Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Tidak Homogen


Persamaan Diferensial Tidak Homogen adalah PD yang mempunyai bentuk

(ax + by + c) dx + (px + qy + r) dy = 0 … (i)

dengan a, b, c, p, q, r adalah konstanta.

Untuk menyelesaikan PD tersebut, terlebih dahulu harus perhatikan kemungkian-kemungkinan yang terjadi, yaitu :

(a) jika \dfrac{a}{p} \neq \dfrac{b}{q} \neq \dfrac{c}{r} atau aq -bp \neq 0

(b) jika \dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q} \neq \dfrac{c}{r} atau aq -bp = 0

(c) jika \dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q} = \dfrac{c}{r} = m

Pertama pandang kasus (a) yaitu jika \dfrac{a}{p} \neq \dfrac{b}{q} \neq \dfrac{c}{r} atau aq -bp \neq 0

ax + by + c = u \Rightarrow a ~dx + b ~dy = du

px + qy + r = v \Rightarrow p ~dx + q ~dy = dv

\begin{array}{lll} a ~dx + b ~dy &= du & (\times q)\\ p ~dx + q ~dy &= dv & (\times b)\\ ------ &--- & -\\ aq ~dx + bq ~dy &= q ~du\\ bp ~dx + bq ~dy &= b ~dv\\ ------ &--- & -\\ (aq -bp) ~dx &= q ~du- b ~dv \end{array}

dx = \dfrac{q~du-b~dv}{(aq-bp)} … (ii)

denga cara yang sama yaitu mengeliminasi dx, diperoleh

dy = \dfrac{a~dv-p~du}{(aq-bp)} … (iii)

kemudian substitusi u, v, pers (ii) dan (iii) ke PD awal [pers (i)]

u ~dx + v ~dy = 0

u  \left( \dfrac{q~du-b~dv}{aq-bp} \right) + v \left( \dfrac{a~dv-p~du}{aq-bp} \right) = 0

u (q ~du -b ~dv) + v (a ~dv -p ~du) = 0

qu ~du -bu ~dv + av ~dv-pv ~du = 0

(qu -pv) du + (av -bu) dv = 0 ==> PD Homogen

Setelah PD awal tersebut berbentuk seperti PD terakhir diatas, maka penyelesaiannya menggunakan Penyelesaian PD Homogen.

Contoh 1.

Selesaikan persamaan – persamaan berikut :

  1. (x + 2y -4) dx -(2x + y -3) dy = 0

    Penyelesaian.

    (x + 2y -4) dx -(2x + y -3) dy = 0

    \frac{a}{p} = \frac{1}{-2} \frac{b}{q} = \frac{2}{-1} , dan \frac{c}{r} = \frac{-4}{-3}

    Karena \dfrac{a}{p} \neq \dfrac{b}{q} \neq \dfrac{c}{r}, maka dapt diselesaikan PD diatas dengan kasus (a)

    x + 2y -4 = u \Rightarrow dx + 2 dy = du

    -2x -y + 3 = v \Rightarrow -2 ~dx -dy = dv

    \begin{array}{rll} 2~dx + 4~dy &= 2~du\\ -2~dx -dy &= dv\\ ------ & -- & +\\ 3~dy &= 2~du + dv \end{array}

    dy = \dfrac{2du+dv}{3}

    \begin{array}{rll} dx + 2~dy &= du\\ -4~dx -2~dy &= 2~dv\\ ------ & -- & +\\ -3~dx &= du + 2~dv \end{array}

    dx = \dfrac{du+2~dv}{-3} = \dfrac{-du-2~dv}{3}

    u ~dx + v ~dy = 0

    u \left( \dfrac{-du-2dv}{3} \right) + v \left( \dfrac{2du+dv}{3} \right) = 0

    u (-du -2~dv) + v (2~du + dv) = 0

    (-u + 2v) du + (-2u + v) dv = 0 ==> PD Homogen

    Kemudian diselesaikan dengan Penyelesaian PD Homogen :

    \left( -\dfrac{u}{v} + 2 \right) du + \left( -2\dfrac{u}{v} + 1 \right) dv = 0

    misal t = \dfrac{u}{v} \Rightarrow du = v ~dt + t ~dv

    (-t + 2)(v~ dt + t ~dv) + (1 -2t) dv = 0

    -tv ~dt + 2v ~dt -t^2~dv + 2t ~dv + dv -2t ~dv = 0

    v (-t + 2) ~dt + (1 -t^2) dv = 0 [bagi dengan v(1 -t^2)]

    \dfrac{-t+2}{1-t^2} dt + \dfrac{1}{v} dv = 0

    \displaystyle \int \dfrac{-t+2}{1-t^2} ~dt + \int \dfrac{1}{v} ~dv = c_1

    \displaystyle \int \dfrac{-t+2}{1-t^2} ~dt + \ln v = \ln C, dengan \ln C = c_1

    dengan menggunakan Integral Fungsi Rasional, diperoleh

    -\dfrac{1}{2} \ln (t + 1) + \dfrac{3}{2} \ln (t-1) + \ln v = \ln C

    \ln [(t + 1)^{-\frac{1}{2}} (t-1)^{\frac{3}{2}} v] = \ln C

    (t + 1)^{-\frac{1}{2}} (t-1)^{\frac{3}{2}} v = C

    (t-1)^{\frac{3}{2}} v = C (t + 1)^{\frac{1}{2}}

    (t-1)^3 v^2 = C^2 (t + 1)

    substitusi kembali t = \dfrac{u}{v}

    \left( \dfrac{u}{v} -1 \right)^3 v^2 = C^2 \left( \dfrac{u}{v} + 1\right)

Kemudian untuk kasus (b) yaitu \dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q} \neq \dfrac{c}{r} atau aq -bp = 0, andaikan \dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q} = m maka a = mp dan b = mq, sehingga apabila disubstitusi ke pers (i), diperoleh

(ax + by + c) dx + (px + qy + r) dy = 0

(ax + by) dx + c dx + (px + qy + r) dy = 0

(mpx + mqy) dx + c dx + (px + qy + r) dy = 0

m(px + qy) dx + c dx + (px + qy + r) dy = 0 … (iv)

ambil u = px + qy

du = p ~dx + q ~dy

dx = \dfrac{du-q.dy}{p}

substitusi ke pers (iv), diperoleh

mu \left( \dfrac{du-q.dy}{p} \right) + c \left( \dfrac{du-q.dy}{p} \right) + \left(u + r \right) dy = 0

mu (du -q ~dy) + c (du -q ~dy) + p (u + r) ~dy = 0

mu du -qmu ~dy + c ~du -qc ~dy + pu ~dy + pr ~dy = 0

(mu + c) ~du + (pu + pr -qmu -qc) ~dy = 0

(mu + c) ~du + [(p -qm)u + (pr -qc)] ~dy = 0

PD terakhir ini adalah bentuk PD yang peubahnya dapat dipisah.

Contoh 2.

Selesaiakan PD dibawah ini.

  1. (2x -4y + 5)y' + x -2y + 3 = 0

    Penyelesaian.

    (2x -4y + 5) \dfrac{dy}{dx} + x -2y + 3 = 0

    (2x -4y + 5) dy + (x -2y + 3) dx = 0 [bukan PD homogen]

    \dfrac{a}{p} = \dfrac{2}{1} = 2, \dfrac{b}{q} = \dfrac{-4}{-2} = 2, dan \dfrac{c}{r} = \dfrac{5}{3}

    Karena \dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q} \neq \dfrac{c}{r}, maka kita selesaikan PD diatas dengan kasus (b)

    (2(x -2y) + 5) dy + (x -2y + 3) dx = 0 … (v)

    ambil : m = 2

    u = x- 2y

    du = dx -2~dy \Leftrightarrow dx = du + 2~dy

    substisui ke pers (v)

    2u ~dy + 5 ~dy + (u + 3)(du + 2~dy) = 0

    2u ~dy + 5 ~dy + (u + 3) ~du + 2u ~dy + 6 ~dy = 0

    (4u + 11) ~dy + (u + 3) ~du = 0

    PD terakhir ini adalah PD dengan peubah yang mudah dipisahkan, sehingga PD diatas dapat bagi dengan (4u + 11), diperoleh

    dy + \dfrac{u+3}{4u+11} ~du = 0

    \displaystyle \int dy + \int \dfrac{u+3}{3u+8} ~du = c_1

    y + \displaystyle \int \dfrac{4(u+3)}{4(4u+11)} ~du = c_1

    y + \displaystyle \int \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{4u+11}{4u+11} + \dfrac{1}{4u+11} \right) ~du = c_1

    y + \displaystyle \int \dfrac{1}{4} ~du + \int \dfrac{1}{4} ~\dfrac{1}{4u+11} ~\dfrac{d(4u+11)}{4} = c_1

    y + \dfrac{1}{4} u + \dfrac{1}{16} \ln (4u + 11) = c_1

    substitusi kembali u = x -2y, diperoleh

    y + \frac{1}{4} (x -2y) + \dfrac{1}{16} \ln (4(x -2y) + 8) = c_1

    16y + 4x -8y + \ln (4x -8y + 8) = 16c_1

    8y + 4x + \ln (4x -8y + 8) = C, dengan C = 16c_1

Dan kasus terakhir adalah kasus (c) yaitu \dfrac{a}{p} = \dfrac{b}{q} = \dfrac{c}{r} = m, sehingga a = mp, b = mq dan c = mr, dengan mensubstitusikan ke pers (i), diperoleh

(mpx + mqy + mr) ~dx + (px + qy + r) ~dy = 0

m(px + qy + r) dx + (px + qy + r) dy = 0 [bagi dengan (px + qy + r)]

m ~dx + dy = 0

dengan mengintegralkan kedua ruas, diperoleh

\displaystyle \int m ~dx + \int dy = C

mx + y = C : Solusi

Contoh 3.

Selesaiakan PD dibawah ini.

  1. (3x + 3y + 6) ~dx + (x + y + 2) ~dy = 0

Penyelesaian.

(3(x + y + 2)) ~dx + (x + y + 2) ~dy = 0

dengan mengambil m = 3 dan membagi kedua ruas dengan (x + y + 2) diperoleh

3 ~dx + dy = 0

\displaystyle \int 3 ~dx + \int dy = C

3x + y = C

2 comments on “Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Tidak Homogen

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s