Jun 15 2013

Problem (19) : Persamaan Diferensial


soal dikirim via email by riki_elbach@yahoo.com

  1. Selesaikan PD berikut :

    \frac{dy}{dx} = \frac{y^2+xy^2}{x^2y-x^2}

    Penyelesaian :

    \frac{dy}{dx} = \frac{y^2(1+x)}{x^2(y-1)}

    \frac{(y-1)dy}{y^2} = \frac{(1+x)dx}{x^2}

    \frac{dy}{y} – \frac{dy}{y^2} = \frac{dx}{x^2} + \frac{dx}{x}

    ln y + \frac{1}{y} = ln x – \frac{1}{x}

  2. 2xy dx + (2x2 + 3)dy = 0

    Penyelesaian :

    misal : M(x, y) = 2xy dan N(x, y) = 2x2 + 3

    \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = 2x

    \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} = 4x

    Karena \frac{\partial M(x,y)}{\partial y} \neq \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} , maka memenuhi syarat untuk menggunakan Faktor Integral.

    \frac{1}{M} (\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial y}) = \frac{2x}{2xy)}

    = \frac{1}{y} [fungsi dari y saja]

    maka FI adalah e^{\int \frac{1}{y} dy} = e^{ln \quad y} = y

    sehingga diperoleh PD eksak adalah

    y(2xy) dx + y(2x2 + 3)dy = 0

    \frac{\partial F}{\partial y} dx + \frac{\partial G}{\partial x} dy = 0

    Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakan Penyelesaian PD Eksak.

    ambil \frac{\partial F}{\partial y} = 2xy2

    F(x, y) = \int^x (2xy2) dx + g(y)

    = x2y2 + g(y)

    \frac{\partial F}{\partial y} = 2x2y + g'(y)

    karena \frac{\partial F}{\partial y} = G(x, y), sehingga

    2x2y + g'(y) = y(2x2 + 3)

    g'(y) = 3y

    g(y) = \frac{3}{2}y

    solusi PD : x2y2 + \frac{3}{2}y = 0

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s