Jul 2 2013

Limit Trigonometri Kasus Khusus


Ketika mengerjakan limit sering kita menggunakan sifat ini : lim_{t \to 0} \frac{sin \quad t}{t} =1, lim_{t \to 0} \frac{tan \quad t}{t} =1 dan lim_{t \to 0} \frac{1-cos \quad t}{t} =0. Tapi kebanyakan dari kita tidak tahu kenapa itu bisa terjadi, karena memang waktu duduk di bangku SMA kita cuma menggunakan sifat tersebut tanpa diberi tahu kenapa bisa terjadi dan darimana asalnya. Ada yang penasaran bagaimana itu bisa terjadi ? Jika ada, tenang saja, melalui tulisan ini saya akan mengulas sedikit rasa penasaran kita ini.

Kasus 1 : lim_{t \to 0} \frac{sin \quad t}{t} =1

Pertama pasti kita sudah tahu bahwa lim_{t \to 0} \quad cos \quad t=1 dan lim_{t \to 0} \quad sin \quad t=0. dengan syarat -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2} , t \neq 0

Dalam pembuktian ini kita akan memanfaatkan lingkaran dalam koordinat kartesian dengan, yaitu menggambar lingkaran dengan r = 1, kemudian gambar sektor lingkaran dengan sudut pusat t (sektor AOP), setelah itu gambarlah garis vertikal segmen BP yang tegak lurus dengan sumbu-x sehingga membentuk \triangleBOP, dan gambar busur lingkaran BC (sektor BOC) [lihat gambar dibawah].

photo limittrigonometri_zps57c8d4b3.jpg

dari gambar diatas diperoleh,

Luas (sektor OBC) \leq luas (segitiga OBP) \leq luas (sektor OAP)

dimana Luas daerah \triangle = 1/2 . alas . tinggi dan Luas \bigcirc dengan sudut pusat t dan jari-jari r adalah 1/2 r2 |t|. Dengan menggunakan keterangan tersebut, maka diperoleh

1/2 (cos t)2 |t| \leq 1/2 cos t |sin t| \leq 1/2 12 |t|

pertidaksamaan diatas dikali dengan 2 dan bagi dengan bilangan positif |t| cos t, diperoleh

cos t \leq |sin t|/|t| \leq 1/cos t

karena (sin t)/t itu positif untuk -\frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{\pi}{2} dan t \neq 0, beakibat |sin t|/|t| = (sin t)/t, sehingga

cos t \leq (sin t)/t \leq 1/cos t

berdasarkan Squeeze Theorem, diperoleh

lim_{t \to 0} \frac{sin \quad t}{t} =1

Squeeze Theorem :

Let A \subseteq \mathbb{R} , let f, g, h : A \rightarrow \mathbb{R}, and let c \epsilon \mathbb{R} be a cluster point of A. if f(x) \leq g(x) \leq h(x) for all x \epsilon A, x \neq c, and if lim_{x \to c} f(x) = L = lim_{x \to c} h(x), then lim_{x \to c} g(x) = L.

Kasus 2 : lim_{t \to 0} \frac{tan \quad t}{t} =1

untuk kasus ini, kita memanfaatkan Kasus 1, seperti yang sudah kita peroleh bahwa

lim_{t \to 0} \frac{sin \quad t}{t} =1

dengan sedikit manipulasi diperoleh

lim_{t \to 0} \frac{sin \quad t}{t} . \frac{1/(cos \quad t)}{1/(cos \quad t)} =1

lim_{t \to 0} \frac{(sin \quad t)/(cos \quad t)}{t/(cos \quad t)} =1

lim_{t \to 0} \frac{(tan \quad t)}{t} cos \quad t =1

lim_{t \to 0} \frac{(tan \quad t)}{t} lim_{t \to 0} cos \quad t =1

lim_{t \to 0} \frac{tan \quad t}{t} =1

Kasus 3 : lim_{t \to 0} \frac{1-cos \quad t}{t} = 0

pada pembuktian ini juga digunakan manipulasi

lim_{t \to 0} \frac{1-cos \quad t}{t} = lim_{t \to 0} \frac{1-cos \quad t}{t} . \frac{1+cos \quad t}{1+cos \quad t}

= lim_{t \to 0} \frac{1-cos^2 \quad t}{t(1+cos \quad t)}

= lim_{t \to 0} \frac{sin^2 \quad t}{t(1+cos \quad t)}

= lim_{t \to 0} \frac{sin \quad t}{t} \frac{sin \quad t}{(1+cos \quad t)}

= lim_{t \to 0} \frac{sin \quad t}{t} \frac{ lim_{t \to 0} sin \quad t}{ lim_{t \to 0} (1+cos \quad t)}

= 1 . \frac{0}{2}

= 0

One comment on “Limit Trigonometri Kasus Khusus”

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s