Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan Gradien Tertentu (1)

Tulisan ini spesial buat pengunjung blog Math Is Beautiful, khusunya mas Hendra Cipto. Semoga tulisan ini bermanfaat. Dalam tulisan ini saya akan mencoba membuktikan Persamaan Garis Singgung Lingkaran dengan gradien m. Pertama, perhatikan gambar dibawah ini.

gambar menyusul

gambar diatas menjelaskan bahwa lingkaran dengan titik pusat di (a, b), dengan jari-jari r, dan melalui titik (x₁, y₁) disinggung oleh garis g. Seperti yang kita ketahui bahwa persamaan umum lingkaran dengan pusat (a, b) dan jar-jari r yaitu (x – a)² + (y – b)² = r² dan misal garis g (y – b) = m(x – a) + n.

Pertama substitusi terlebih dahulu persamaan garis singgung (y – b) = m(x – a) + n ke persamaan umum lingkaran, sedemikian sehingga

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x – a)² + (m(x – a) + n)² = r²

(x – a)² + m²(x – a)² + 2m(x – a)n + n² = r²

(m² + 1)(x – a)² + 2mn(x – a) + (n² – r²) = 0

ambil d := x – a, sehingga

(m² + 1)d² + 2mnd + (n² – r²) = 0

syarat menyinggung adalah D = 0

b² – 4ac = 0

(2mn)² – 4(m² + 1)(n² – r²) = 0

4m²n² – 4m²n² + 4m²r² – 4n² + 4r² = 0

4m²r² + 4r² = 4n²

n² = m²r² + r²

n =

=

substitusi ke persamaan garis singgung lingkaran, sedemikian sehingga

(y – b) = m(x – a)