Volume Bola dengan Integral Lipat Tiga


Pada kesempatan ini saya mencoba untuk membuktikan rumus volume bola = \frac{4}{3} \pi r^3 dengan menggunakan integral lipat 3, setelah pada tulisan sebelumnya Pembuktian Rumus Volume Bola dengan memanfaatkan integral volume benda putar. Misal diketahui bahwa pertidaksamaan bola adalah x2 + y2 + z2 \leq r2. Kemudian kita mencari batas-batas untuk x, y dan z yaitu

z \leq \quad \sqrt{r^2-y^2-x^2}

-\sqrt{r^2-y^2-x^2} \leq z \leq \sqrt{r^2-y^2-x^2}

kemudian dengan memandang lingakaran (asumsikan z = 0), maka

-\sqrt{r^2-x^2} \leq y \leq \sqrt{r^2-x^2}

dan terakhir dengan memandang y = 0 dan z = 0, maka

-r \leq x \leq r

untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar dibawah ini.

 photo IntegralLipat3_zpsa0af5c94.png

Volume = \int \int \int_w f(x, y, z) dx dy dz

= \int_{a}^{b} \int_{\o_1(x)}^{\o_2(x)} \int_{\gamma_1(x,y)}^{\gamma_2(x,y)} f(x, y, z) dz dy dx

= \int_{-r}^{r} \int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}} \int_{-\sqrt{r^2-x^2-y^2}}^{\sqrt{r^2-x^2-y^2}} dz dy dx

= \int_{-r}^{r} \int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}} [z\mid_{-\sqrt{r^2-x^2-y^2}}^{\sqrt{r^2-x^2-y^2}}] dy dx

= 2 \int_{-r}^{r} [\int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}} \sqrt{r^2-x^2-y^2} dy ] dx

ambil : a = \sqrt{r^2-x^2} dengan a = konstanta, maka

\int_{-a}^{a} \sqrt{a^2-y^2} dy = \frac{a^2}{2} \pi [BUKTI]

\int_{-\sqrt{r^2-x^2}}^{\sqrt{r^2-x^2}} \sqrt{r^2-x^2-y^2} dy = \frac{r^2-x^2}{2} \pi

substitusi kembali, sehingga

= 2 \int_{-r}^{r} \frac{r^2-x^2}{2} \pi dx

= \int_{-r}^{r} (r^2-x^2) \pi dx

= \pi \int_{-r}^{r} r^2-x^2 dx

= \pi (r^2x-\frac{1}{3}x^3) \mid_{-r}^{r}

= \pi [(r^2(r)-\frac{1}{3}r^3)- (r^2(-r)-\frac{1}{3}(-r)^3)]

= \pi [r^3-\frac{1}{3}r^3+r^3-\frac{1}{3}r^3]

= \frac{4}{3} \pi r^3

Iklan

One comment on “Volume Bola dengan Integral Lipat Tiga

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s