Hubungan Fungsi Gamma dan Beta


Sebelum menentukan hubungan Fungsi Gamma dan Beta, terlebih dahulu kita harus tahu definisi masing-masing Fungsi Gamma dan Beta didefinsikan sebagai berikut

Definisi.

Fungsi Beta \beta, suatu fungsi bernilai riil dengan dua peubah, didefinisikan oleh suatu bentuk integral, yaitu :

\beta (m, n) = \displaystyle \int_0^1 x^{m-1} (1-x)^{n-1} ~dx, m > 0, n > 0

untuk mencari hubungan kedua fungsi ini, kita akan membutuhkan bentuk lain dari Fungsi Beta, yaitu salah satunya dalam koordinat kutub

ambil x = \sin^2 \theta maka dx = 2 \sin \theta \cos \theta ~d \theta

batas-batas integral

x = 0 \Rightarrow \theta = 0

x = 1 \Rightarrow \theta = \dfrac{\pi}{2}

\beta (m, n) = \displaystyle \int_0^1 x^{m-1} (1-x)^{n-1} ~dx

= \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin \theta \right)^{2(m-1)} (1-\sin^2 \theta )^{n-1} (2 \sin \theta \cos \theta ~d \theta)

= \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin \theta)^{2(m-1)} (\cos \theta)^{2n-2} (2 \sin \theta \cos \theta ~d \theta)

= \displaystyle 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin \theta)^{2m-1} (\cos \theta )^{2n-1} ~d \theta

dengan mengambil definisi Fungsi Gamma, diperoleh

\Gamma (m) = \displaystyle \int_0^{\infty} x^{m-1} e^{-x} ~dx

ambil x = u^2 \Rightarrow dx = 2u ~du, maka memenuhi

= 2 \displaystyle \int_0^{\infty} u^{2m-1} e^{-u^2} ~du

\Gamma (n) = \displaystyle \int_0^{\infty} x^{n-1} e^{-x} ~dx

ambil x = v^2 \Rightarrow dx = 2v ~dv, maka memenuhi

= 2 \displaystyle \int_0^{\infty} v^{2n-1} e^{-v^2} ~dv

\Gamma (m) \Gamma (n) = \left(2 \displaystyle \int_0^{\infty} u^{2m-1} e^{-u^2} du \right) \left( 2 \displaystyle \int_0^{\infty} v^{2n-1} e^{-v^2} ~dv \right)

= 4 \displaystyle \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} u^{2m-1} v^{2n-1} e^{-(u^2+v^2)} ~du ~dv

transformasi koordinat kutub,

 photo fungsigamma_zps0cee7830.jpg

u = r \cos \theta

v = r \sin \theta

\displaystyle = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\infty} (r \cos \theta)^{2m-1} (r \sin \theta)^{2n-1} e^{-r^2} \begin{vmatrix} \frac{\partial u}{dr} & \frac{\partial v}{dr}\\ \frac{\partial u}{d \theta} & \frac{\partial v}{d \theta} \end{vmatrix} ~dr ~d \theta

\displaystyle = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\infty} (r \cos \theta)^{2m-1} (r \sin \theta)^{2n-1} e^{-r^2} \begin{vmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{vmatrix} ~dr ~d \theta

\displaystyle = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\infty} (r \cos \theta)^{2m-1} (r \sin \theta)^{2n-1} e^{-r^2} ~r ~dr ~d \theta

\displaystyle = 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\infty} r^{2(m+n)-1} e^{-r^2} \cos^{2m-1} \theta \sin^{2n-1} \theta ~dr ~d\theta

= \displaystyle \left( 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} r^{2(m+n)-1} e^{-r^2} ~dr \right) \left( 2 \int_0^{\infty} \cos^{2m-1} \theta \sin^{2n-1} \theta ~d \theta \right)

= \Gamma(m+n) \beta(m,n)

Jadi, \beta(m,n) = \dfrac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}

One comment on “Hubungan Fungsi Gamma dan Beta

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s