Pembuktian Integral cos x dx = sin x + C


Tulisan ini adalah lanjutan dari tulisan sebelumnya tentang bagaiamana membuktikan \displaystyle \int \sin x ~dx = -\cos x + C ? Tapi sekarang pada tulisan ini akan membuktikan \displaystyle \int \cos x ~dx = \sin x + C. Ide dan cara membuktikan sebenarnya sama dengan pembuktian pada tulisan sebelumnya. Tapi tidak ada salahnya saya tulis untuk menambah pengetahuan. Langsung saja perhatikan langkah-langkahnya.

\displaystyle \int \cos x ~dx = \sin x + C

turun-kan kedua ruas, sehingga menjadi

\dfrac{d}{dx} \displaystyle \int \cos x ~dx = \dfrac{d}{dx} \cos x + C

\cos x = \dfrac{d}{dx} \sin x

\cos x = \dfrac{d}{dx} \sin x
dari persamaan terakhir ini, berarti pembuktian \displaystyle \int \cos x ~dx = -\sin x ekivalen dengan membuktikan \dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x. Disini akan dimanfaatkan Definisi Turunan.

ambil f(x) := \sin x

f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

\dfrac{d}{dx} \cos x = \lim_{h \to 0} \dfrac{cos(x+h)-cos(x)}{h}

= \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos x \cdot \cos h -\sin x \cdot \sin h -\cos x}{h}

= \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos x \cdot \cos h- \cos x}{h}- \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin x \cdot \sin h}{h}

= \cos x \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos h -1}{h}- \lim_{h \to 0} ~\dfrac{\sin x \cdot \sin h}{h}

= \cos x \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos h -1}{h} ~\dfrac{\cos h +1}{\cos h +1}- \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin x \cdot \sin h}{h}

= \cos x \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos^2 h -1}{h(\cos h +1)} -\sin x \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h}

= \cos x \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin^2 h}{h(\cos h +1)} -\sin x \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h}

= \cos x \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h \sin h}{h.(\cos h +1)}-\sin x \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h}

= \cos x ~\lim_{h \to 0} \sin h ~\lim_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h} ~\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\cos h +1}- \sin x \lim_{h \to 0} ~\dfrac{\sin h}{h}

= \cos x \cdot 0 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{2} -\sin x \cdot 1

= -\sin x

Jadi terbukti \displaystyle \int \sin u ~du = -\cos u + C

One comment on “Pembuktian Integral cos x dx = sin x + C

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s