Sifat yang dimiliki oleh ln atau logaritma natural ini penting dalam pengerjaan soal-soal, dimana sifat-sifatnya ini dirangkum dalam sebuah teorema.
Teorema A :
Jika a dan b adalah bilangan positif dan r adalah bilangan rasional, maka
-
ln 1 = 0
-
ln ab = ln a + ln b
-
ln
= ln a – ln b
-
ln ar = r ln a
untuk membuktikan teorema diatas, disini saya membutuhkan sebuah teorema sebagai bantuan dalam pembuktiannya dan saya tidak akan membuktikan teorema dibawah ini.
Teorema B :
Jika F'(x) = G'(x) untuk semua x di (a, b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga
F(x) = G(x) + C
untuk semua x di (a, b)
BUKTI :
-
ln 1 =
= 0 [karena Akibat Teorema Dasar Kalkulus]
-
karena x > 0, maka berlaku
(ln ax) =
a
=
(ln x) =
sehingga
(ln ax) =
(ln x)
berdasarkan Teorema B, maka berakibat
ln ax = ln x + C
ambil x = 1, maka ln a.1 = ln 1 + C
ln a = C
berakibat
ln (ax) = ln x + ln a
-
pilih x = b dan a =
, berdasarkan Teorema A (ii), maka
ln
b = ln
+ ln b
ln 1 = ln
+ ln b
0 = ln
+ ln b
ln
= -ln b
kemudian dari Teorema A (ii), ambil x =
, maka
ln
= ln a
= ln a + ln
= ln a – ln b
-
karena x > 0, maka berlaku
(ln xr) =
=
rxr-1
=
(r ln x) = 0 ln x + r
[Aturan Perkalian]
= r
=
berakibat
(r ln x) =
(ln xr)
berdasarkan Teorema B, maka berakibat
ln xr = r ln x + C
ambil x = 1, maka ln 1r = r ln 1 + C
0 = C, sehingga
ln xr = r ln x
wahhh pengen sih belajar tapi otak gak nyampek kayaknya!!