Membentuk Persamaan Diferensial

Setelah menjelaskan apa itu Persamaan Diferensial ? masalah selanjutnya adalah “bagaimana membentuk Persamaan Diferensial ?”. Persamaan diferensial dapat dibentuk dengan mengeliminasi semua konstanta sebarang yang terdapat dalam suatu persamaan atau dengan cara substitusi. Banyaknya konstanta sembarang menunjukkan order tertinggi dari derivatif dalam persamaan diferensial yang dicari. Untuk lebih jelasnya silahkan perhatikan contoh – contoh dibawah ini.

Carilah Persamaan Diferensial dari persmaan-persamaan dibawah ini.

$y = Ax$

Penyelesaian.

Karena konstanta sembarangnya ada satu yaitu $A$ , maka order tertinggi dari derivatfnya adalah satu, sehingga diturunkan persamaannya sekali, sehingga diperoleh

$\dfrac{dy}{dx} = A$ … (i)

substitusi pers (i) ke persamaan diatas, diperoleh

$\begin{array}{rl} y &= \dfrac{dy}{dx} ~x\\ y ~dx &= x ~dy \end{array}$

PD : $y ~dx -x ~dy = 0$
$y = Ax^2 + Bx$

Penyelesaian.

Konstanta sembarang pada persamaan diatas ada dua yaitu $A$ dan $B$ , maka order tertinggi dari derivatifnya adalah dua, sehingga kita menurunkan persamaan tersebut dua kali, sehingga diperoleh

$\dfrac{dy}{dx} = 2Ax + B$

$B = \dfrac{dy}{dx} -2Ax$ … (i)

$\dfrac{d^2y}{dx} = 2A$ … (ii)

Substitusi pers (ii) ke pers (i), diperoleh

$B = \dfrac{dy}{dx} -\dfrac{d^2y}{2dx} 2 x$

$= \dfrac{dy}{dx} -\dfrac{d^2y}{dx} x$ … (iii)

substitusi pers (ii) dan pers (iii) ke PD diatas

$y = \dfrac{d^2y}{2dx} x^2 + \left( \dfrac{dy}{dx}- \dfrac{d^2y}{dx} x \right) x$

$= \dfrac{d^2y}{2dx} x^2 + \dfrac{dy}{dx} x -\dfrac{d^2y}{dx} x^2$

$= \dfrac{x^2 \cdot d^2y + 2x \cdot dy -2x^2 \cdot dy}{2dx}$

$= \dfrac{2x \cdot dy -x^2 \cdot dy}{2dx}$

$2y ~dx = 2x ~dy -x^2 ~d^2y$

PD : $2y ~dx = 2x ~dy -x^2 ~d^2y$
$y = x + \dfrac{A}{x}$

Penyelesaian.

$\dfrac{dy}{dx} = 1 -\dfrac{A}{x^2}$

$A = \left(1 -\dfrac{dy}{dx} \right) x^2$ … (i)

Substitusi pers (i) ke PD diatas, diperoleh

$y = x + \dfrac{\left( 1-\frac{dy}{dx} \right)x^2}{x}$

$= x + \left(1 -\dfrac{dy}{dx} \right) x$

$= x + x -x\dfrac{dy}{dx}$

$= 2x-x \dfrac{dy}{dx}$

PD : $y -2x + x \dfrac{dy}{dx} = 0$
$y = c_1 e^{-2x} + c_2 e^{3x}$

Penyelesaian.

$y' = -2 c_1 e^{-2x} + 3 c_2 e^{3x}$

$y'' = 4 c_1 e^{-2x} + 9 c_2 e^{3x}$

eliminasi $y'$ dan $y''$ untuk mencari $c_2 e^{3x}$ , diperoleh

$\begin{array}{rll} -2 c_1 e^{-2x} + 3 c_2 e^{3x} &= y' & (\times 2)\\ 4 c_1 e^{-2x} + 9 c_2 e^{3x} &= y'' & +\\ --------- & ---\\ -4 c_1 e^{-2x} + 6 c_2 e^{3x} &= 2y'\\ 4 c_1 e^{-2x} + 9 c_2 e^{3x} &= y'' & +\\ --------- & ---\\ 15 c_2 e^{3x} &= 2y'+y'' \end{array}$

$15 c_2 e^{3x} = \dfrac{2y'+y''}{15}$ … (i)

$\begin{array}{rll} -2 c_1 e^{-2x} + 3 c_2 e^{3x} &= y' & (\times 3)\\ 4 c_1 e^{-2x} + 9 c_2 e^{3x} &= y'' & +\\ --------- & ---\\ -6 c_1 e^{-2x} + 9 c_2 e^{3x} &= 3y'\\ 4 c_1 e^{-2x} + 9 c_2 e^{3x} &= y'' & -\\ --------- & ---\\ -10 c_1 e^{3x} &= 3y'-y'' \end{array}$

$c_1 e^{3x} = \dfrac{y''-3y'}{10}$ … (ii)

substitusi pers (i) dan pers (ii) ke persamaan diatas, diperoleh

$y = c_1 e^{-2x} + c_2 e^{3x}$

$= \dfrac{y''-3y'}{10} + \dfrac{2y'+y''}{15}$

$= \dfrac{3y''-9y'}{30} + \dfrac{4y'+2y''}{30}$

$= \dfrac{5y''-5y'}{30}$

$= \frac{y''-y'}{6}$

PD : $6y-y''-y' = 0$
$y = e^{-2x} (A + Bx)$

Penyelesaian.

$y = Ae^{-2x} + Bx e{-2x}$

$y' = -2Ae^{-2x} + (Bx e{-2x}-2Bx e{-2x})$

$= -2e^{-2x} + (A+Bx) + 2B e{-2x})$

$A + Bx = \dfrac{y'-Be^{-2x}}{-2e^{-2x}}$ … (i)

$y'' = 4Ae^{-2x} -2Be^{-2x} + (-2Be^{-2x} + 4Bxe^{-2x})$

$= 4Ae^{-2x} -4Be^{-2x} + 4Bxe^{-2x}$

eliminasi $y'$ dan $y''$ untuk menentukan nilai $B$

$\begin{array}{rll} y' &= -2Ae^{-2x} +Bx e{-2x}-2Bx e{-2x} & (\times 2)\\ y'' &= 4Ae^{-2x} -4Be^{-2x} +4Bxe^{-2x} & +\\ --& --------------- \\ 2y' &= -4Ae^{-2x} +2Bx e{-2x} -4Bx e{-2x}\\ y'' &= 4Ae^{-2x} -4Be^{-2x} +4Bxe^{-2x} & +\\ -- & ---------------\\ 2y'+y'' &= -2 B e^{-2x} \end{array}$

$B = \dfrac{2y'+y''}{-2e^{-2x}}$ … (iii)

Substitusi pers (iii) ke pers (i), diperoleh

$A + Bx = \dfrac{y'- \left( \dfrac{2y'+y''}{-2e^{-2x}} \right)e^{-2x}}{-2e^{-2x}}$

$= \dfrac{y' + \left( \frac{2y'+y''}{2} \right)}{-2e^{-2x}}$

$y = Ae^{-2x} + Bx e^{-2x}$

$= (A + Bx)e^{-2x}$

= $\left( \dfrac{y' + \left( \dfrac{2y'+y''}{2} \right)}{-2e^{-2x}} \right) e^{-2x}$

$= \dfrac{y' + \left( \dfrac{2y'+y''}{2} \right)}{-2}$

$= -\dfrac{y'}{2} - \dfrac{2y'+y''}{4}$

$= \dfrac{-2y'-2y'-y''}{4}$

PD : $4y + 4y' + y'' = 0$
$y = c_1 \cos x + c_2 \sin x$

Penyelesaian :

$y = c_1 \cos x + c_2 \sin x$ … (i)

$y' = -c_1 \sin x + c_2 \cos x$

$y'' = -c_1 \cos x - c_2 \sin x$

$y'' = -(c_1 \cos x + c_2 \sin x)$ … (ii)

substitusi pers (i) ke pers (ii), diperoleh

$y'' = -y$

PD : $y'' +y = 0$
$x^2 + y^2 -2kx = 0$ dengan $k \geq 0$

Penyelesaian :

$x^2 + y^2 -2kx = 0$ … (i)

$x^2 + y^2 -2kx + k^2 - k^2= 0$

$x^2 -2kx + k^2 + y^2 = k^2$

$(x - k)^2 + (y-0)^2 = k^2$

ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat $(k, 0)$ dan jari-jari = $k$

turunkan persamaan (i), diperoleh

$2x + 2y \dfrac{dy}{dx} -2k = 0$

$x + y \dfrac{dy}{dx} -k = 0$

$x + y \dfrac{dy}{dx} = k$ … (ii)

substitusi pers (ii) ke pers (i), diperoleh

$x^2 + y^2- 2 \left(x + y \dfrac{dy}{dx} \right)x = 0$

PD : $x^2 + y^2 -2x^2 +2xy \dfrac{dy}{dx} = 0$

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

E-mail (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	fika pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Hera pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Hera pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Luas Segiempat Sembarang
	aim pada Metode Secant (Secant Met…
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Jasa Jawab Soal
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan