{1}{2}$ x sin 2x + $\frac{1}{4}$ cos 2x + C

B. $-\frac{1}{2}$ x² cos 2x + $\frac{1}{2}$ x sin 2x – $\frac{1}{4}$ cos 2x + C

C. $-\frac{1}{2}$ x² cos 2x + $\frac{1}{2}$ x sin 2x + $\frac{1}{4}$ cos 2x + C

D. $\frac{1}{2}$ x² cos 2x – $\frac{1}{2}$ x sin 2x – $\frac{1}{4}$ cos 2x + C

E. $\frac{1}{2}$ x² cos 2x – $\frac{1}{2}$ x sin 2x + $\frac{1}{4}$ cos 2x + C

PEMBAHASAN :

disini kita akan menggunakan Integral Parsial

misal u = x² $\Rightarrow$ du = 2x dx

dv = sin 2x dx $\Rightarrow$ v = $-\frac{1}{2}$ cos 2x

$\int$ x² sin 2x dx = (x²) $-\frac{1}{2}$ cos 2x – $\int$ $-\frac{1}{2}$ cos 2x 2x dx

= $-\frac{1}{2}$ x² cos 2x + $\int$ x cos 2x dx

Integral Parsial lagi

misal u = x $\Rightarrow$ du = dx

dv = cos 2x dx $\Rightarrow$ v = $\frac{1}{2}$ sin 2x

= $-\frac{1}{2}$ x² cos 2x + [x $\frac{1}{2}$ sin 2x – $\int$ $\frac{1}{2}$ sin 2x dx]

= $-\frac{1}{2}$ x² cos 2x + $\frac{1}{2}$ x sin 2x + $\frac{1}{4}$ cos 2x

JAWABAN : C
Hasil dari $\int$ sin² x cos x dx = …

A. $\frac{1}{3}$ cos³ x + C

B. $-\frac{1}{3}$ cos³ x + C

C. $-\frac{1}{3}$ sin³ x + C

D. $\frac{1}{3}$ sin³ x + C

E. 3 sin³ x + C

PEMBAHASAN :

misal u = sin x $\Rightarrow$ du = cos x du,

kemudian substitusi, sehingga

$\int$ sin² x cos x dx = $\int$ u² du

= $\frac{1}{3}$ u³ + C

substitusi kembali u = sin x,

= $\frac{1}{3}$ sin³ x + C

JAWABAN : D

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan dalam penyelesaian soal-soal ini.

2 comments on “Pembahasan Latihan Soal Integral (2) UN SMA”

HD Res

Februari 4, 2017 @ 12:16 pm

Bisa jelaskan ini? Pada baris ketiga dan terakhir, mengapa bisa begitu?
Int sin^5 2x cos 2x dx
= 1/2 int (sin^5 2x)(2 cos 2x) dx
= 1/2 int sin^5 2x d(sin 2x)
= 1/12 sin^6 2x + C

Balas
- aim
  
  Februari 17, 2017 @ 8:59 am
  
  pake integral substitusi mas,
  $= \dfrac{1}{2} \int \sin^5 2x(2 \cos 2x) ~dx$
  $= \dfrac{1}{2} \int \sin^5 2x(2 \cos 2x) ~\dfrac{d(\sin 2x)}{2 \cos 2x}$
  $= \dfrac{1}{2} \int \sin^5 2x(2 \cos 2x) ~\dfrac{d(\sin 2x)}{2 \cos 2x}$
  $= \dfrac{1}{2} \int \sin^5 2x ~d(\sin 2x)$
  $= \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{6} \int \sin^6 2x + C$
  
  Balas

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	PRP pada Pembuktian Rumus Trigonometri…
	PRP pada Pembuktian Rumus Trigonometri…
	olis mukhlisoh pada Metode Bagi-Dua (Bisection…
	Nurul pada Pembuktian Integral sec x dx =…
	Silas pada Garis Singgung Persekutuan Dal…
	Wga pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Redi pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Nathan pada Jasa Jawab Soal
	Ravael pada Jasa Jawab Soal
	Cahwa pada Operator Matematika di Ex…

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

2 comments on “Pembahasan Latihan Soal Integral (2) UN SMA”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan