Garis Berat Segitiga


Tulisan ini merupakan tulisan lanjutan dari Garis Berat pada Segitiga pada tulisan saya sebelumnya. Dimana pada tulisan tersebut saya menggunakan ilustrasi segitiga sembarang dengan ketiga sudutnya lancip. Tulisan kali ini akan menggunakan ilustrasi segitiga tumpul sembarang yaitu salah satu sudutnya tumpul. Tapi secara umum pembuktiannya sama seperti pada tulisan sebelumnya. Perhatikan gambar dibawah ini.

 photo SegitigaGarisBerat3.jpg

Dari gambar diatas terlihat bahwa \triangleABC memiliki tinggi AD dan Garis Berat AE, sehingga diperoleh persamaan

AD2 = AB2 – BD2 … (i)

AD2 = AC2 – CD2 … (ii)

dari (i) dan (ii) diperoleh

AC2 – CD2 = AB2 – BD2

AC2 – CD2 = AB2 – (CD – BC)2 [perhatikan : BD = CD – BC]

AC2 – CD2 = AB2 – (BC2 – 2.BC.CD + CD2)

AC2 – CD2 = AB2 – BC2 + 2.BC.CD – CD2

2.BC.CD = AC2 + BC2 – AB2

CD = \frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2.BC} … (iii)

atau

AC2 – CD2 = AB2 – BD2

AC2 – (BC + BD)2 = AB2 – BD2 [perhatikan : CD = BC + BD]

AC2 – (BC2 + 2.BC.BD + BD2) = AB2 – BD2

AC2 – BC2 – 2.BC.BD – BD2 = AB2 – BD2

2.BC.BD = AB2 – BC2 – AC2

BD = \frac{AB^2-BC^2-AC^2}{2.BC} … (iv)

kemudian substitusi (iii) ke (i), sehingga diperoleh

AD2 = AB2 – BD2

AD = \sqrt{AB^2-(\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.BC})^2} … (v)

setelah itu substitusi (iv) ke (i), sehingga diperoleh

AD2 = AC2 – CD2

AD = \sqrt{AC^2-(\frac{AC^2-BC^2-AB^2}{2.BC})^2} … (vi)

Perhatikan \triangleABC diatas, kita dapat peroleh garis berat AE melalui hubungan garis AD dan CD, yaitu

AE = \sqrt{AD^2+DE^2}

= \sqrt{AD^2+(DC-CE)^2}

= \sqrt{AD^2+(DC-\frac{1}{2}BC)^2} [perhatikan : CE = BE dan CE = \frac{1}{2}BC]

= \sqrt{AD^2+DC^2-DC.BC+\frac{1}{4}BC^2}

= \sqrt{AC^2-DC.BC+\frac{BC^2}{4}}

= \sqrt{AC^2-\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2}+\frac{BC^2}{4}} (substitusi pers (iii))

= \sqrt{\frac{4AC^2}{4}-\frac{2AC^2+2BC^2-2AB^2}{4}+\frac{BC^2}{4}}

= \sqrt{\frac{1}{4}(2AC^2+2AB^2-BC^2)}

= \frac{1}{2} \sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}

jadi jika kita memiliki segitiga seperti dibawah ini,

 photo SegitigaGarisBerat4.jpg

NOTE : AB = c

BC = a

AC = b

maka rumus Garis Berat nya adalah

\frac{1}{2} \sqrt{2b^2+2c^2-a^2} untuk garis berat AD

\frac{1}{2} \sqrt{2a^2+2c^2-b^2} untuk garis berat BE

\frac{1}{2} \sqrt{2a^2+2b^2-c^2} untuk garis berat CF

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s