Pembuktian Integral sin dx = – cos x


Tulisan ini terinspirasi pada pertanyaan salah seorang pengunjung blog di salah satu tulisan saya. Bagaimana cara membuktian integral trigonometri \int sin x dx = -cos x ?

Ide untuk membuktikan integral ini adalah saya akan mencoba menggunakan langkah mundur.

\int sin u du = -cos u + C

turun-kan kedua ruas, sehingga menjadi

\frac{d}{du} \int sin u du = \frac{d}{du} -cos u + C

sin u = –\frac{d}{du} cos u

– sin u = \frac{d}{du} cos u

dari persamaan terakhir ini, berarti pembuktian \int sin x dx = -cos x ekivalen dengan membuktikan \frac{d}{du} cos u = -sin u. Untuk membuktikan turunan ini, bisa memanfaatkan Definisi Turunan.

ambil f(x) := cos x

f'(x) = lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

\frac{d}{du} cos x = lim_{h \to 0} \frac{cos(x+h)-cos(x)}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{cos(x).cos(h)-sin(x).sin(h)-cos(x)}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{cos(x).cos(h)-cos(x)}{h} lim_{h \to 0} \frac{sin(x).sin(h)}{h}

= cos x lim_{h \to 0} \frac{cos(h)-1}{h} lim_{h \to 0} \frac{sin(x).sin(h)}{h}

= cos x lim_{h \to 0} \frac{cos(h)-1}{h} \frac{cos(h)+1}{cos(h)+1} lim_{h \to 0} \frac{sin(x).sin(h)}{h}

= cos x lim_{h \to 0} \frac{cos^2(h)-1}{h.(cos(h)+1)} – sin x lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h}

= cos x lim_{h \to 0} \frac{sin^2(h)}{h.(cos(h)+1)} – sin x lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h}

= cos x lim_{h \to 0} \frac{sin(h).sin(h)}{h.(cos(h)+1)} – sin x lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h}

= cos x . lim_{h \to 0} sin h . lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h} . lim_{h \to 0} \frac{1}{cos(h)+1} – sin x . lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h}

= cos x . 0 . 1 . \frac{1}{2} – sin x . 1

= -sin x

Jadi terbukti \int sin u du = -cos u + C

One comment on “Pembuktian Integral sin dx = – cos x

  1. Ping-balik: Pembuktian Integral cos x dx = sin x + C | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s