Sifat-Sifat Logaritma Natural


Sifat yang dimiliki oleh ln atau logaritma natural ini penting dalam pengerjaan soal-soal, dimana sifat-sifatnya ini dirangkum dalam sebuah teorema.

Teorema A :

Jika a dan b adalah bilangan positif dan r adalah bilangan rasional, maka

  1. ln 1 = 0
  2. ln ab = ln a + ln b
  3. ln \frac{a}{b} = ln a – ln b
  4. ln ar = r ln a

untuk membuktikan teorema diatas, disini saya membutuhkan sebuah teorema sebagai bantuan dalam pembuktiannya dan saya tidak akan membuktikan teorema dibawah ini.

Teorema B :

Jika F'(x) = G'(x) untuk semua x di (a, b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga

F(x) = G(x) + C

untuk semua x di (a, b)

BUKTI :

  1. ln 1 = \int \frac{1}{t} = 0 [karena Akibat Teorema Dasar Kalkulus]
  2. karena x > 0, maka berlaku

    \frac{d}{dx} (ln ax) = \frac{1}{ax} a

    = \frac{1}{x}

    \frac{d}{dx} (ln x) = \frac{1}{x}

    sehingga

    \frac{d}{dx} (ln ax) = \frac{d}{dx} (ln x)

    berdasarkan Teorema B, maka berakibat

    ln ax = ln x + C

    ambil x = 1, maka ln a.1 = ln 1 + C \Rightarrow ln a = C

    berakibat

    ln (ax) = ln x + ln a

  3. pilih x = b dan a = \frac{1}{b} , berdasarkan Teorema A (ii), maka

    ln \frac{1}{b} b = ln \frac{1}{b} + ln b

    ln 1 = ln \frac{1}{b} + ln b

    0 = ln \frac{1}{b} + ln b

    ln \frac{1}{b} = -ln b

    kemudian dari Teorema A (ii), ambil x = \frac{1}{b} , maka

    ln \frac{a}{b} = ln a \frac{1}{b}

    = ln a + ln \frac{1}{b}

    = ln a – ln b

  4. karena x > 0, maka berlaku

    \frac{d}{dx} (ln xr) = \frac{1}{x^r} \frac{d(x^r)}{dx}

    = \frac{1}{x^r} rxr-1

    = \frac{r}{x}

    \frac{d}{dx} (r ln x) = 0 ln x + r \frac{1}{x} [Aturan Perkalian]

    = r \frac{1}{x}

    = \frac{r}{x}

    berakibat

    \frac{d}{dx} (r ln x) = \frac{d}{dx} (ln xr)

    berdasarkan Teorema B, maka berakibat

    ln xr = r ln x + C

    ambil x = 1, maka ln 1r = r ln 1 + C \Rightarrow 0 = C, sehingga

    ln xr = r ln x

Iklan

One comment on “Sifat-Sifat Logaritma Natural

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s