Deret MacLaurin


Suatu fungsi f(x) yang memiliki turunan f'(x), f”(x), f”'(x), dan seterusnya yang kontinyu dalam interval I dan a, x \in I maka untuk x disekitar a yaitu |x – a| < \mathbb{R}, f(x) dapat diekspansi kedalam Deret Taylor

Definisi :

f(x) = f(a) + \frac{(x-a)}{1!} f'(a) + \frac{(x-a)^2}{2!} f”(a) + … + \frac{(x-a)^n}{n!} f(n)(a) + … + Rn(x)

= f(a) + \sum_{k=1}^n \frac{(x-a)^k}{k!} f(k)(a) + Rn(x)

= Tn(x) + Rn(x)

dengan Tn(x) adalah Deret Taylor dan Rn(x) adalah sisa.

dimana Rn(x) = \frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} f(n+1)(c)

Dalam kasus khusus jika a = 0, maka disebut Deret MacLaurin atau sering disebut Deret Taylor baku. Dan didefinisikan sebagai berikut

Definisi :

f(x) = f(0) + \frac{x}{1!} f'(0) + \frac{x^2}{2!} f”(0) + … + \frac{x^n}{n!} f(n)(0) + … + Rn(x)

Deret Taylor atau Deret MacLaurin ini sangat bermanfaat dalam metode numerik untuk menghitung atau menghampiri nilai-nilai fungsi yang susah dihitung secara manual seperti nilai sin x, cos x, ex, log x atau ln (x + 1). Tentu kita tidak akan bisa menghitung nilai-nilai fungsi tersebut tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau tabel. Dalam tulisan ini saya akan mencoba untuk mendekati fungsi-fungsi tersebut menggunakan Deret MacLaurin.

f(x) = ex

f'(x) = ex \rightarrow f'(0) = 1

f”(x) = ex \rightarrow f”(0) = 1

f”'(x) = ex \rightarrow f”'(0) = 1

.

.

.

f(n)(x) = ex \rightarrow f(n)(0) = 1

f(x) = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + … + \frac{x^n}{n!} 1

= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} xn

f(x) = sin x

f(0) = 0

f'(x) = cos x \rightarrow f'(0) = 1

f”(x) = -sin x \rightarrow f”(0) = 0

f”'(x) = -cos x \rightarrow f”'(0) = -1

f(iv)(x) = sin x \rightarrow f(iv)(0) = 0

f(v)(x) = cos x \rightarrow f(v)(0) = 1

f(vi)(x) = -sin x \rightarrow f(vi)(0) = 0

f(vii)(x) = -cos x \rightarrow f(vii)(0) = -1

.

.

.

f(x) = 0 + \frac{x}{1!} (1) + \frac{x^2}{2!} (0) + \frac{x^3}{3!} (-1) + \frac{x^4}{4!} (0) + \frac{x^5}{5!} (1) + \frac{x^6}{6!} (0) + \frac{x^7}{7!} (-1) + …

= \frac{x}{1!} \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \frac{x^7}{7!} + …

= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1)}}{(2n-1)!} x2n-1

f(x) = cos x

f(0) = 1

f'(x) = -sin x \rightarrow f'(0) = 0

f”(x) = -cos x \rightarrow f”(0) = -1

f”'(x) = sin x \rightarrow f”'(0) = 0

f(iv)(x) = cos x \rightarrow f(iv)(0) = 1

f(v)(x) = -sin x \rightarrow f(v)(0) = 0

f(vi)(x) = -cos x \rightarrow f(vi)(0) = -1

f(vii)(x) = sin x \rightarrow f(vii)(0) = 0

.

.

.

f(x) = 1 + \frac{x}{1!} (0) + \frac{x^2}{2!} (-1) + \frac{x^3}{3!} (0) + \frac{x^4}{4!} (1) + \frac{x^5}{5!} (0) + \frac{x^6}{6!} (-1) + \frac{x^7}{7!} (0) + …

= 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} \frac{x^6}{6!} + …

= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{(n+1)}}{(2n-2)!} x2n-2

f(x) = ln(x + 1)

f(0) = ln(1) = 0

f'(x) = (x + 1)-1 \rightarrow f'(0) = 1

f”(x) = -1(x + 1)-2 \rightarrow f'(0) = -1 = -1!

f”'(x) = 2(x + 1)-3 \rightarrow f'(0) = 2 = 2!

f(iv)(x) = -6(x + 1)-4 \rightarrow f'(0) = -6 = -3!

f(v) (x) = 24(x + 1)-5 \rightarrow f'(0) = 24 = 4!

.

.

.

f(x) = 0 + \frac{x}{1!} (1) + \frac{x^2}{2!} (-1!) + \frac{x^3}{3!} (2!) + \frac{x^4}{4!} (-3!) + \frac{x^5}{5!} (4!) + …

= x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} – …

= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1)}}{n} xn

f(x) = log(x + 1)

untuk fungsi log(x + 1) dengan basis 10, fungsi hampirannnya sama dengan fungsi ln(x + 1).

Iklan

9 comments on “Deret MacLaurin

    • berarti qta tinggal cari turunan dari fungsi f(x) nya.
      f(x) = e^sin x
      f'(x) = cos x e^sin x
      f”(x) = silahkan turunkan sendiri, gunakan aturan turunan perkalian dua fungsi.
      f”'(x) = …
      .
      .
      .
      kemudian tinggal substitusi ke rumus deret Mc.Laurin diatas

  1. hi kak saya mau tanya dong tentang deret mclaurin ..
    jika diberi soal seperti ini fungsi f(x) = sin 2x itu cara mencari pnyelesaian termudahnya bgaimana yah ? terimkasih sebelumnya

  2. mau nanya untuk yg fungsi ln faktorialnya dapet darimana ya saya belum mengerti
    cnth:
    f(iv)(x) = -6(x + 1)^-4 ———> f””(0) = -6 = -3!
    untuk substitusi 0 bukankah menjadi -6(1)^-4 = -6?
    mohon penjelasannya karna saya benar2 tidak mengerti, terimakasih sebelumnya

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s