Ketika mengerjakan limit sering kita menggunakan sifat ini :
,
dan
. Tapi kebanyakan dari kita tidak tahu kenapa itu bisa terjadi, karena memang waktu duduk di bangku SMA kita cuma menggunakan sifat tersebut tanpa diberi tahu kenapa bisa terjadi dan darimana asalnya. Ada yang penasaran bagaimana itu bisa terjadi ? Jika ada, tenang saja, melalui tulisan ini saya akan mengulas sedikit rasa penasaran kita ini.
Kasus 1 :
Pertama pasti kita sudah tahu bahwa dan
. dengan syarat
t
, t
0
Dalam pembuktian ini kita akan memanfaatkan lingkaran dalam koordinat kartesian dengan, yaitu menggambar lingkaran dengan r = 1, kemudian gambar sektor lingkaran dengan sudut pusat t (sektor AOP), setelah itu gambarlah garis vertikal segmen BP yang tegak lurus dengan sumbu-x sehingga membentuk BOP, dan gambar busur lingkaran BC (sektor BOC) [lihat gambar dibawah].
dari gambar diatas diperoleh,
Luas (sektor OBC) luas (segitiga OBP)
luas (sektor OAP)
dimana Luas daerah = 1/2 . alas . tinggi dan Luas
dengan sudut pusat t dan jari-jari r adalah 1/2 r2 |t|. Dengan menggunakan keterangan tersebut, maka diperoleh
1/2 (cos t)2 |t| 1/2 cos t |sin t|
1/2 12 |t|
pertidaksamaan diatas dikali dengan 2 dan bagi dengan bilangan positif |t| cos t, diperoleh
cos t |sin t|/|t|
1/cos t
karena (sin t)/t itu positif untuk
t
dan t
0, beakibat |sin t|/|t| = (sin t)/t, sehingga
cos t (sin t)/t
1/cos t
berdasarkan Squeeze Theorem, diperoleh
Squeeze Theorem :
Let A , let f, g, h : A
, and let c
be a cluster point of A. if f(x)
g(x)
h(x) for all x
A, x
c, and if
f(x) = L =
h(x), then
g(x) = L.
Kasus 2 :
untuk kasus ini, kita memanfaatkan Kasus 1, seperti yang sudah kita peroleh bahwa
dengan sedikit manipulasi diperoleh
Kasus 3 :
pada pembuktian ini juga digunakan manipulasi
=
.
=
=
=
=
= 1 .
= 0
wah paling gak mudeng aku kl itungan kayak gini,,