Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Homogen


f(x, y) disebut fungsi homogen berpangkat n jika memenuhi f(kx, ky) = k^n f(x, y) dengan k adalah konstanta.

Contoh 1.

  1. f(x, y) = x + 3y

    f(kx, ky) = kx + 3ky

    = k(x + 3y), fungsi homogen pangkat 1

  2. f(x, y) = e^{\frac{y}{x}} + \tan \dfrac{y}{x}

    f(kx, ky) = e^{\frac{ky}{kx}} + \tan \dfrac{ky}{kx}

    = k^0 \left( e^{\frac{ky}{kx}} + \tan \dfrac{ky}{kx} \right), fungsi homogen pangkat 0

  3. f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2

    f(xk, ky) = (kx)^2 + 2 \cdot kx \cdot ky + (ky)^2

    = k^2 (x^2 + 2xy + y^2), fungsi homogen pangkat n

  4. F(x, y) = 5x-7y + 13

    bukan fungsi homogen karena F(kx, ky) \neq k^n (5x -7y + 13)

  5. F(x,y) = 4x^3 + 3y^3 -6xy,

    bukan fungsi homogen karena F(kx,ky) \neq k^n(4x^3 + 3y^3 -6xy)

  6. F(x,y) = x^2 + 5y -6x^2y,

    bukan fungsi homogen karena F(kx,ky) \neq k^n (x^2 + 5y -6x^2y)

Bentuk umum PD Homogen adalah M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. Jika M(x, y) dan N(x, y) maing-masing merupakan fungsi homogen dan berpangkat sama dalam x dan y atau PD tersebut dapat diubah menjadi bentuk M \left( \dfrac{y}{x} \right) dx + N \left( \dfrac{y}{x} \right) dy = 0 atau M \left( \dfrac{x}{y} \right) dx + N \left( \dfrac{x}{y} \right) dy = 0.

Jika PD sudah diubah menjadi M \left( \dfrac{y}{x} \right) dx + N \left( \dfrac{y}{x} \right) dy = 0, maka untuk menentukan solusi PD tersebut,

ambil u = \dfrac{y}{x} \Leftrightarrow y = ux

dy = u ~dx + x ~du

M(u) ~dx + N(u) ~dy (u dx + x du) = 0

(M(u) + u N(u)) ~dx + x N(u) ~du = 0

\dfrac{1}{x} ~dx + \dfrac{N(u)}{M(u)+u \cdot N(u)} ~du = 0

Sehingga solusinya : \displaystyle \int \dfrac{1}{x} ~dx + \int \dfrac{N(u)}{M(u)+u \cdot N(u)} ~du = C, dengan u = \dfrac{y}{x}

Contoh 2.

Tentukan penyelesaian dari PD berikut 

  1. (x^2 -xy + y^2) ~dx -xy~dy = 0

Penyelesaian.

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

ambil M(x, y) = x^2 -xy + y^2

M(kx, ky) = (kx)^2 -kx ~ky + (ky)^2

= k^ (x^2 -xy + y)

N(x, y) = xy

N(kx, ky) = kx~ky

= k^2(xy)

(x^2 -xy + y^2)~dx -xy~dy = 0 adalah PD homogen

(x^2 -xy + y^2)~dx -xy~dy = 0, bagi dengan x^2, diperoleh

\left( 1- \dfrac{y}{x} + \left( \dfrac{y}{x} \right)^2 \right) dx -\dfrac{y}{x} ~dy = 0 … (i)

misal : y = ux

dy = u ~dx + x ~du

substitusi ke pers (i)

(1-u + u^2)~dx -u(u~dx + x~du) = 0

dx -u ~dx + u^2~dx -u^2~dx -ux ~du = 0

(1-u) ~dx- ux ~du = 0 [bagi dengan x(1-u)]

\dfrac{1}{x} ~dx -\dfrac{u}{1-u} ~du = 0

\displaystyle \int \dfrac{1}{x} ~dx -\int \dfrac{u}{1-u} ~du = c_1

-ln x -\displaystyle \int \dfrac{u-1+1}{1-u} ~du = c_1

\ln x -\displaystyle \int \dfrac{u-1}{1-u} ~du -\int \dfrac{1}{1-u} ~du = c_1

\ln x + u + \ln (1-u) = \ln C, dengan \ln C = c_1

substitusi kembali u = \dfrac{y}{x}, sehingga diperoleh

\ln x + \dfrac{y}{x} + \ln \left(1- \dfrac{y}{x} \right) = \ln C

  • \left(1 + 2e^{\frac{x}{y}} \right) dx + 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right) dy = 0

    Penyelesaian.

    Cek terlebih dahulu apakah PD tersebut adalah PD homogen

    ambil M(x, y) = 1 + 2e^{\frac{x}{y}}

    M(kx, ky) = 1 + 2e^{\frac{kx}{ky}}

    = k^0 \left(1 + 2e^{\frac{x}{y}} \right)

    N(x, y) = 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right)

    N(kx, ky) = 2e^{\frac{kx}{ky}} \left(1- \dfrac{kx}{ky} \right)

    = k^0 \left( 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right) \right)

    \left(1 + 2e^{\frac{x}{y}} \right) dx + 2e^{\frac{x}{y}} \left(1- \dfrac{x}{y} \right) dy = 0 adalah PD homogen … (i)

    misal : x = uy

    dx = u ~dy + y ~du

    substitusi ke pers (i), sehingga

    (1 + 2e^u)(u~dy + y ~du) + 2e^u (1-u) dy = 0

    u ~dy + y ~du + u 2e^u ~dy + y 2e^u ~du + 2e^u ~dy -u 2e^u ~dy = 0

    u ~dy + y ~du + y 2e^u ~du + 2e^u ~dy = 0

    (u + 2e^u) ~dy + y(1 + 2e^u) ~du = 0 [bagi dengan y(u + 2e^u)]

    \dfrac{1}{y} ~dy + \dfrac{1+2e^u}{u+2e^u} ~du = 0

    \displaystyle \int \dfrac{1}{y} ~dy + \int \dfrac{1+2e^u}{u+2e^u} ~du = c_1

    \ln y + \displaystyle \int \dfrac{1+2e^u}{u+2e^u} ~\dfrac{d(u+2e^u)}{1+2e^u} = c_1

    \ln y + \ln (u + 2e^u) = \ln C, dengan \ln C = c_1

    substitusi kembali u = \dfrac{x}{y}, sehingga

    \ln y + \ln \left( \dfrac{x}{y} + 2e^{\frac{x}{y}} \right) = \ln C

    \ln \left(y \left( \dfrac{x}{y} + 2e^{\frac{x}{y}} \right) \right) = \ln C

    x + 2ye^{\frac{x}{y}} = C

  • 2xyy' -y^2 + x^2 = 0

Penyelesaian.

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD homogen

2xy \dfrac{dy}{dx} -y^2 + x^2 = 0

2xy ~dy + (x^2-y^2)dx = 0

ambil M(x, y) = 2xy

M(kx, ky) = 2 ~kx ~ky

= k^2(2xy)

N(x, y) = x^2-y^2

N(kx, ky) = (kx)^2-(ky)^2

= k^2(x^2-y^2)

2xy~dy + (x^2-y^2) ~dx = 0 adalah PD homogen

2xy~dy + (x^2-y^2) ~dx = 0 [bagi x^2]

\dfrac{2y}{x}~dy + \left(1 -\dfrac{y^2}{x^2} \right) dx = 0 … (i)

ambil y = ux

dy = x ~du + u ~dx

substitusi ke pers (i), diperoleh

2u(x ~du + u ~dx) + (1-u^2)~ dx = 0

2ux ~du + 2u^2 ~dx + dx -u^2 ~dx = 0

2ux ~du + (u^2+ 1) ~dx = 0 [bagi dengan x(u^2+ 1)]

2\dfrac{u}{(u^2+1)} ~du+ \dfrac{1}{x} ~dx = 0

\displaystyle \int 2\dfrac{u}{(u^2+1)} ~du+ \int \dfrac{1}{x} ~dx = c_1

\displaystyle \int 2 \dfrac{u}{(u^2+1)} ~\dfrac{d(u^2+1)}{2u} + \int \dfrac{1}{x} ~dx = c_1

\ln (u^2+1) + \ln x = \ln C, dengan \ln C = c_1

\ln (u^2+1) = -\ln x + \ln C

\ln (u^2+1) = \ln \dfrac{C}{x}

u^2+1 = \dfrac{C}{x}

substitusi kembali u = \dfrac{y}{x}, diperoleh

\left( \dfrac{y}{x} \right)^2 + 1 = \dfrac{C}{x}

y^2 + x^2 = Cx

y^2 + x^2 -2\dfrac{C}{2} x + \dfrac{C}{4} -\dfrac{C}{4} = 0

(y-0)^2 + \left( x^2 -\dfrac{C}{2} \right)^2 = \dfrac{C}{4}

10 comments on “Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Homogen

  1. Ping-balik: Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Tidak Homogen | Math IS Beautiful

  2. penyelesaian umum dari persamaan deferensial berikut :
    1) x²+(y+1)² dy/dx=0
    2) dy/dx=1+y/2+x
    3) dy/dx=x+3y/2x
    4) dy/dx=x²+y²/xy
    5) dy/dx-y=x

    dibantu donk…

  3. Mau nanya bang, itu PD kan penyelesaian nya kalo kita udah dapet y = ….. , dari contoh latihan yang abang kerjakan masih dalam bentuk persamaan kasar nya bang. Yang bener yang mana bang? Kalo bener yang y = ….. , coba dijadiin kayak gitu bang. Makasih 🙂

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s