Deret MacLaurin


Suatu fungsi f(x) yang memiliki turunan f'(x), f''(x), f'''(x), dan seterusnya yang kontinyu dalam interval I dengan a, x \in I maka untuk x disekitar a yaitu |x -a| < \mathbb{R}, f(x) dapat diekspansi kedalam Deret Taylor

Definisi.

f(x) = f(a) + \dfrac{(x-a)}{1!} f'(a) + \dfrac{(x-a)^2}{2!} f''(a) + \ldots + \dfrac{(x-a)^n}{n!} f^{(n)}(a) + \ldots + R_n(x)

= f(a) + \displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{(x-a)^k}{k!} f^{(k)} (a) + R_n(x)

= T_n(x) + R_n(x)

dengan T_n(x) adalah Deret Taylor dan R_n(x) adalah sisa.

dimana R_n(x) = \dfrac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c)

Dalam kasus khusus jika a = 0, maka disebut Deret MacLaurin atau sering disebut Deret Taylor baku. Dan didefinisikan sebagai berikut

Definisi.

f(x) = f(0) + \dfrac{x}{1!} f'(0) + \dfrac{x^2}{2!} f''(0) + \ldots + \dfrac{x^n}{n!} f^{(n)}(0) + \ldots + R_n(x)

Deret Taylor atau Deret MacLaurin ini sangat bermanfaat dalam metode numerik untuk menghitung atau menghampiri nilai-nilai fungsi yang susah dihitung secara manual seperti nilai \sin x, \cos x, e^x, \log x atau \ln (x + 1). Tentu kita tidak akan bisa menghitung nilai-nilai fungsi tersebut tanpa menggunakan bantuan kalkulator atau tabel. Dalam tulisan ini saya akan mencoba untuk mendekati fungsi-fungsi tersebut menggunakan Deret MacLaurin.

f(x) = e^x

f'(x) = ex \rightarrow f'(0) = 1

f”(x) = ex \rightarrow f”(0) = 1

f”'(x) = ex \rightarrow f”'(0) = 1

.

.

.

f(n)(x) = ex \rightarrow f(n)(0) = 1

f(x) = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + \ldots + \dfrac{x^n}{n!} 1

= \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n!} x^n

f(x) = \sin x

f(0) = 0

f'(x) = cos x \rightarrow f'(0) = 1

f”(x) = -sin x \rightarrow f”(0) = 0

f”'(x) = -cos x \rightarrow f”'(0) = -1

f(iv)(x) = sin x \rightarrow f(iv)(0) = 0

f(v)(x) = cos x \rightarrow f(v)(0) = 1

f(vi)(x) = -sin x \rightarrow f(vi)(0) = 0

f(vii)(x) = -cos x \rightarrow f(vii)(0) = -1

.

.

.

f(x) = 0 + \frac{x}{1!} (1) + \frac{x^2}{2!} (0) + \frac{x^3}{3!} (-1) + \frac{x^4}{4!} (0) + \frac{x^5}{5!} (1) + \frac{x^6}{6!} (0) + \frac{x^7}{7!} (-1) + …

= \dfrac{x}{1!} -\dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} -\dfrac{x^7}{7!} + \ldots

= \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1)}}{(2n-1)!} x^{2n-1}

f(x) = \cos x

f(0) = 1

f'(x) = -sin x \rightarrow f'(0) = 0

f”(x) = -cos x \rightarrow f”(0) = -1

f”'(x) = sin x \rightarrow f”'(0) = 0

f(iv)(x) = cos x \rightarrow f(iv)(0) = 1

f(v)(x) = -sin x \rightarrow f(v)(0) = 0

f(vi)(x) = -cos x \rightarrow f(vi)(0) = -1

f(vii)(x) = sin x \rightarrow f(vii)(0) = 0

.

.

.

f(x) = 1 + \dfrac{x}{1!} (0) + \dfrac{x^2}{2!} (-1) + \dfrac{x^3}{3!} (0) + \dfrac{x^4}{4!} (1) + \dfrac{x^5}{5!} (0) + \dfrac{x^6}{6!} (-1) + \dfrac{x^7}{7!} (0) + \ldots

= 1 -\dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} -\dfrac{x^6}{6!} + \ldots

= \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{(n+1)}}{(2n-2)!} x^{2n-2}

f(x) = \ln(x + 1)

f(0) = ln(1) = 0

f'(x) = (x + 1)-1 \rightarrow f'(0) = 1

f”(x) = -1(x + 1)-2 \rightarrow f'(0) = -1 = -1!

f”'(x) = 2(x + 1)-3 \rightarrow f'(0) = 2 = 2!

f(iv)(x) = -6(x + 1)-4 \rightarrow f'(0) = -6 = -3!

f(v) (x) = 24(x + 1)-5 \rightarrow f'(0) = 24 = 4!

.

.

.

f(x) = 0 + \dfrac{x}{1!} (1) + \dfrac{x^2}{2!} (-1!) + \dfrac{x^3}{3!} (2!) + \dfrac{x^4}{4!} (-3!) + \dfrac{x^5}{5!} (4!) +  \ldots

= x -\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} -\dfrac{x^4}{4} + \dfrac{x^5}{5} -\ldots

= \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{n} x^n

f(x) = \log(x + 1)

untuk fungsi \log(x + 1) dengan basis 10, fungsi hampirannnya sama dengan fungsi \ln(x + 1).

16 comments on “Deret MacLaurin

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s