Jul 10 2013

Jumlah Riemann

Jumlah Riemann ini adalah cikal bakal dari Integral Tentu, dimana integral tentu ini berbeda dengan integral taktentu yang dipandang sebagai anti turunan, pendefinisian integral tentu (definite integral) disusun dari suatu konsep limit pada Jumlah Riemann suatu fungsi.

Definisi : Jumlah Riemann

Diketahui f fungsi terdefinisi pada interval [a,b] dan P suatu n-partisi pada [a,b], yaitu :

a = x₀ < x₁ < x₂ < x₃ < … < x_k-1 < x_k < … < x_n-1 < x_n = b

diambil $\triangle$ x_k = x_k – x_k-1 dan $\widehat{x}_k$ $\epsilon$ (x_k-1, x_k), untuk k = 1, 2, …, n.

karena f terdefinisi pada [a, b], maka f( $\widehat{x}_k$ ) terjamin ada untuk k = 1, 2, …, n. Selanjutnya, dibentuk jumlahan :

Sp := $f(\widehat{x}_{1} \triangle x_{1}) + f(\widehat{x}_{2} \triangle x_{2}) + ... + f(\widehat{x}_{n} \triangle x_{n})$

= $\sum_{k=1}^{n} f(\widehat{x}_{k} \triangle x_{k})$

Sp tersebut dinamakan Jumlah Riemann fungsi f pada interval [a, b] atas partisi P.

Tafsiran geometrinya dapat dilihat pada gambar dibawah ini :

Contoh 1 :

Hitunglah Jumlah Riemann Sp untuk f(x) = x³ – 5x² + 2x + 8 pada selang [0, 5] dengan menggunakan partisi P dengan titik partisi 0 < 1,1 < 2 < 3,2 < 4 < 5 dan titik sample yang berpadanan $\widehat{x}_{1}$ = 0,5, $\widehat{x}_{2}$ = 1,5, $\widehat{x}_{3}$ = 2,5, $\widehat{x}_{4}$ = 3,6 dan $\widehat{x}_{5}$ = 5.

Penyelesaian :

Sp = $f(\widehat{x}_{1} \triangle x_{1})$ + $f(\widehat{x}_{2} \triangle x_{2})$ + $f(\widehat{x}_{3} \triangle x_{3})$ + $f(\widehat{x}_{4} \triangle x_{4})$ + $f(\widehat{x}_{n} \triangle x_{n})$

= f(0,5)(1,1 – 0) + f(1,5)(2 – 1,1) + f(2,5)(3,2 – 2) + f(3,6)(4 – 3,2) + f(5)(5 – 4)

= (7,875)(1,1) + (3,125)(0,9) + (-2,625)(1,2) + (-2,9444)(0,8) + (18)(1)

= 23, 9698

Dari Definisi Jumlah Riemann diatas, dapat dibentuk definisi Integral Tentu yang berhubungan erat dengan Jumlah Riemann tersebut, berikut definisinya.

Definisi : Integral Tentu

Diketahui Sp Jumlah Riemann fungsi f pada interval [a,b] atas partisi P.

Jika $lim_{\left \| p \right \| \to 0} Sp = lim_{\left \| p \right \| \to 0} \sum_{k=1}^{n} f(\widehat{x}_{k} \triangle x_{k})$

dengan $\left \| p \right \| = maks_{1 \leq k \leq n} \left \{ \triangle x_k \right \}$

ada (berhingga), maka dikatakan f terintegral (terintegral Riemann) pada [a, b]. Selanjutnya nilai limit tersebut dinamakan Integral Tentu fungsi f pada [a, b], disimbolkan :

$\int_{a}^{b}$ $f(x) dx = lim_{\left \| p \right \| \to 0} Sp$

Contoh 2 :

Hitunglah $\int_{-2}^{3}$ (x + 3) dx

Penyelesaian :

Pertama buat n-partisi pada selang [-2, 3] sedemikian sehingga diperoleh sub interval [x_k-1, x_k] dengan k = 1, 2, 3, …, n dan panjang sama yaitu $\triangle x_k$ = $\triangle x$ = $\frac{5}{n}$ , selanjutnya ambil $\widehat{x}_{k} \epsilon$ [x_k-1, x_k] sedemikian sehingga $\widehat{x}_{k}$ = (x_k-1, x_k)/2 yaitu titik tengah sub interval [x_k-1, x_k]. Dengan pengambilan ini diperoleh.

$\widehat{x}_{0}$ = -2

$\widehat{x}_{1}$ = -2 + $\triangle x$ = -2 + $\frac{5}{n}$

$\widehat{x}_{2}$ = -2 + 2 $\triangle x$ = -2 + $\frac{10}{n}$

$\widehat{x}_{i}$ = -2 + i $\triangle x$ = -2 + $\frac{5i}{n}$

$\widehat{x}_{n}$ = -2 + n $\triangle x$ = -2 + $\frac{5n}{n}$ = 3

jadi f( $\widehat{x}_{i}$ ) = $\widehat{x}_{i}$ + 3

= -2 + $\frac{5i}{n}$ + 3

= 1 + $\frac{5i}{n}$

sehingga,

$\sum_{i=1}^{n} f(\widehat{x}_{i} \triangle x_{i}$ = $\sum_{i=1}^{n}$ [1 + $\frac{5i}{n}$ ] $\frac{5}{n}$

= $\sum_{i=1}^{n}$ 1 + $\frac{25}{n^2}$ $\sum_{i=1}^{n}$ i

= $\sum_{i=1}^{n}$ (n) + $\frac{25}{n^2}$ $(\frac{n(n+1)}{2})$

= 5 + $\frac{25}{2}$ $(1+\frac{1}{n})$

karena P merupakan suatu partisi tetap dan $\left \| p \right \| = maks_{1 \leq i \leq n} \left \{ \triangle x_i \right \} = \frac{5}{n}$ , $\left \| p \right \| \to 0$ setara dengan $n \to \infty$ , maka :

$\int_{-2}^{3}$ (x + 3) dx = $lim_{\left \| p \right \| \to 0}$ Sp

= $lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(\widehat{x}_{i} \triangle x_{i})$

= $lim_{n \to \infty}$ (5 + $\frac{25}{2}$ $(1+\frac{1}{n})$ )

= $\frac{35}{2}$

One comment on “Jumlah Riemann”

Ping-balik: PENDALAMAN MATERI JUMLAH RIEMANN ( INTEGRAL TENTU ) | Math is Easy and Fun

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Apent pada Penyelesaian Persamaan Diferen…
	Chessa pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Riani pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Putry pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	nana pada Metode Bagi-Dua (Bisection…
	Trinita Nadiya Hasan pada Jasa Jawab Soal
	Inoe pada Luas Segiempat Sembarang
	Sidiq pada Jasa Jawab Soal
	yolanfa chelsea sals… pada Soal dan Pembahasan SNMPTN Mat…
	Rita pada Tanya Jawab MATEMATIKA

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

One comment on “Jumlah Riemann”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan