Des 16 2012

Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Peubah Terpisah


Persamaan Diferensial (PD) orde satu merupakan bentuk PD yang paling sederhana, karena hanya melibatkan turunan pertama dari suatu fungsi yang tidak diketahui. Jika dalam persamaan tersebut variabel bebas dan variabel terikatnya berada pada sisi yang berbeda dari tanda persamaannya, maka disebut PD peubah terpisah dan untuk menentukan penyelesaiannya, tinggal diintegralkan. Jika tidak demikian, maka disebut PD peubah tak terpisah. Suatu PD orde satu yang peubahnya tak terpisah biasanya dapat dengan mudah dijadikan PD peubah terpisah melalui penggantian (substitusi) dari salah satu variabelnya.

Bentuk umum dengan peubah-peubah terpisah dapat ditulis sebagai berikut M(x) dx + N(y) dy = 0. Oleh karena itu, variabel-variabel telah terpisah dan penyelesaian PD diatas adalah dengan mengintegralkan suku demi suku yaitu \displaystyle \int M(x) ~dx + \int N(y) ~dy = C, dengan C adalah konstanta sebarang.
Contoh 1.

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

  1. x ~dx + y ~dy = 0

    Penyelesaian.

    karena peubahnya sudah terpisah, maka langsung bisa diintegralkan

    \displaystyle \int x ~dx = \int y ~dy

    \dfrac{1}{2} x^2 + c_1 = \dfrac{1}{2} y^2 + c_2

    \dfrac{1}{2} x^2- \dfrac{1}{2} y^2 = c_2-c_1

    x^2-y^2 = 2(c_2-c_1)

    x^2-y^2 = c, dengan c = 2(c_2-c_1)

  2. 9yy' + 4x = 0

    Penyelesaian.

    9yy' + 4x = 0

    9y \dfrac{dy}{dx} = -4x

    9y ~dy = -4x dx

    \displaystyle \int 9y ~dy = \int -4x ~dx

    \dfrac{9}{2} y^2 + c_1 = -2x^2 + c_2 [bagi 18]

    \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{c_1}{18} = -\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{c_2}{18}

    \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{x^2}{9} = C, dengan C = \dfrac{c_2-c_1}{18}

  3. (1-y)y' = x^2

    Penyelesaian.

    (1-y)y' = x^2

    (1-y) \dfrac{dy}{dx} = x^2

    \displaystyle \int (1-y) dy = \int x^2 ~dx

    \displaystyle \int (1-y) \dfrac{d(1-y)}{-1} = \int x^2 ~dx

    -\dfrac{1}{2} (1-y)^2 + c_1 = \dfrac{1}{3} x^3 + c_2

    -\dfrac{1}{2} (1-y)^2- \dfrac{1}{3} x^3 = c_2-c_1

    3(1-y)^2 + 2x^3 ~dx = -6(c_2-c_1)

    3(1-y)^2 + 2x^3 ~dx = c, dengan c = -6(c_2-c_1)

  4. 2x dx -(y + 1) dy = 0

    Penyelesaian.

    2x dx -(y + 1) dy = 0

    \displaystyle\int 2x ~dx = \int (y + 1) ~dy

    x^2+c_1 = \dfrac{1}{2} (y + 1)^2 + c_2

    x^2 -\dfrac{1}{2} (y + 1)^2 = c_2-c_1

    2x^2 -(y + 1)^2 = 2(c_2-c_1)

    2x^2 -(y + 1)^2 = c, dengan c = 2(c_2-c_1)

Jika PD berbentuk M(x, y) ~dx + N(x, y) ~dy = 0, maka kita harus bentuk menjadi PD peubah terpisah. Jika PD tersebut berbentuk f_1(x)g_2(y) ~dy + f_2(x)g_1(y) ~dy = 0 yaitu dipisahkan dengan melakukan pembagian f_2(x)g_2(y), sehingga diperoleh \dfrac{f_1(x)}{f_2(2)} ~dx + \dfrac{g_1(y)}{g_2(y)} ~dy = 0. Untuk mencari solusinya, tinggal diintegralkan saja, diperoleh \displaystyle \int \dfrac{f_1(x)}{f_2(2)} ~dx + \int \dfrac{g_1(y)}{g_2(y)} ~dy = C.

Contoh 2.

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

  1. y ~dx + (1 + x^2) ~dy = 0, dengan y \neq 0

    Penyelesaian.

    y ~dx + (1 + x^2) ~dy = 0 [bagi dengan y (1 + x^2)]

    \dfrac{1}{(1+x^2)} ~dx + \dfrac{1}{y} ~dy = 0

    \displaystyle \int \dfrac{1}{(1+x^2)} ~dx + \int \dfrac{1}{y} ~dy = C

    arc \tan x + \ln y = C

    NOTE : \displaystyle \int \dfrac{1}{(1+x^2)} ~dx = arc \tan x baca DISINI

  2. 2(y + 3) ~dx -xy ~dy = 0

    Penyelesaian.

    2(y + 3) ~dx -xy ~dy = 0 [bagi dengan $latex (y + 3)x]

    \dfrac{2}{x} ~dx + \dfrac{y}{y+3} ~dy = 0

    \displaystyle \int \dfrac{2}{x} ~dx + \int \dfrac{y}{y+3} ~dy = C

    \displaystyle 2 \ln x + \int \dfrac{y+3-3}{y+3} ~dy = C

    \displaystyle 2 \ln x + \int \dfrac{y+3}{y+3} ~dy- \int \dfrac{3}{y+3} ~dy = C

    \displaystyle 2 \ln x + y- \int \dfrac{3}{y+3} \dfrac{d(y+3)}{1} = C

    2 \ln x + y- 3 \ln (y + 3) = C

    \ln x^2 + y- \ln (y + 3)^3 = C

6 comments on “Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Peubah Terpisah”

  3. Ping-balik: Persamaan Diferensial Peubah Terpisah | UNA's Blog

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s