Pembuktian Integral cos x dx = sin x + C


Tulisan ini adalah lanjutan dari tulisan sebelumnya tentang bagaiamana membuktikan \int sin x dx = -cos x + C ? Tapi sekarang pada tulisan ini akan membuktikan \int cos x dx = sin x + C. Ide dan cara membuktikan sebenarnya sama dengan pembuktian pada tulisan sebelumnya. Tapi tidak ada salahnya saya tulis untuk menambah pengetahuan. Langsung saja perhatikan langkah-langkahnya.

\int cos x dx = sin x + C

turun-kan kedua ruas, sehingga menjadi

\frac{d}{dx} \int cos x dx = \frac{d}{dx} cos x + C

cos x = \frac{d}{dx} sin x

cos x = \frac{d}{dx} sin x

dari persamaan terakhir ini, berarti pembuktian \int cos x dx = -sin x ekivalen dengan membuktikan \frac{d}{dx} sin x = cos x. Disini akan dimanfaatkan Definisi Turunan.

ambil f(x) := sin x

f'(x) = lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

\frac{d}{dx} cos x = lim_{h \to 0} \frac{cos(x+h)-cos(x)}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{cos(x).cos(h)-sin(x).sin(h)-cos(x)}{h}

= lim_{h \to 0} \frac{cos(x).cos(h)-cos(x)}{h} lim_{h \to 0} \frac{sin(x).sin(h)}{h}

= cos x lim_{h \to 0} \frac{cos(h)-1}{h} lim_{h \to 0} \frac{sin(x).sin(h)}{h}

= cos x lim_{h \to 0} \frac{cos(h)-1}{h} \frac{cos(h)+1}{cos(h)+1} lim_{h \to 0} \frac{sin(x).sin(h)}{h}

= cos x lim_{h \to 0} \frac{cos^2(h)-1}{h.(cos(h)+1)} – sin x lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h}

= cos x lim_{h \to 0} \frac{sin^2(h)}{h.(cos(h)+1)} – sin x lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h}

= cos x lim_{h \to 0} \frac{sin(h).sin(h)}{h.(cos(h)+1)} – sin x lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h}

= cos x . lim_{h \to 0} sin h . lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h} . lim_{h \to 0} \frac{1}{cos(h)+1} – sin x . lim_{h \to 0} \frac{sin(h)}{h}

= cos x . 0 . 1 . \frac{1}{2} – sin x . 1

= -sin x

Jadi terbukti \int sin u du = -cos u + C

One comment on “Pembuktian Integral cos x dx = sin x + C

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s