Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Homogen


f(x, y) disebut fungsi homogen berpangkat n jika memenuhi f(kx, ky) = kn f(x, y) dengan k adalah konstanta.

Contoh :

  1. f(x, y) = x + 3y

    f(kx, ky) = kx + 3ky

    = k(x + 3y), fungsi homogen pangkat 1

  2. f(x, y) = ey/x + tan (y/x)

    f(kx, ky) = eky/kx + tan (ky/kx)

    = k0 (ey/x + tan (y/x)), fungsi homogen pangkat 0

  3. f(x, y) = x2 + 2xy + y2

    f(kx, ky) = (kx)2 + 2 kx ky + (ky)2

    = k2 (x2 + 2xy + y2), , fungsi homogen pangkat n

  4. F(x, y) = 5x – 7y + 13

    bukan fungsi homogen karena F(kx, ky) \neq kn(5x – 7y + 13)

  5. F(x,y) = 4x3 + 3y3 – 6xy,

    bukan fungsi homogen karena F(kx, ky) \neq kn(4x3 + 3y3 – 6xy)

  6. F(x,y) = x2 + 5y – 6x2y,

    bukan fungsi homogen karena F(kx, ky) \neq kn(x2 + 5y – 6x2y)

Bentuk umum PD Homogen adalah M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. Jika M(x, y) dan N(x, y) maing-masing merupakan fungsi homogen dan berpangkat sama dalam x dan y atau PD tersebut dapat diubah menjadi bentuk M(y/x) dx + N(y/x) dy = 0 atau M(x/y) dx + N(x/y) dy = 0.

Jika PD sudah diubah menjadi M(y/x) dx + N(y/x) dy = 0, maka untuk menentukan solusi PD tersebut,

ambil u = \frac{y}{x} \Leftrightarrow y = ux

dy = u dx + x du

M(u) dx + N(u) dy (u dx + x du) = 0

(M(u) + u N(u)) dx + x N(u) du = 0

\frac{1}{x} dx + \frac{N(u)}{M(u)+u.N(u)} du = 0

Sehingga solusinya : \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{N(u)}{M(u)+u.N(u)} du = C, dengan u = \frac{y}{x}

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari PD berikut

  1. (x2 – xy + y2) dx – xy dy = 0

    Penyelesaian :

    Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

    ambil M(x, y) = x2 – xy + y2

    M(kx, ky) = (kx)2 – kx ky + (ky)2

    = k2(x2 – xy + y2)

    N(x, y) = xy

    N(kx, ky) = kx ky

    = k2(xy)

    (x2 – xy + y2) dx – xy dy = 0 adalah PD homogen

    (x2 – xy + y2) dx – xy dy = 0, bagi dengan x2, diperoleh

    (1 – \frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2 ) dx – \frac{y}{x} dy = 0 … (i)

    misal : y = ux

    dy = u dx + x du

    substitusi ke pers (i)

    (1 – u + u2) dx – u (u dx + x du) = 0

    dx – u dx + u2 dx – u2 dx – ux du = 0

    (1 – u) dx – ux du = 0 [bagi dengan x(1 – u)]

    \frac{1}{x} dx – \frac{u}{1-u} du = 0

    \int \frac{1}{x} dx – \int \frac{u}{1-u} du = c1

    ln x – \int \frac{u-1+1}{1-u} du = c1

    ln x – \int \frac{u-1}{1-u} du – \int \frac{1}{1-u} du = c1

    ln x + u + ln (1 – u) = ln C, dengan ln C = c1

    substitusi kembali u = \frac{y}{x} , sehingga

    ln x + \frac{y}{x} + ln (1 – \frac{y}{x} ) = ln C

  2. (1 + 2ex/y) dx + 2ex/y(1 – x/y) dy = 0

    Penyelesaian :

    Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen

    ambil M(x, y) = 1 + 2ex/y

    M(kx, ky) = 1 + 2ekx/ky

    = k0(1 + 2ex/y)

    N(x, y) = 2ex/y(1 – x/y)

    N(kx, ky) = 2ekx/ky(1 – kx/ky)

    = k0(2ex/y(1 – x/y))

    (1 + 2ex/y) dx + 2ex/y(1 – x/y) dy = 0 adalah PD homogen … (i)

    misal : x = uy

    dx = u dy + y du

    substitusi ke pers (i), sehingga

    (1 + 2eu) (u dy + y du) + 2eu(1 – u) dy = 0

    u dy + y du + u 2eu dy + y 2eu du + 2eu dy – u 2eu dy = 0

    u dy + y du + y 2eu du + 2eu dy = 0

    (u + 2eu) dy + y(1 + 2eu) du + = 0 [bagi dengan y(u + 2eu)]

    \frac{1}{y} dy + \frac{1+2e^u}{u+2e^u} du = 0

    \int \frac{1}{y} dy + \int \frac{1+2e^u}{u+2e^u} du = c1

    ln y + \int \frac{1+2e^u}{u+2e^u} \frac{d(u+2e^u)}{1+2e^u} = c1

    ln y + ln (u + 2eu) = ln C, dengan ln C = c1

    substitusi kembali u = \frac{x}{y} , sehingga

    ln y + ln (x/y + 2ex/y) = ln C

    ln (y(x/y + 2ex/y)) = ln C

    x + 2yex/y = C

  3. 2xyy’ – y2 + x2 = 0

    Penyelesaian :

    Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

    2xy \frac{dy}{dx} – y2 + x2 = 0

    2xy dy + (x2 – y2) dx = 0

    ambil M(x, y) = 2xy

    M(kx, ky) = 2 kx ky

    = k2(2xy)

    N(x, y) = x2 – y2

    N(kx, ky) = (kx)2 – (ky)2

    = k2(x2 – y2)

    2xy dy + (x2 – y2) dx = 0 adalah PD homogen

    2xy dy + (x2 – y2) dx = 0 [bagi x2]

    \frac{2y}{x} dy + (1 – \frac{y^2}{x^2} ) dx = 0 … (i)

    ambil y = ux

    dy = x du + u dx

    substitusi ke pers (i), diperoleh

    2u(x du + u dx) + (1 – u2) dx = 0

    2ux du + 2u2 dx + dx – u2 dx = 0

    2ux du + (u2 + 1) dx = 0 [bagi dengan x(u2 + 1)]

    2\frac{u}{(u^2+1)} du+ \frac{1}{x} dx = 0

    \int 2\frac{u}{(u^2+1)} du+ \int \frac{1}{x} dx = c1

    \int 2\frac{u}{(u^2+1)} \frac{d(u^2+1)}{2u} + \int \frac{1}{x} dx = c1

    ln (u2 + 1) + ln x = ln C, dengan ln C = c1

    ln (u2 + 1) = -ln x + ln C

    ln (u2 + 1) = ln \frac{C}{x}

    u2 + 1 = \frac{C}{x}

    substitusi kembali u = \frac{y}{x} , diperoleh

    (\frac{y}{x})^2 + 1 = \frac{C}{x}

    y2 + x2 = Cx

    y2 + x2 – 2\frac{C}{2} x + \frac{C}{4} \frac{c}{4} = 0

    (y – 0)2 + (x – \frac{c}{2} )2 = \frac{C}{4}

7 comments on “Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Homogen

  1. Ping-balik: Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Tidak Homogen | Math IS Beautiful

  2. penyelesaian umum dari persamaan deferensial berikut :
    1) x²+(y+1)² dy/dx=0
    2) dy/dx=1+y/2+x
    3) dy/dx=x+3y/2x
    4) dy/dx=x²+y²/xy
    5) dy/dx-y=x

    dibantu donk…

  3. Mau nanya bang, itu PD kan penyelesaian nya kalo kita udah dapet y = ….. , dari contoh latihan yang abang kerjakan masih dalam bentuk persamaan kasar nya bang. Yang bener yang mana bang? Kalo bener yang y = ….. , coba dijadiin kayak gitu bang. Makasih 🙂

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s