Pembuktian Integral sin dx = – cos x


Tulisan ini terinspirasi pada pertanyaan salah seorang pengunjung blog di salah satu tulisan saya. Bagaimana cara membuktian integral trigonometri \displaystyle \int \sin x ~dx = -\cos x ?

Ide untuk membuktikan integral ini adalah saya akan mencoba menggunakan langkah mundur.

\displaystyle \int \sin u ~du = -\cos u + C

turun-kan kedua ruas, sehingga menjadi

\displaystyle \dfrac{d}{du} \int \sin u ~du = \dfrac{d}{du}- \cos u + C

\sin u = -\dfrac{d}{du} \cos u

-\sin u = \dfrac{d}{du} \cos u

dari persamaan terakhir ini, berarti pembuktian \displaystyle \int \sin x dx = -\cos x ekivalen dengan membuktikan \dfrac{d}{du} \cos u = -\sin u. Untuk membuktikan turunan ini, bisa memanfaatkan Definisi Turunan.

ambil f(x) := \cos x

f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) -f(x)}{h}

\dfrac{d}{du} \cos x = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos(x+h) -\cos(x)}{h}

= \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos x ~\cos h -\sin x ~\sin h -\cos x}{h}

= \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos x ~\cos h -\cos x}{h} -\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin x ~\sin h}{h}

= \cos x \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos h -1}{h} -\lim_{h \to 0} ~\dfrac{\sin x ~\sin h}{h}

= \cos x \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos h-1}{h} ~\dfrac{\cos h+1}{\cos h+1} -\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin x ~\sin h}{h}

= \cos x \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos^2 h-1}{h(\cos h+1)} -\sin x \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h}

= \cos x \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin^2 h}{h (\cos h+1)} -\sin x \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h}

= \cos x \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h \sin h}{h (\cos h+1)} -\sin x \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h}

= \cos x ~\lim_{h \to 0} \sin h ~\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h} ~\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\cos h+1} -\sin x ~\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h}

= \cos x \cdot 0 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{2} -\sin x \cdot 1

= -\sin x

Jadi terbukti \displaystyle \int \sin u ~du = -\cos u + C

2 comments on “Pembuktian Integral sin dx = – cos x

  1. Ping-balik: Pembuktian Integral cos x dx = sin x + C | Math IS Beautiful

  2. Ping-balik: Pembuktian Integral cos x dx = sin x + C | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s