Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Tidak Homogen


Persamaan Diferensial Tidak Homogen adalah PD yang mempunyai bentuk

(ax + by + c) dx + (px + qy + r) dy = 0 … (i)

dengan a, b, c, p, q, r adalah konstanta.

Untuk menyelesaikan PD tersebut, terlebih dahulu harus perhatikan kemungkian-kemungkinan yang terjadi, yaitu :

(a) jika \frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} \neq \frac{c}{r} atau aq – bp \neq 0

(b) jika \frac{a}{p} = \frac{b}{q} \neq \frac{c}{r} atau aq – bp = 0

(c) jika \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r} = m

Pertama pandang kasus (a) yaitu jika \frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} \neq \frac{c}{r} atau aq – bp \neq 0

ax + by + c = u \Rightarrow a dx + b dy = du

px + qy + r = v \Rightarrow p dx + q dy = dv

a dx + b dy = du (kali q)

p dx + q dy = dv (kali b) –

aq dx + bq dy = q du

bp dx + bq dy = b dv  –

(aq – bp) dx = q du – b dv

dx = \frac{q.du-b.dv}{(aq-bp)} … (ii)

denga cara yang sama yaitu mengeliminasi dx, diperoleh

dy = \frac{a.dv-p.du}{(aq-bp)} … (iii)

kemudian substitusi u, v, pers (ii) dan (iii) ke PD awal [pers (i)]

u dx + v dy = 0

u (\frac{q.du-b.dv}{aq-bp}) + v (\frac{a.dv-p.du}{aq-bp}) = 0

u (q du – b dv) + v (a dv – p du) = 0

qu du – bu dv + av dv – pv du = 0

(qu – pv) du + (av – bu) dv = 0 ==> PD Homogen

Setelah PD awal tersebut berbentuk seperti PD terakhir diatas, maka penyelesaiannya menggunakan Penyelesaian PD Homogen.

Contoh :

Selesaikan persamaan – persamaan berikut :

  1. (x + 2y – 4) dx – (2x + y – 3) dy = 0

    Penyelesaian :

    (x + 2y – 4) dx + (-2x – y + 3) dy = 0

    \frac{a}{p} = \frac{1}{-2} \frac{b}{q} = \frac{2}{-1} , dan \frac{c}{r} = \frac{-4}{-3}

    Karena \frac{a}{p} \neq \frac{b}{q} \neq \frac{c}{r}, maka dapt diselesaikan PD diatas dengan kasus (a)

    x + 2y – 4 = u \Rightarrow dx + 2 dy = du

    -2x – y + 3 = v \Rightarrow -2 dx – dy = dv

    2dx + 4dy = 2du

    -2dx – dy = dv +

    3dy = 2du + dv

    dy = \frac{2du+dv}{3}

    dx + 2dy = du

    -4dx – 2dy = 2dv +

    -3dx = du + 2dv

    dx = \frac{du+2dv}{-3}

    = \frac{-du-2dv}{3}

    u dx + v dy = 0

    u (\frac{-du-2dv}{3}) + v (\frac{2du+dv}{3}) = 0

    u (-du – 2dv) + v (2du + dv) = 0

    (-u + 2v) du + (-2u + v) dv = 0 ==> PD Homogen

    Kemudian diselesaikan dengan Penyelesaian PD Homogen :

    (-\frac{u}{v} + 2) du + (-2\frac{u}{v} + 1) dv = 0

    misal t = \frac{u}{v} \Rightarrow du = v dt + t dv

    (-t + 2)(v dt + t dv) + (1 – 2t) dv = 0

    -tv dt + 2v dt – t2 dv + 2t dv + dv – 2t dv = 0

    v (-t + 2) dt + (1 – t2) dv = 0 [bagi dengan v(1 – t2)]

    \frac{-t+2}{1-t^2} dt + \frac{1}{v} dv = 0

    \int \frac{-t+2}{1-t^2} dt + \int \frac{1}{v} dv = c1

    \int \frac{-t+2}{1-t^2} dt + ln v = ln C, dengan ln C = c1

    dengan menggunakan Integral Fungsi Rasional, diperoleh

    -1/2 ln (t + 1) + 3/2 ln (t – 1) + ln v = ln C

    ln [(t + 1)-1/2 (t – 1)3/2 v] = ln C

    (t + 1)-1/2 (t – 1)3/2 v = C

    (t – 1)3/2 v = C (t + 1)1/2

    (t – 1)3 v2 = C2 (t + 1)

    substitusi kembali t = \frac{u}{v}

    (\frac{u}{v} – 1)3 v2 = C2 (\frac{u}{v} + 1)

Kemudian untuk kasus (b) yaitu \frac{a}{p} = \frac{b}{q} \neq \frac{c}{r} atau aq – bp = 0, andaikan \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = m maka a = mp dan b = mq, sehingga apabila disubstitusi ke pers (i), diperoleh

(ax + by + c) dx + (px + qy + r) dy = 0

(ax + by) dx + c dx + (px + qy + r) dy = 0

(mpx + mqy) dx + c dx + (px + qy + r) dy = 0

m(px + qy) dx + c dx + (px + qy + r) dy = 0 … (iv)

ambil u = px + qy

du = p dx + q dy

dx = \frac{du-q.dy}{p}

substitusi ke pers (iv), diperoleh

mu (\frac{du-q.dy}{p}) + c (\frac{du-q.dy}{p}) + (u + r) dy = 0

mu (du – q dy) + c (du – q dy) + p (u + r) dy = 0

mu du – qmu dy + c du – qc dy + pu dy + pr dy = 0

(mu + c) du + (pu + pr – qmu – qc) dy = 0

(mu + c) du + [(p – qm)u + (pr – qc)] dy = 0

PD terakhir ini adalah bentuk PD yang peubahnya dapat dipisah.

Contoh :

Selesaiakan PD dibawah ini.

  1. (2x – 4y + 5)y’ + x – 2y + 3 = 0

    Penyelesaian :

    (2x – 4y + 5) \frac{dy}{dx} + x – 2y + 3 = 0

    (2x – 4y + 5) dy + (x – 2y + 3) dx = 0 [bukan PD homogen]

    \frac{a}{p} = \frac{2}{1} = 2, \frac{b}{q} = \frac{-4}{-2} = 2, dan \frac{c}{r} = \frac{5}{3}

    Karena \frac{a}{p} = \frac{b}{q} \neq \frac{c}{r}, maka kita selesaikan PD diatas dengan kasus (b)

    (2(x – 2y) + 5) dy + (x – 2y + 3) dx = 0 … (v)

    ambil : m = 2

    u = x – 2y

    du = dx – 2dy \Leftrightarrow dx = du + 2dy

    substisui ke pers (v)

    2u dy + 5 dy + (u + 3)(du + 2dy) = 0

    2u dy + 5 dy + (u + 3) du + 2u dy + 6 dy = 0

    (4u + 11) dy + (u + 3) du = 0

    PD terakhir ini adalah PD dengan peubah yang mudah dipisahkan, sehingga PD diatas dapat bagi dengan (4u + 11), diperoleh

    dy + \frac{u+3}{4u+11} du = 0

    \int dy + \int \frac{u+3}{3u+8} du = c1

    y + \int \frac{4(u+3)}{4(4u+11)} du = c1

    y + \int \frac{1}{4} (\frac{4u+11}{4u+11} + \frac{1}{4u+11} ) du = c1

    y + \int \frac{1}{4} du + \int \frac{1}{4} \frac{1}{4u+11} \frac{d(4u+11)}{4} = c1

    y + \frac{1}{4} u + \frac{1}{16} ln (4u + 11) = c1

    substitusi kembali u = x – 2y, diperoleh

    y + \frac{1}{4} (x – 2y) + \frac{1}{16} ln (4(x – 2y) + 8) = c1

    16y + 4x – 8y + ln (4x – 8y + 8) = 16c1

    8y + 4x + ln (4x – 8y + 8) = C, dengan C = 16c1

Dan kasus terakhir adalah kasus (c) yaitu \frac{a}{p} = \frac{b}{q} = \frac{c}{r} = m, sehingga a = mp, b = mq dan c = mr, dengan mensubstitusikan ke pers (i), diperoleh

(mpx + mqy + mr) dx + (px + qy + r) dy = 0

m(px + qy + r) dx + (px + qy + r) dy = 0 [bagi dengan (px + qy + r)]

m dx + dy = 0

dengan mengintegralkan kedua ruas, diperoleh

\int m dx + \int dy = C

mx + y = C : Solusi

Contoh :

Selesaiakan PD dibawah ini.

  1. (3x + 3y + 6) dx + (x + y + 2) dy = 0

    Penyelesaian :

    (3(x + y + 2)) dx + (x + y + 2) dy = 0

    dengan mengambil m = 3 dan membagi kedua ruas dengan (x + y + 2) diperoleh

    3 dx + dy = 0

    \int 3 dx + \int dy = C

    3x + y = C

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s