Jumlah Deret Khusus


Dalam mengerjakan soal barisan, sering kita menemukan deret yang unik (pada soal deret TPA juga), deret ini berbentuk jumlah bilangan asli, kemudian jumlah dari kuadrat bilangan asli dan sebagainya. Dalam deret-deret ini yang jadi tugas kita adalah menentukan rumus jumlah deret tersebut, dalam berbagai buku sudah banyak yang menuliskan rumus jumlah deret ini, tapi bagaimana cara menentukannya ? Dalam tulisan ini akan membahas bagaimana cara mendapatkan rumus jumlah deret tersebut, berikut beberapa deret yang akan dibahas :

\sum_{i=1}^{n} i = 1 + 2 + 3 + … + n

= \frac{n(n+1)}{2}

\sum_{i=1}^{n} i2 = 12 + 22 + 32 + … + n2

= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

\sum_{i=1}^{n} i3 = 13 + 23 + 33 + … + n3

= [\frac{n(n+1)}{2}]^2

\sum_{i=1}^{n} i4 = 14 + 24 + 34 + … + n4

= \frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}

.

\sum_{i=1}^{n} [(i + 1)2 – i2] = \sum_{i=1}^{n} [2i + 1]

\sum_{i=1}^{n} [(i+1)2–i2] = [(1+1)2–12]+[(2+1)2–22]+[(3+1)2–i2]+…+[(n+1)2–n2]

= [22–12]+[32–22]+[42–i2]+…+[(n+1)2–n2]

= (n+1)2 – 12

\sum_{i=1}^{n} [2i + 1] = \sum_{i=1}^{n} 2i + \sum_{i=1}^{n} 1

= 2 \sum_{i=1}^{n} i + n

(n+1)2 – 12 = 2 \sum_{i=1}^{n} i + n

n2 + 2n + 1 – 1 – n = 2 \sum_{i=1}^{n} i

\sum_{i=1}^{n} I = \frac{n^2+n}{2}

.

\sum_{i=1}^{n} [(i + 1)3 – i3] = \sum_{i=1}^{n} 3i2 + 3i + 1

dengan menggunakan cara yang sama seperti diatas, diperoleh

(n + 1)3 – 13 = \sum_{i=1}^{n} 3i2 + \sum_{i=1}^{n} 3i + \sum_{i=1}^{n} 1

n3 + 3n2 + 3n + 1 – 1 = \sum_{i=1}^{n} 3i2 + 3 \sum_{i=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n} 1

n3 + 3n2 + 3n = \sum_{i=1}^{n} 3i2 + 3 \frac{n^2+n}{2} + n

kali 2 kedua ruas

2(n3 + 3n2 + 3n) = 6 \sum_{i=1}^{n} i2 + 3(n2 + n) + 2n

(2n3 + 6n2 + 6n) – (3n2 + 3n) – 2n = 6 \sum_{i=1}^{n} i2

2n3 + 3n2 + n = 6 \sum_{i=1}^{n} i2

6 \sum_{i=1}^{n} i2 = n(2n2 + 3n + 1)

\sum_{i=1}^{n} i2 = \frac{n(2n+1)(n+1)}{6}

.

\sum_{i=1}^{n} [(i + 1)4 – i4] = \sum_{i=1}^{n} 4i3 + 6i2 + 4i + 1

dengan menggunakan cara yang sama seperti diatas, diperoleh

(n + 1)4 – 14 = \sum_{i=1}^{n} 4i3 + \sum_{i=1}^{n} 6i2 + \sum_{i=1}^{n} 4i + \sum_{i=1}^{n} 1

n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1 – 1 = 4 \sum_{i=1}^{n} i3 + 6 \sum_{i=1}^{n} i2 + 4 \sum_{i=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n} 1

n4 + 4n3 + 6n2 + 4n = 4 \sum_{i=1}^{n} i3 + (2n3 + 3n2 + n) + (2n2 + 2n) + n

(n4 + 4n3 + 6n2 + 4n) – (2n3 + 3n2 + n) – (2n2 + 2n) – n = 4 \sum_{i=1}^{n} i3

n4 + 2n3 + n2 = 4 \sum_{i=1}^{n} i3

\sum_{i=1}^{n} i3 = n2(n2 + 2n + 1)

\sum_{i=1}^{n} i3 = \frac{n^2(n+1)(n+1)}{4}

= [\frac{n(n+1)}{2}]^2

.

\sum_{i=1}^{n} [(i + 1)5 – i5] = \sum_{i=1}^{n} 5i4 + 10i3 + 10i2 + 5i + 1

dengan menggunakan cara yang sama seperti diatas, diperoleh

(n + 1)5 – 15 = \sum_{i=1}^{n} 5i4 + \sum_{i=1}^{n} 10i3 + \sum_{i=1}^{n} 10i2 + \sum_{i=1}^{n} 5i + \sum_{i=1}^{n} 1

n5 + 5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n + 1 – 1 = 5 \sum_{i=1}^{n} i4 + 10 \sum_{i=1}^{n} i3 + 10 \sum_{i=1}^{n} i2 + 5 \sum_{i=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n} 1

n5 + 5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n = 5 \sum_{i=1}^{n} i4 + \frac{10}{4} (n4 + 2n3 + n2) + \frac{10}{6} (2n3 + 3n2 + n) + \frac{5}{2} (n2 + n) + n

kali 6 kedua ruas

6(n5 + 5n4 + 10n3 + 10n2 + 5n) = 30 \sum_{i=1}^{n} i4 + 15(n4 + 2n3 + n2) + 10(2n3 + 3n2 + n) + 15(n2 + n) + 6n

(6n5 + 30n4 + 60n3 + 60n2 + 30n) – (15n4 + 30n3 + 15n2) – (20n3 + 30n2 + 10n) – (15n2 + 15n) – 6n = 30 \sum_{i=1}^{n} i4

6n5 + 15n4 + 10n3 – n = 30 \sum_{i=1}^{n} i4

30 \sum_{i=1}^{n} i4 = n(n + 1)(6n3 + 9n2 + n – 1)

\sum_{i=1}^{n} i4` = \frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}

.

untuk menentukan rumus \sum_{i=1}^{n} i5 = 15 + 25 + 35 + … + n5 , \sum_{i=1}^{n} i6 = 16 + 26 + 36 + … + n6 , dan seterusnya bisa menggunkan cara yang sama seperti cara sebelumnya.

Iklan

3 comments on “Jumlah Deret Khusus

  1. Ping-balik: Pembahasan TPA USM STAN DIII 2014 (1) | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s