Sep 3 2013

Luas Kurva Distribusi Normal


Distribusi normal adalah distribusi dari variabel acak kontinu.  Kadang-kadang distribusi normal disebut juga dengan distribusi Gauss.  Distribusi ini merupakan distribusi yang paling penting dan paling banyak digunakan di  bidang analisa statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng.

photo NormalDistributionCurvesvg_zps2790b95e.png

sumber gambar : http://id.wikipedia.org/

secara matematis distribusi normal didefinisikan sebagai berikut :
Definisi.

Jika X peubah acak normal dengan rerata \mu dan varian \sigma^2, maka fungsi kepekatan pada X = x adalah

f(x) = n(X; \mu,\sigma) = \dfrac{1}{\mu \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{X-\mu}{\sigma} \right)^2}, -\infty < X < \infty

dengan \pi = 3,14159... dan e = 2,71828...

yang jadi pertanyaan saya adalah berapa nilai dari \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-z^2}{2}}~dz dengan z = \dfrac{X-\mu}{\sigma^2} ? Apa anda percaya hasil dari integral itu sama dengan 1 ? Jika tidak percaya, mari perhatikan bukti nya.

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-z^2}{2}} ~dz = \ldots ?

Karena distribusi normal adalah fungsi kuva setangkup atau simetri terhadapap sumbu-y dan merupakan fungsi genap, maka berlaku

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-z^2}{2}} ~dz = 2 \int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-z^2}{2}} ~dz

ambil : u = \dfrac{z^2}{2} \Leftrightarrow z = (2u)^{\frac{1}{2}}

du = 2 ~\dfrac{z}{2} ~dz = z ~dz

dz = \dfrac{du}{z} = \dfrac{du}{(2u)^{\frac{1}{2}}}

batas-batas integral

z = 0 \Rightarrow u = 0

z = \infty \Rightarrow u = \infty

\displaystyle 2 \int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{\frac{-z^2}{2}} ~dz = 2 \int_{0}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-u} \dfrac{du}{(2u)^{1/2}}

= \dfrac{2}{\sqrt{2}} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \displaystyle \int_{0}^{\infty}  u^{\frac{1}{2}} e^{-u} ~du

berdasarkan Fungsi Gamma, maka

= \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \displaystyle \Sigma \left( \dfrac{1}{2} \right)

= \dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \sqrt{\pi}

= 1

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s