Hubungan Fungsi Gamma dan Beta


Sebelum menentukan hubungan Fungsi Gamma dan Beta, terlebih dahulu kita harus tahu definisi masing-masing Fungsi Gamma dan Beta didefinsikan sebagai berikut

Definisi :

Fungsi Beta \beta, suatu fungsi bernilai riil dengan dua peubah, didefinisikan oleh suatu bentuk integral, yaitu :

\beta (m, n) = \int_0^1 x^{m-1} (1-x)^{n-1} dx, m > 0, n > 0

untuk mencari hubungan kedua fungsi ini, kita akan membutuhkan bentuk lain dari Fungsi Beta, yaitu salah satunya dalam koordinat kutub

ambil : x = sin2 \theta

maka dx = 2 sin \theta cos \theta d\theta

batas-batas integral

x = 0 \Rightarrow \theta = 0

x = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}

\beta (m, n) = \int_0^1 x^{m-1} (1-x)^{n-1} dx

= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (sin \theta)2(m-1) (1 – sin2 \theta)n-1 (2 sin \theta cos \theta d\theta)

= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (sin \theta)2m-2 (cos \theta)2n-2 (2 sin \theta cos \theta d\theta)

= 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (sin \theta)2m-1 (cos \theta)2n-1 d\theta

dengan mengambil definisi Fungsi Gamma, diperoleh

\Gamma (m) = \int_0^{\infty} xm-1 e-x dx

ambil x = u2 \Rightarrow dx = 2u du, maka memenuhi

= 2 \int_0^{\infty} u2m-1 e-u^2 du

\Gamma (n) = \int_0^{\infty} xn-1 e-x dx

ambil x = v2 \Rightarrow dx = 2v dv, maka memenuhi

= 2 \int_0^{\infty} v2n-1 e-v^2 dv

\Gamma (m) \Gamma (n) = (2 \int_0^{\infty} u2m-1 e-u^2 du)( 2 \int_0^{\infty} v2n-1 e-v^2 dv)

= 4 \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} u2m-1 v2n-1 e-(u^2+v^2) du dv

transformasi koordinat kutub,

 photo fungsigamma_zps0cee7830.jpg

u = r cos \theta

v = r sin \theta

= 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\infty} (r cos \theta)2m-1 (r sin \theta)2n-1 e-r^2 \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{dr} & \frac{\partial v}{dr}\\ \frac{\partial u}{d \theta} & \frac{\partial v}{d \theta} \end{vmatrix} dr d\theta

= 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\infty} (r cos \theta)2m-1 (r sin \theta)2n-1 e-r^2 \begin{vmatrix} cos \theta & -r.sin \theta \\ sin \theta & r.cos \theta \end{vmatrix} dr d\theta

= 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\infty} (r cos \theta)2m-1 (r sin \theta)2n-1 e-r^2 r dr d\theta

= 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\infty} r2(m+n)-1 e-r^2 cos2m-1\theta sin2n-1\theta dr d\theta

= ( 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} r2(m+n)-1 e-r^2 dr ) ( 2 \int_0^{\infty} cos2m-1\theta sin2n-1\theta d\theta )

= \Gamma(m+n) \beta(m,n)

Jadi, \beta(m,n) = \frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}

One comment on “Hubungan Fungsi Gamma dan Beta

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s