Des 15 2012

Membentuk Persamaan Diferensial


Setelah menjelaskan apa itu Persamaan Diferensial ? masalah selanjutnya adalah “bagaimana membentuk Persamaan Diferensial ?”. Persamaan diferensial dapat dibentuk dengan mengeliminasi semua konstanta sebarang yang terdapat dalam suatu persamaan atau dengan cara substitusi. Banyaknya konstanta sembarang menunjukkan order tertinggi dari derivatif dalam persamaan diferensial yang dicari. Untuk lebih jelasnya silahkan perhatikan contoh – contoh dibawah ini.

Carilah Persamaan Diferensial dari persmaan-persamaan dibawah ini.

  1. y = Ax

    Penyelesaian.

    Karena konstanta sembarangnya ada satu yaitu A, maka order tertinggi dari derivatfnya adalah satu, sehingga diturunkan persamaannya sekali, sehingga diperoleh

    \dfrac{dy}{dx} = A … (i)

    substitusi pers (i) ke persamaan diatas, diperoleh

    \begin{array}{rl} y &= \dfrac{dy}{dx} ~x\\ y ~dx &= x ~dy \end{array}

    PD : y ~dx -x ~dy = 0

  2. y = Ax^2 + Bx

    Penyelesaian.

    Konstanta sembarang pada persamaan diatas ada dua yaitu A dan B, maka order tertinggi dari derivatifnya adalah dua, sehingga kita menurunkan persamaan tersebut dua kali, sehingga diperoleh

    \dfrac{dy}{dx} = 2Ax + B

    B =  \dfrac{dy}{dx} -2Ax … (i)

    \dfrac{d^2y}{dx} = 2A … (ii)

    Substitusi pers (ii) ke pers (i), diperoleh

    B = \dfrac{dy}{dx} -\dfrac{d^2y}{2dx} 2 x

    = \dfrac{dy}{dx} -\dfrac{d^2y}{dx} x … (iii)

    substitusi pers (ii) dan pers (iii) ke PD diatas

    y =  \dfrac{d^2y}{2dx} x^2 + \left( \dfrac{dy}{dx}- \dfrac{d^2y}{dx} x \right) x

    = \dfrac{d^2y}{2dx} x^2 + \dfrac{dy}{dx} x -\dfrac{d^2y}{dx} x^2

    = \dfrac{x^2 \cdot d^2y + 2x \cdot dy -2x^2 \cdot dy}{2dx}

    = \dfrac{2x \cdot dy -x^2 \cdot dy}{2dx}

    2y ~dx = 2x ~dy -x^2 ~d^2y

    PD : 2y ~dx = 2x ~dy -x^2 ~d^2y

  3. y = x + \dfrac{A}{x}

    Penyelesaian.

    \dfrac{dy}{dx} = 1 -\dfrac{A}{x^2}

    A = \left(1 -\dfrac{dy}{dx} \right) x^2 … (i)

    Substitusi pers (i) ke PD diatas, diperoleh

    y = x + \dfrac{\left( 1-\frac{dy}{dx} \right)x^2}{x}

    = x + \left(1 -\dfrac{dy}{dx} \right) x

    = x + x -x\dfrac{dy}{dx}

    = 2x-x \dfrac{dy}{dx}

    PD : y -2x + x \dfrac{dy}{dx} = 0

  4. y = c_1 e^{-2x} + c_2 e^{3x}

    Penyelesaian.

    y' = -2 c_1 e^{-2x} + 3 c_2 e^{3x}

    y'' = 4 c_1 e^{-2x} + 9 c_2 e^{3x}

    eliminasi y' dan y'' untuk mencari c_2 e^{3x}, diperoleh

    \begin{array}{rll} -2 c_1 e^{-2x} + 3 c_2 e^{3x} &= y' & (\times 2)\\ 4 c_1 e^{-2x} + 9 c_2 e^{3x} &= y'' & +\\ --------- & ---\\ -4 c_1 e^{-2x} + 6 c_2 e^{3x} &= 2y'\\ 4 c_1 e^{-2x} + 9 c_2 e^{3x} &= y'' & +\\ --------- & ---\\ 15 c_2 e^{3x} &= 2y'+y'' \end{array}

    15 c_2 e^{3x} = \dfrac{2y'+y''}{15} … (i)

    \begin{array}{rll} -2 c_1 e^{-2x} + 3 c_2 e^{3x} &= y' & (\times 3)\\ 4 c_1 e^{-2x} + 9 c_2 e^{3x} &= y'' & +\\ --------- & ---\\ -6 c_1 e^{-2x} + 9 c_2 e^{3x} &= 3y'\\ 4 c_1 e^{-2x} + 9 c_2 e^{3x} &= y'' & -\\ --------- & ---\\ -10 c_1 e^{3x} &= 3y'-y'' \end{array}

    c_1 e^{3x} = \dfrac{y''-3y'}{10} … (ii)

    substitusi pers (i) dan pers (ii) ke persamaan diatas, diperoleh

    y = c_1 e^{-2x} + c_2 e^{3x}

    = \dfrac{y''-3y'}{10} + \dfrac{2y'+y''}{15}

    = \dfrac{3y''-9y'}{30} + \dfrac{4y'+2y''}{30}

    = \dfrac{5y''-5y'}{30}

    = \frac{y''-y'}{6}

    PD : 6y-y''-y' = 0

  5. y = e^{-2x} (A + Bx)

    Penyelesaian.

    y = Ae^{-2x} + Bx e{-2x}

    y' = -2Ae^{-2x} + (Bx e{-2x}-2Bx e{-2x})

    = -2e^{-2x} + (A+Bx) + 2B e{-2x})

    A + Bx = \dfrac{y'-Be^{-2x}}{-2e^{-2x}} … (i)

    y'' = 4Ae^{-2x} -2Be^{-2x} + (-2Be^{-2x} + 4Bxe^{-2x})

    = 4Ae^{-2x} -4Be^{-2x} + 4Bxe^{-2x}

    eliminasi y' dan y'' untuk menentukan nilai B

    \begin{array}{rll} y' &= -2Ae^{-2x} +Bx e{-2x}-2Bx e{-2x} & (\times 2)\\ y'' &= 4Ae^{-2x} -4Be^{-2x} +4Bxe^{-2x} & +\\ --& --------------- \\ 2y' &= -4Ae^{-2x} +2Bx e{-2x} -4Bx e{-2x}\\ y'' &= 4Ae^{-2x} -4Be^{-2x} +4Bxe^{-2x} & +\\ -- & ---------------\\ 2y'+y'' &= -2 B e^{-2x} \end{array}

    B = \dfrac{2y'+y''}{-2e^{-2x}} … (iii)

    Substitusi pers (iii) ke pers (i), diperoleh

    A + Bx = \dfrac{y'- \left( \dfrac{2y'+y''}{-2e^{-2x}} \right)e^{-2x}}{-2e^{-2x}}

    = \dfrac{y' + \left( \frac{2y'+y''}{2} \right)}{-2e^{-2x}}

    y = Ae^{-2x} + Bx e^{-2x}

    = (A + Bx)e^{-2x}

    = \left( \dfrac{y' + \left( \dfrac{2y'+y''}{2} \right)}{-2e^{-2x}} \right) e^{-2x}

    = \dfrac{y' + \left( \dfrac{2y'+y''}{2} \right)}{-2}

    =  -\dfrac{y'}{2} - \dfrac{2y'+y''}{4}

    = \dfrac{-2y'-2y'-y''}{4}

    PD : 4y + 4y' + y'' = 0

  6. y = c_1 \cos x + c_2 \sin x

    Penyelesaian :

    y = c_1 \cos x + c_2 \sin x … (i)

    y' = -c_1 \sin x + c_2 \cos x

    y'' = -c_1 \cos x - c_2 \sin x

    y'' = -(c_1 \cos x + c_2 \sin x) … (ii)

    substitusi pers (i) ke pers (ii), diperoleh

    y'' = -y

    PD : y'' +y = 0

  7. x^2 + y^2 -2kx = 0 dengan k \geq 0

    Penyelesaian :

    x^2 + y^2 -2kx = 0 … (i)

    x^2 + y^2 -2kx + k^2 - k^2= 0

    x^2 -2kx + k^2 + y^2 = k^2

    (x - k)^2 + (y-0)^2 = k^2

    ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat (k, 0) dan jari-jari = k

    turunkan persamaan (i), diperoleh

    2x + 2y \dfrac{dy}{dx} -2k = 0

    x + y \dfrac{dy}{dx} -k = 0

    x + y \dfrac{dy}{dx} = k … (ii)

    substitusi pers (ii) ke pers (i), diperoleh

    x^2 + y^2- 2 \left(x + y \dfrac{dy}{dx} \right)x = 0

    PD : x^2 + y^2 -2x^2 +2xy \dfrac{dy}{dx} = 0 

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s