Invers Matriks dengan Cayley-Hamilton


Invers matriks adalah balikan dari suatu matriks. Syarat utama yang harus dipenuhi adalah matriksnya harus berukuran persegi, selain itu determinan dari matriks tersebut tidak boleh sama dengan nol. Jika sudah memenuhi syarat tersebut, maka suatu matriks dapat dicari inversnya. Untuk mencarinya, dapat melalui banyak cara, misalnya dengan memanfaatkan Operasi Baris Elementer seperti tulisan sebelumnya dan cara lainnya. Tapi pada tulisan ini akan memanfaatkan Teorema Cayley-Hamilton. Sebelumnya diberikan definisi polynomial karakteristik, yaitu sebagai berikut.

Definisi

Misal A \in M_{nxn}(R), maka polynomial karakteristik dari A ditulis C_A(X) yaitu didefinisikan C_A(X)=det(XI_n-A)

Kemudian kita punya teorema Cayley-Hamilton, yaitu sebagai berikut.

Teorema

Misal A \in M_{nxn}(R), maka C_A(A)=0

Kemudian, dengan memanfaatkan teorema diatas, kita punya corollary untuk mencari invers, yaitu sebagai berikut.

Corollary

Jika A \in Gl(n,R) maka A^{-1}=g(A) untuk suatu g(X) \in R[X].

Jika diterjemahkan corollary diatas kedalam bahasa yang lebih sederhana, maksudya jika kita punya matriks A berukuran nxn yang berada pada himpunan matriks invertible berukuran nxn, maka invers matriks A dapat dicari dengan A^{-1}=g(A) untuk suatu g(X) di polynomial atas ring. Oh iya, corollary ini sebenarnya berlaku untuk sebarang ring, tapi disini akan digunakan pada field (lapangan) saja. Sehingga apabila corollary ini diaplikasikan pada field, syarat utama yang harus dipenuhi adalah matriksnya harus invertible yaitu determinan matriksnya tidak sama dengan nol.

Selanjutnya untuk mendapatkan rumus invers matriksnya, terlebih dahulu akan dibuktikan corollary diatas, perhatikan pembuktiannya.

Diberikan matriks A, berdasarkan definisi, dapat dibentuk polynomial karakteristik yaitu C_A(X)=X^{n}+a_{1}X^{n-1}+a_{2}X^{n-2}+...+a_{n}. Berdasarkan Teorema, maka a_n=(-1)^n det(A). Karena A invertible maka a_n unit di R. Berdasarkan Teorema maka C_A(A)=0, yaitu

C_A(A)= A^{n}+a_{1}A^{n-1}+a_{2}A^{n-2}+...+a_{n}=0

berakibat

A[A^{n-1}+a_{1}A^{n-2}+a_{2}A^{n-3}+...+a_{n-1}I_{n}]+a_{n}=0

a_{n}^{-1} (A[A^{n-1}+a_{1}A^{n-2}+a_{2}A^{n-3}+...+a_{n-1}I_{n}]+a_{n})= a_{n}^{-1}0

A -a_{n}^{-1} [A^{n-1}+a_{1}A^{n-2}+a_{2}A^{n-3}+...+a_{n-1}I_{n}]-I_{n})= 0

A [-a_{n}^{-1}(A^{n-1}+a_{1}A^{n-2}+a_{2}A^{n-3}+...+a_{n-1}I_{n}) = I_{n}

Selanjutnya bentuk

g(X)= -a_{n}^{-1}X^{n-1}-a_{n}^{-1}a_{1}X^{n-2}-a_{n}^{-1}a_{2}X^{n-3}-...-(a_{n}^{-1}a_{n-1}) \in R[X]

perhatikan persamaan kedua terakhir diatas, ini artinya bahwa -a_{n}^{-1}(A^{n-1}+a_{1}A^{n-2}+a_{2}A^{n-3}+...+a_{n-1}I_{n}) adalah invers dari matriks A. Berakibat,

g(A)= -a_{n}^{-1}A^{n-1}-a_{n}^{-1}a_{1}A^{n-2}-a_{n}^{-1}a_{2}A^{n-3}-...-(a_{n}^{-1}a_{n-1}).

Jadi g(A)=A^{-1}.

Untuk lebih jelas, akan disusun algoritma untuk mencari invers suatu matriks yang diambil dari pembuktian diatas, sebagai berikut.

  1. Diberikan matriks A berukuran nxn yang invertible.
  • Bentuk C_A(X)=det(XI-A) yaitu berbentuk polynomial berderajat n.

    C_A(X)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+ a_{2}x^{n-2}+...+ a_{n}

  • Bentuk g(X)=(-a_{n}^{-1})x^{n-1}+(-a_{n}^{-1}a_{1})x^{n-2}+(-a_{n}^{-1}a_{2})x^{n-3}+...+(-a_{n}^{-1}a_{n-1}).
  • Diperoleh A^{-1}=g(A).

Contoh 1

Diberikan A= \left[\begin{array}{rrr} 2 &1 &3\\ 3 &5 &1 \\ 5 &0 &5 \end{array} \right], hitunglah invers A.

Penyelesaian

Untuk syarat utamanya, kita asumsikan matriks A sudah invertible (silahkan dicek sendiri)

C_A(X)=det \left (XI-A \right)

=det \left (x\left[\begin{array}{rrr} 1 &0 &0\\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{array} \right]- \left[\begin{array}{rrr} 2 &1 &3\\ 3 &5 &1 \\ 5 &0 &5 \end{array} \right] \right)

=det \left (\left[\begin{array}{rrr} x &0 &0\\ 0 &x &0 \\ 0 &0 &x \end{array} \right]- \left[\begin{array}{rrr} 2 &1 &3\\ 3 &5 &1 \\ 5 &0 &5 \end{array} \right] \right)

=det \left (\left[\begin{array}{rrr} x-2 &-1 &-3\\ -3 &x-5 &-1 \\ -5 &0 &x-5 \end{array} \right] \right)

= -5\left |\begin{array}{rr} -3 &-1 \\ x-5 &-1 \end{array} \right| -0\left |\begin{array}{rr} x-2 &-3 \\ -3 &-1 \end{array} \right| +(x-5)\left |\begin{array}{rr} x-2 &-1 \\ -3 &x-5 \end{array} \right|

=-5(1+3(x-5))+0+(x-5)((x-2)(x-5)-3)

=-5(1+3x-15))+(x-5)(x^2-7x+10-3)

=-5(3x-14)+(x-5)(x^2-7x+7)

=-15x+70+x^3-7x^2+7x-5x^2+35x-35

= x^3-12x^2+27x+35

a_0=1 , a_1=-12 , a_2=27 , a_3=35

Kemudian akan dicari $g(x)$ dengan rumus seperti diatas,

g(X)=(-a_{n}^{-1})x^{n-1}+(-a_{n}^{-1}a_{1})x^{n-2}+(-a_{n}^{-1}a_{2})x^{n-3}+...+(-a_{n}^{-1}a_{n-1})

=(-a_{3}^{-1})x^{3-1}+(-a_{3}^{-1}a_{1})x^{3-2}+(-a_{3}^{-1}a_{2})

=-35^{-1}x^{2}+(-35^{-1} \cdot -12)x+(35^{-1} \cdot 27)

=-\frac{1}{35}x^{2}+\frac{12}{35}x-\frac{27}{35}

dengan mensubstitusi X dengan A, maka diperoleh

g(A)= -\frac{1}{35}A^{2}+\frac{12}{35}A-\frac{27}{35}

= -\frac{1}{35}\left[\begin{array}{rrr} 2 &1 &3\\ 3 &5 &1 \\ 5 &0 &5 \end{array} \right]^{2}+\frac{12}{35}\left[\begin{array}{rrr} 2 &1 &3\\ 3 &5 &1 \\ 5 &0 &5 \end{array} \right] - \frac{27}{35} \left[\begin{array}{rrr} 1 &0 &0\\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{array} \right]

= \frac{1}{35}\left[\begin{array}{rrr} -22 &-7 &-22\\ -26 &-28 &-19 \\ -35 &-5 &-40 \end{array} \right] + \frac{1}{35}\left[\begin{array}{rrr} 24 &12 &36\\ 36 &60 &12 \\ 60 &0 &60 \end{array} \right] + \frac{1}{5}\left[\begin{array}{rrr} -27 &0 &0\\ 0 &-27 &0 \\ 0 &0 &-27 \end{array} \right]

= \frac{1}{35}\left[\begin{array}{rrr} -25 &5 &14\\ 10 &5 &-7 \\ 25 &-5 &-7 \end{array} \right]

= \left[\begin{array}{rrr} -\frac{5}{7} &\frac{1}{7} &\frac{2}{5}\\ \frac{2}{7} &\frac{1}{7} &-\frac{1}{5} \\ \frac{5}{7} &-\frac{1}{7} &-\frac{1}{5} \end{array} \right]

Jadi, A^{-1} = \left[\begin{array}{rrr} -\frac{5}{7} &\frac{1}{7} &\frac{2}{5}\\ \frac{2}{7} &\frac{1}{7} &-\frac{1}{5} \\ \frac{5}{7} &-\frac{1}{7} &-\frac{1}{5} \end{array} \right]

Contoh 2

Diberikan A= \left[\begin{array}{rrr} 1 &2 &3\\ 2 &5 &3 \\ 1 &0 &8 \end{array} \right], hitunglah invers A.

Penyelesaian

matriks A merupakan matriks invertible (dicek sendiri)

C_A(X)=det \left (XI-A \right)

=det \left (x\left[\begin{array}{rrr} 1 &0 &0\\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{array} \right]- \left[\begin{array}{rrr} 1 &2 &3\\ 2 &5 &3 \\ 1 &0 &8 \end{array} \right] \right)

=det \left (\left[\begin{array}{rrr} x &0 &0\\ 0 &x &0 \\ 0 &0 &x \end{array} \right]- \left[\begin{array}{rrr} 1 &2 &3\\ 2 &5 &3 \\ 1 &0 &8 \end{array} \right] \right)

=det \left (\left[\begin{array}{rrr} x-1 &-2 &-3\\ -2 &x-5 &-3 \\ -1 &0 &x-8 \end{array} \right] \right)

= -1\left |\begin{array}{rr} -2 &-3 \\ x-5 &-3 \end{array} \right| -0\left |\begin{array}{rr} x-1 &-3 \\ -2 &-3 \end{array} \right| +(x-8)\left |\begin{array}{rr} x-1 &-2 \\ -2 &x-5 \end{array} \right|

=-(6+3(x-5))+0+(x-8)((x-1)(x-5)-4)

=-(6+3x-15))+(x-8)(x^2-6x+5-4)

=-(3x-9)+(x-8)(x^2-6x+1)

=-3x+9+x^3-6x^2+x-8x^2+48x-8

= x^3-14x^2+46x+1

a_0=1 , a_1=-14 , a_2=46 , a_3=1

Kemudian akan dicari $g(x)$ dengan rumus seperti diatas,

g(X)=(-a_{3}^{-1})x^{3-1}+(-a_{3}^{-1}a_{1})x^{3-2}+(-a_{3}^{-1}a_{2})

=-1^{-1}x^{2}+(-1^{-1} \cdot -14)x+(-1^{-1} \cdot 46)

=-x^{2}+14x-46

dengan mensubstitusi X dengan A, maka diperoleh

g(A)= -A^{2}+14A-46

= -\left[\begin{array}{rrr} 1 &2 &3\\ 2 &5 &3 \\ 1 &0 &8 \end{array} \right]^{2}+14\left[\begin{array}{rrr} 1 &2 &3\\ 2 &5 &3 \\ 1 &0 &8 \end{array} \right] - 46 \left[\begin{array}{rrr} 1 &0 &0\\ 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1 \end{array} \right]

= \left[\begin{array}{rrr} -8 &-12 &-33\\ -15 &-29 &-45 \\ -9 &-2 &-67 \end{array} \right] + \left[\begin{array}{rrr} 14 &48 &42\\ 28 &70 &42 \\ 14 &0 &112 \end{array} \right] + \frac{1}{5}\left[\begin{array}{rrr} -46 &0 &0\\ 0 &-46 &0 \\ 0 &0 &-46 \end{array} \right]

= \frac{1}{35}\left[\begin{array}{rrr} -40 &16 &9\\ 13 &-5 &-3 \\ 5 &-2 &-1 \end{array} \right]

Jadi, A^{-1}= \frac{1}{35}\left[\begin{array}{rrr} -40 &16 &9\\ 13 &-5 &-3 \\ 5 &-2 &-1 \end{array} \right].

Contoh 3

Misal A= \left[\begin{array}{rr} 3 &5\\ 1 &2 \end{array} \right], cari invers dari A.

Penyelesaian

matriks A merupakan matriks invertible (dicek sendiri)

C_A(X)=det \left (XI-A \right)

=det \left (x\left[\begin{array}{rr} 1 &0 \\ 0 &1 \end{array} \right]- \left[\begin{array}{rr} 3 &5\\ 1 &2 \end{array} \right] \right)

=det \left (\left[\begin{array}{rr} x &0 \\ 0 &x \end{array} \right]- \left[\begin{array}{rr} 3 &5\\ 1 &2 \end{array} \right] \right)

=det \left (\left[\begin{array}{rr} x-3 &-5 \\ -1 &x-2 \end{array} \right] \right)

=(x-3)(x-2)-5

=x^2-5x+6-5

=x^2-5x+1

a_0=1 , a_1=-5 , a_2=1

Kemudian akan dicari $g(x)$ dengan rumus seperti diatas,

g(X)=(-a_{2}^{-1})x^{2-1}+(-a_{2}^{-1}a_{1})

=-1^{-1}x+(-1^{-1} \cdot -5)

=-x+5

dengan mensubstitusi X dengan A, maka diperoleh

g(A)= -A+5I

= -\left[\begin{array}{rr} 3 &5\\ 1 &2 \end{array} \right]+\left[\begin{array}{rr} 1 &0\\ 0 &1 \end{array} \right]https://aimprof08.wordpress.com/wp-admin/post.php?post=4458&action=edit

= \left[\begin{array}{rr} -3 &-5\\ -1 &-2 \end{array} \right]+\left[\begin{array}{rr} 5 &0\\ 0 &5 \end{array} \right]

= \left[\begin{array}{rr} 2 &-5\\ -1 &3 \end{array} \right]

Jadi, A^{-1}= \left[\begin{array}{rr} 2 &-5\\ -1 &3 \end{array} \right].

Cocokan hasilnya dengan postingan sebelumnya.


2 comments on “Invers Matriks dengan Cayley-Hamilton

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s