Des 16 2012

Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Peubah Terpisah

Persamaan Diferensial (PD) orde satu merupakan bentuk PD yang paling sederhana, karena hanya melibatkan turunan pertama dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Jika dalam persamaan tersebut variabel bebas dan variabel terikatnya berada pada sisi yang berbeda dari tanda persamaannya, maka disebut PD peubah terpisah dan untuk menentukan penyelesaiannya, tinggal diintegralkan. Jika tidak demikian, maka disebut PD peubah tak terpisah. Suatu PD orde satu yang peubahnya tak terpisah biasanya dapat dengan mudah dijadikan PD peubah terpisah melalui penggantian (substitusi) dari salah satu variabelnya.

Bentuk umum dengan peubah-peubah terpisah dapat ditulis sebagai berikut $M(x) dx + N(y) dy = 0$ . Oleh karena itu, variabel-variabel telah terpisah dan penyelesaian PD diatas adalah dengan mengintegralkan suku demi suku yaitu $\displaystyle \int M(x) ~dx + \int N(y) ~dy = C$ , dengan $C$ adalah konstanta sebarang.
Contoh 1.

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

$x ~dx + y ~dy = 0$

Penyelesaian.

karena peubahnya sudah terpisah, maka langsung bisa diintegralkan

$\displaystyle \int x ~dx = \int y ~dy$

$\dfrac{1}{2} x^2 + c_1 = \dfrac{1}{2} y^2 + c_2$

$\dfrac{1}{2} x^2- \dfrac{1}{2} y^2 = c_2-c_1$

$x^2-y^2 = 2(c_2-c_1)$

$x^2-y^2 = c$ , dengan $c = 2(c_2-c_1)$
$9yy' + 4x = 0$

Penyelesaian.

$9yy' + 4x = 0$

$9y \dfrac{dy}{dx} = -4x$

$9y ~dy = -4x dx$

$\displaystyle \int 9y ~dy = \int -4x ~dx$

$\dfrac{9}{2} y^2 + c_1 = -2x^2 + c_2$ [bagi 18]

$\dfrac{y^2}{4} + \dfrac{c_1}{18} = -\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{c_2}{18}$

$\dfrac{y^2}{4} + \dfrac{x^2}{9} = C$ , dengan $C = \dfrac{c_2-c_1}{18}$
$(1-y)y' = x^2$

Penyelesaian.

$(1-y)y' = x^2$

$(1-y) \dfrac{dy}{dx} = x^2$

$\displaystyle \int (1-y) dy = \int x^2 ~dx$

$\displaystyle \int (1-y) \dfrac{d(1-y)}{-1} = \int x^2 ~dx$

$-\dfrac{1}{2} (1-y)^2 + c_1 = \dfrac{1}{3} x^3 + c_2$

$-\dfrac{1}{2} (1-y)^2- \dfrac{1}{3} x^3 = c_2-c_1$

$3(1-y)^2 + 2x^3 ~dx = -6(c_2-c_1)$

$3(1-y)^2 + 2x^3 ~dx = c$ , dengan $c = -6(c_2-c_1)$
$2x dx -(y + 1) dy = 0$

Penyelesaian.

$2x dx -(y + 1) dy = 0$

$\displaystyle\int 2x ~dx = \int (y + 1) ~dy$

$x^2+c_1 = \dfrac{1}{2} (y + 1)^2 + c_2$

$x^2 -\dfrac{1}{2} (y + 1)^2 = c_2-c_1$

$2x^2 -(y + 1)^2 = 2(c_2-c_1)$

$2x^2 -(y + 1)^2 = c$ , dengan $c = 2(c_2-c_1)$

Jika PD berbentuk $M(x, y) ~dx + N(x, y) ~dy = 0$ , maka kita harus bentuk menjadi PD peubah terpisah. Jika PD tersebut berbentuk $f_1(x)g_2(y) ~dy + f_2(x)g_1(y) ~dy = 0$ yaitu dipisahkan dengan melakukan pembagian $f_2(x)g_2(y)$ , sehingga diperoleh $\dfrac{f_1(x)}{f_2(2)} ~dx + \dfrac{g_1(y)}{g_2(y)} ~dy = 0$ . Untuk mencari solusinya, tinggal diintegralkan saja, diperoleh $\displaystyle \int \dfrac{f_1(x)}{f_2(2)} ~dx + \int \dfrac{g_1(y)}{g_2(y)} ~dy = C$ .

Contoh 2.

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

$y ~dx + (1 + x^2) ~dy = 0$ , dengan $y \neq 0$

Penyelesaian.

$y ~dx + (1 + x^2) ~dy = 0$ [bagi dengan $y (1 + x^2)$ ]

$\dfrac{1}{(1+x^2)} ~dx + \dfrac{1}{y} ~dy = 0$

$\displaystyle \int \dfrac{1}{(1+x^2)} ~dx + \int \dfrac{1}{y} ~dy = C$

$arc \tan x + \ln y = C$

NOTE : $\displaystyle \int \dfrac{1}{(1+x^2)} ~dx = arc \tan x$ baca DISINI
$2(y + 3) ~dx -xy ~dy = 0$

Penyelesaian.

$2(y + 3) ~dx -xy ~dy = 0$ [bagi dengan $latex (y + 3)x]

$\dfrac{2}{x} ~dx + \dfrac{y}{y+3} ~dy = 0$

$\displaystyle \int \dfrac{2}{x} ~dx + \int \dfrac{y}{y+3} ~dy = C$

$\displaystyle 2 \ln x + \int \dfrac{y+3-3}{y+3} ~dy = C$

$\displaystyle 2 \ln x + \int \dfrac{y+3}{y+3} ~dy- \int \dfrac{3}{y+3} ~dy = C$

$\displaystyle 2 \ln x + y- \int \dfrac{3}{y+3} \dfrac{d(y+3)}{1} = C$

$2 \ln x + y- 3 \ln (y + 3) = C$

$\ln x^2 + y- \ln (y + 3)^3 = C$

4 comments on “Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Peubah Terpisah”

Anonim

Agustus 29, 2016 @ 8:36 am

sangat membantu, terimakasih..

Balas
Wiwik

Maret 16, 2017 @ 10:06 pm

KURANG BUANYAK……….CONTOH SOALNYA……DITAMBAH YAA

Balas
- aim
  
  Maret 17, 2017 @ 6:18 pm
  
  ditampung y sarannya 🙂
  
  Balas
Ping-balik: Persamaan Diferensial Peubah Terpisah | UNA's Blog

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Cahya pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Cahya pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Yuliana pada Deret MacLaurin
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	sarnis pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Pembahasan TKPA Matematika Das…
	Aaa pada Pembahasan TKPA Matematika Das…
	aim pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	aim pada Pembahasan Latihan Soal TPA De…
	aim pada Pembahasan Soal Barisan dan De…

Share this:

Sukai ini:

Terkait

4 comments on “Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Peubah Terpisah”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan