Jumlah Riemann


Jumlah Riemann ini adalah cikal bakal dari Integral Tentu, dimana integral tentu ini berbeda dengan integral taktentu yang dipandang sebagai anti turunan, pendefinisian integral tentu (definite integral) disusun dari suatu konsep limit pada Jumlah Riemann suatu fungsi.

Definisi : Jumlah Riemann

Diketahui f fungsi terdefinisi pada interval [a,b] dan P suatu n-partisi pada [a,b], yaitu :

a = x0 < x1 < x2 < x3 < … < xk-1 < xk < … < xn-1 < xn = b

diambil \trianglexk = xk – xk-1 dan \widehat{x}_k \epsilon (xk-1, xk), untuk k = 1, 2, …, n.

 photo partisi1_zps55378c8c.png

karena f terdefinisi pada [a, b], maka f(\widehat{x}_k) terjamin ada untuk k = 1, 2, …, n. Selanjutnya, dibentuk jumlahan :

Sp := f(\widehat{x}_{1} \triangle x_{1}) + f(\widehat{x}_{2} \triangle x_{2}) + ... + f(\widehat{x}_{n} \triangle x_{n})

= \sum_{k=1}^{n} f(\widehat{x}_{k} \triangle x_{k})

Sp tersebut dinamakan Jumlah Riemann fungsi f pada interval [a, b] atas partisi P.

Tafsiran geometrinya dapat dilihat pada gambar dibawah ini :

Contoh 1 :

Hitunglah Jumlah Riemann Sp untuk f(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8 pada selang [0, 5] dengan menggunakan partisi P dengan titik partisi 0 < 1,1 < 2 < 3,2 < 4 < 5 dan titik sample yang berpadanan \widehat{x}_{1} = 0,5, \widehat{x}_{2} = 1,5, \widehat{x}_{3} = 2,5, \widehat{x}_{4} = 3,6 dan \widehat{x}_{5} = 5.

Penyelesaian :

Sp = f(\widehat{x}_{1} \triangle x_{1}) + f(\widehat{x}_{2} \triangle x_{2}) + f(\widehat{x}_{3} \triangle x_{3}) + f(\widehat{x}_{4} \triangle x_{4}) + f(\widehat{x}_{n} \triangle x_{n})

= f(0,5)(1,1 – 0) + f(1,5)(2 – 1,1) + f(2,5)(3,2 – 2) + f(3,6)(4 – 3,2) + f(5)(5 – 4)

= (7,875)(1,1) + (3,125)(0,9) + (-2,625)(1,2) + (-2,9444)(0,8) + (18)(1)

= 23, 9698

Dari Definisi Jumlah Riemann diatas, dapat dibentuk definisi Integral Tentu yang berhubungan erat dengan Jumlah Riemann tersebut, berikut definisinya.

Definisi : Integral Tentu

Diketahui Sp Jumlah Riemann fungsi f pada interval [a,b] atas partisi P.

Jika lim_{\left \| p \right \| \to 0} Sp = lim_{\left \| p \right \| \to 0} \sum_{k=1}^{n} f(\widehat{x}_{k} \triangle x_{k})

dengan \left \| p \right \| = maks_{1 \leq k \leq n} \left \{ \triangle x_k \right \}

ada (berhingga), maka dikatakan f terintegral (terintegral Riemann) pada [a, b]. Selanjutnya nilai limit tersebut dinamakan Integral Tentu fungsi f pada [a, b], disimbolkan :

\int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{\left \| p \right \| \to 0} Sp

Contoh 2 :

Hitunglah \int_{-2}^{3} (x + 3) dx

Penyelesaian :

Pertama buat n-partisi pada selang [-2, 3] sedemikian sehingga diperoleh sub interval [xk-1, xk] dengan k = 1, 2, 3, …, n dan panjang sama yaitu \triangle x_k = \triangle x = \frac{5}{n} , selanjutnya ambil \widehat{x}_{k} \epsilon [xk-1, xk] sedemikian sehingga \widehat{x}_{k} = (xk-1, xk)/2 yaitu titik tengah sub interval [xk-1, xk]. Dengan pengambilan ini diperoleh.

\widehat{x}_{0} = -2

\widehat{x}_{1} = -2 + \triangle x = -2 + \frac{5}{n}

\widehat{x}_{2} = -2 + 2\triangle x = -2 + \frac{10}{n}

.

.

.

\widehat{x}_{i} = -2 + i\triangle x = -2 + \frac{5i}{n}

.

.

.

\widehat{x}_{n} = -2 + n\triangle x = -2 + \frac{5n}{n} = 3

jadi f(\widehat{x}_{i}) = \widehat{x}_{i} + 3

= -2 + \frac{5i}{n} + 3

= 1 + \frac{5i}{n}

sehingga,

\sum_{i=1}^{n} f(\widehat{x}_{i} \triangle x_{i} = \sum_{i=1}^{n} [1 + \frac{5i}{n} ] \frac{5}{n}

= \sum_{i=1}^{n} 1 + \frac{25}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i

= \sum_{i=1}^{n} (n) + \frac{25}{n^2} (\frac{n(n+1)}{2})

= 5 + \frac{25}{2} (1+\frac{1}{n})

karena P merupakan suatu partisi tetap dan \left \| p \right \| = maks_{1 \leq i \leq n} \left \{ \triangle x_i \right \} = \frac{5}{n}, \left \| p \right \| \to 0 setara dengan n \to \infty, maka :

\int_{-2}^{3} (x + 3) dx = lim_{\left \| p \right \| \to 0} Sp

= lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(\widehat{x}_{i} \triangle x_{i})

= lim_{n \to \infty} (5 + \frac{25}{2} (1+\frac{1}{n}) )

= \frac{35}{2}

Iklan

One comment on “Jumlah Riemann

  1. Ping-balik: PENDALAMAN MATERI JUMLAH RIEMANN ( INTEGRAL TENTU ) | Math is Easy and Fun

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s