Sifat-Sifat Logaritma Natural

Sifat yang dimiliki oleh ln atau logaritma natural ini penting dalam pengerjaan soal-soal, dimana sifat-sifatnya ini dirangkum dalam sebuah teorema.

Teorema A :

Jika a dan b adalah bilangan positif dan r adalah bilangan rasional, maka

1. ln 1 = 0
   
2. ln ab = ln a + ln b
   
3. ln = ln a – ln b
   
4. ln a^r = r ln a
   

untuk membuktikan teorema diatas, disini saya membutuhkan sebuah teorema sebagai bantuan dalam pembuktiannya dan saya tidak akan membuktikan teorema dibawah ini.

Teorema B :

Jika F'(x) = G'(x) untuk semua x di (a, b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga

F(x) = G(x) + C

untuk semua x di (a, b)

BUKTI :

1. ln 1 = = 0 [karena Akibat Teorema Dasar Kalkulus]
   
2. karena x > 0, maka berlaku
   

   (ln ax) = a
   

   =
   

   (ln x) =
   

   sehingga
   

   (ln ax) = (ln x)
   

   berdasarkan Teorema B, maka berakibat
   

   ln ax = ln x + C
   

   ambil x = 1, maka ln a.1 = ln 1 + C ln a = C
   

   berakibat
   

   ln (ax) = ln x + ln a
   

3. pilih x = b dan a = , berdasarkan Teorema A (ii), maka
   

   ln b = ln + ln b
   

   ln 1 = ln + ln b
   

   0 = ln + ln b
   

   ln = -ln b
   

   kemudian dari Teorema A (ii), ambil x = , maka
   

   ln = ln a
   

   = ln a + ln
   

   = ln a – ln b
   

4. karena x > 0, maka berlaku
   

   (ln x^r) =
   

   = rx^r-1
   

   =
   

   (r ln x) = 0 ln x + r [Aturan Perkalian]
   

   = r
   

   =
   

   berakibat
   

   (r ln x) = (ln x^r)
   

   berdasarkan Teorema B, maka berakibat
   

   ln x^r = r ln x + C
   

   ambil x = 1, maka ln 1^r = r ln 1 + C 0 = C, sehingga
   

   ln x^r = r ln x