Persamaan Diferensial


Persamaan Diferensial (PD) adalah persamaan yang memuat turunan-turunan / derivatif dari satu atau lebih peubah (variable) bebas terhadap satu atau lebih peubah tak bebas disebut.

Secara umum, PD dapat dibedakan (klasifikasi) menjadi 2, yaitu

  1. PD Biasa (Ordinary Differential Equations), yaitu PD yang memuat 1 peubah bebas dan 1 peubah tak bebas. PD jenis ini dapat dirumuskan

f(x,y,\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2},...,\frac{d^ny}{dx^n})=0

Contoh :

Persamaan \frac{dy}{dx} + xy = 0 dan \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} – xy = 0 adalah persamaan diferensial biasa karena variable tak bebas y hanya bergantung pada variable bebas x.

  • PD Parsial (Partial Differential Equations), yaitu PD yang memuat 1 peubah tak bebas dan lebih dari satu peubah bebas. PD jenis ini dengan dua peubah bebas dapat dirumuskan

    f(x,y,z,\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{dy},\frac{\partial^2 z}{\partial x^2},\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}...,\frac{\partial^n z}{\partial y^n})=0

    Contoh :

    Persamaan \frac{\partial z}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial x} = 0 adalah persamaan diferensial parisial karena variable tak bebas z bergantung pada variable bebas x dan y.

    Demikian juga dengan persamaan \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} = 0, karena variable tak bebas v bergantung pada variable bebas x, y dan z.

Selain klasifikasi PD di atas, suatu PD juga dapat dikelompokkan berdasarkan Tingkat (order) dan Derajat (degree). Tingkat suatu PD adalah tingkat tertinggi dari derivatif-derivatif didalamnya, sedangkan derajat suatu PD adalah derajat tertinggi dari derivatif tingkat tertinggi PD tersebut.

Contoh:

  1. \frac{d^4y}{dx^4} + 5\frac{d^2y}{dx^2} + 3y = sin x, PD tingkat 4, derajat 1

  • \frac{d^2y}{dx^2} + xy(\frac{dy}{dx^2})^2 = 0, PD tingkat 2, derajat 1

 

  • \frac{d^3y}{dt^2} + 3(\frac{d^2y}{dt^2})^5 = 0, PD tingkat 3, derajat 1
  • \frac{dy}{dx} – cos x = 0, PD tingkat 1, derajat 1
  • \frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0, PD tingkat 2, derajat 1
  • xy’ + y = 3, PD tingkat 1, derajat 1
  • (x2 + y2)dx – 2xydy = C, PD tingkat 1, derajat 1
  • y”’ + 2(y”)2 + y’ = cos x, PD tingkat 3, derajat 1
  • (\frac{d^2y}{dx^2})^3 + (\frac{dy}{dx})^4 – x2y = sin x, PD tingkat 2, derajat 3
  • \frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} – 2y = 0, PD tingkat 2, derajat 1

Klasifikasi lainnya adalah berdasarkan Linear dan Nonlinear. Suatu PD biasa tingkat n disebut linear jika PD tersebut dapat ditulis ke dalam bentuk

an(x)\frac{d^ny}{dx^n} + an-1(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + … + a1(x)\frac{dy}{dx} + a0(x)y = g(y)

Selain PD bentuk tersebut adalah PD nonlinier

NOTE :

notasi y’, y”, y”’, y(4) …,y(n-1), y(n) menyatakan berturut-turut adalah derivative pertama, kedua, ketiga, keempat, …, derivative ke-n dari variable tak bebas y terhadap suatu variable bebas.

SUMBER :

Marwan, Persamaan Diferensial

Iklan

4 comments on “Persamaan Diferensial

  1. Ping-balik: Membentuk Persamaan Diferensial | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s