Habis Dibagi 13

Beberapa waktu yang lalu ada beberapa pengunjung blog yang menanyakan tentang bilangan habis dibagi 13, kira-kira pertanyaannya sebagai berikut “buktikan bahwa 7¹²³⁴ + 7¹²³⁴ + 7¹²³⁴ + 7¹²³⁴ habis dibagi 13″. Sebelumnya saya minta maaf karena tidak bisa langsung merespon karena beberapa hal, melalui tulisan ini saya mencoba untuk menjelaskan lebih rinci.

Tapi sebelumnya, saya akan menulis definisi mod (modulus) yang akan kita gunakan untuk menyelesaiakan soal tersebut.

Definisi

misal n adalah bilangan bulat positif, a dan b adalah bilangan bulat lainnya. Dikatakan bahwa a adalah kongruen b mod n atau a adalah sisa dari a mod n, ditulis a b mod (n).

atau dengan kata lain a b mod (n) jika n habis membagi (a – b).

sebelum menggunakan definisi diatas, kita terlebih dahulu merincikan hasil dari 7ⁱ untuk beberapa i (sesuai dengan kebutuhan), perhatikan hasil dibawah ini :

7¹ = 7

7² = 49

7³ = 343

7⁴ = 2401

7⁵ = 16807

jika diperhatikan, maka angka satuannya akan berulang pada iterasi (pengulangan) pangkat yang ke-5, dari hasil ini kita akan menggunakan definisi diatas dengan menggunakan “mod 4”. Sehingga diperoleh

1234 mod 4 = 2 7¹²³⁴ = 7² memiliki angka satuan 9

2341 mod 4 = 1 7²³⁴¹ = 7¹ memiliki angka satuan 7

3412 mod 4 = 0 7³⁴¹² = 7⁴ memiliki angka satuan 1

4123 mod 4 = 3 7⁴¹²³ = 7³ memiliki angka satuan 3

7¹²³⁴ + 7¹²³⁴ + 7¹²³⁴ + 7¹²³⁴ = 9 + 7 + 1 + 3 = 20

jadi angka satuan dari penjumlahannya adalah 0