Jumlah Riemann ini adalah cikal bakal dari Integral Tentu, dimana integral tentu ini berbeda dengan integral taktentu yang dipandang sebagai anti turunan, pendefinisian integral tentu (definite integral) disusun dari suatu konsep limit pada Jumlah Riemann suatu fungsi.
Definisi : Jumlah Riemann
Diketahui f fungsi terdefinisi pada interval [a,b] dan P suatu n-partisi pada [a,b], yaitu :
a = x0 < x1 < x2 < x3 < … < xk-1 < xk < … < xn-1 < xn = b
diambil xk = xk – xk-1 dan
(xk-1, xk), untuk k = 1, 2, …, n.
karena f terdefinisi pada [a, b], maka f() terjamin ada untuk k = 1, 2, …, n. Selanjutnya, dibentuk jumlahan :
Sp :=
=
Sp tersebut dinamakan Jumlah Riemann fungsi f pada interval [a, b] atas partisi P.
Tafsiran geometrinya dapat dilihat pada gambar dibawah ini :
Contoh 1 :
Hitunglah Jumlah Riemann Sp untuk f(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8 pada selang [0, 5] dengan menggunakan partisi P dengan titik partisi 0 < 1,1 < 2 < 3,2 < 4 < 5 dan titik sample yang berpadanan = 0,5,
= 1,5,
= 2,5,
= 3,6 dan
= 5.
Penyelesaian :
Sp = +
+
+
+
= f(0,5)(1,1 – 0) + f(1,5)(2 – 1,1) + f(2,5)(3,2 – 2) + f(3,6)(4 – 3,2) + f(5)(5 – 4)
= (7,875)(1,1) + (3,125)(0,9) + (-2,625)(1,2) + (-2,9444)(0,8) + (18)(1)
= 23, 9698
Dari Definisi Jumlah Riemann diatas, dapat dibentuk definisi Integral Tentu yang berhubungan erat dengan Jumlah Riemann tersebut, berikut definisinya.
Definisi : Integral Tentu
Diketahui Sp Jumlah Riemann fungsi f pada interval [a,b] atas partisi P.
Jika
dengan
ada (berhingga), maka dikatakan f terintegral (terintegral Riemann) pada [a, b]. Selanjutnya nilai limit tersebut dinamakan Integral Tentu fungsi f pada [a, b], disimbolkan :
Contoh 2 :
Hitunglah (x + 3) dx
Penyelesaian :
Pertama buat n-partisi pada selang [-2, 3] sedemikian sehingga diperoleh sub interval [xk-1, xk] dengan k = 1, 2, 3, …, n dan panjang sama yaitu =
=
, selanjutnya ambil
[xk-1, xk] sedemikian sehingga
= (xk-1, xk)/2 yaitu titik tengah sub interval [xk-1, xk]. Dengan pengambilan ini diperoleh.
= -2
= -2 +
= -2 +
= -2 + 2
= -2 +
.
.
.
= -2 + i
= -2 +
.
.
.
= -2 + n
= -2 +
= 3
jadi f() =
+ 3
= -2 + + 3
= 1 +
sehingga,
=
[1 +
]
= 1 +
i
= (n) +
= 5 +
karena P merupakan suatu partisi tetap dan ,
setara dengan
, maka :
(x + 3) dx =
Sp
=
= (5 +
)
=
Ping-balik: PENDALAMAN MATERI JUMLAH RIEMANN ( INTEGRAL TENTU ) | Math is Easy and Fun