Pembahasan Matematika UN SMA 2007 (2)


1.  Luas daerah parkir 1.760~m^2. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4~m^2 dan mobil besar 20~m^2. Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp1.000/jam dan mobil besar Rp2.000/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir adalah …

A. Rp176.000

B. Rp200.000

C. Rp260.000

D. Rp300.000

E. Rp340.000

Pembahasan.

Model matematika

Misal : mobil kecil = x dan mobil besar = y

4x+20y \leq 1.760 … (i)

x+y \leq 200 … (ii)

Fungsi tujuan : f(x,y) = 1.000x + 2.000y.

Substitusi persamaan (ii) ke pers (i), diperoleh

4(200-y) + 20y = 1.760

\Leftrightarrow 16y = 960

\Leftrightarrow y = 60

Sehingga didapat x = 200-y = 140

Diperoleh titik (0,0), (0,88), (140,60) dan (200,0). Substitusi ke fungsi tujuan,

f(0,0) = 1.000(0) + 2.000(0) = 0

f(0,88) = 1.000(0) + 2.000(88) = 176.000

f(200,0) = 1.000(200) + 2.000(0) = 200.000

f(140,60) = 1.000(140) + 2.000(60) = 260.000

Jawaban : C

2.  Diketahui segitiga PQR dengan P(0,1,4), Q(2,-3,2) dan R(-1,0,2). Besar sudut PQR adalah …

A. 120^0

B. 90^0

C. 60^0

D. 45^0

E. 30^0

Pembahasan.

PQ = P-Q = (0,1,4)-(2,-3,2) = (-2,4,2)

|PQ|^2 = (-2)^2+4^2+2^2 = 24

QR = Q-R = (2,-3,2)-(-1,0,2) = (3,-3,0)

|QR|^2 = 3^2+(-3)^2+0^2 = 18

PR = P-R = (0,1,4)-(-1,0,2) = (1,1,2)

|PR|^2 = 1^2+1^2+2^2 = 6

PQ \cdot QR = (-2,4,2)(3,-3,0) = -6-12+0 = -18

\cos \angle PQR = \dfrac{|PQ|^2+|QR|^2-|PR|^2}{2|PQ| |QR|}

= \dfrac{PQ^2+QR^2-PR^2}{2 \cdot PQ \cdot QR}

= \dfrac{24+18-6}{2(-18)}

= \dfrac{36}{-36}

= -1

\angle PQR = 90^0

Jawaban : B

3.  Diketahui segitiga ABC dengan A(0,0,0), B(2,2,0) dan R(0,2,2). Proyeksi ortogonal \vec{AB} pada \vec{AC} adalah …

A. \vec{j} + \vec{k}

B. \vec{i} + \vec{j}

C. -\vec{i} + \vec{j}

D. \vec{i} + \vec{j}- \dfrac{1}{2} \vec{k}

E. \dfrac{1}{2} \vec{i}- \vec{j}

Pembahasan.

Proy_{AB} AC = \dfrac{AB \cdot AC}{|AC|^2}AC

= \dfrac{(2,2,0)(0,2,2)}{(\sqrt{0^2+2^2+2^2})^2}(0,2,2)

= \dfrac{0+4+0}{0+4+4}(0,2,2)

= \dfrac{4}{8}(0,2,2)

= (0,1,1)

Atau ekuivalen dengan \vec{j} + \vec{k}.

Jawaban : A

4.  Bayangan kurva y=x^2-3 jika dicerminkan terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan faktor skala 2 adalah …

A. y=\dfrac{1}{2}x^2+6

B. y=\dfrac{1}{2}x^2-6

C. y=\dfrac{1}{2}x^2-3

D. y=6-\dfrac{1}{2}x^2

E. y=3-\dfrac{1}{2}x^2

Pembahasan

Dicerminkan terhadap sumbu X

\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ -y \end{pmatrix}

Dilatasi dengan faktor skala 2

\begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x\\ -2y \end{pmatrix}

Hasil Transformasi

y''=x''^2-3

-2y=(2x)^2-3

-2y=4x^2-3

y = -2x^2+\dfrac{3}{2}

Jawaban :

5.  Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 114. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah …

A. 840

B. 660

C. 640

D. 630

E. 315

Pembahasan

Rumus suku ke-n : u_n = a+(n-1)b

u_3 = a+2b = 36 … (i)

u_5 + u_7 = (a+4b) + (a+6b) = 2a+10b = 114 … (ii)

Substitusi pers (i) ke (ii), diperoleh

2(36-2b) + 10b = 114

72-4b + 10b = 114

6b = 42

   b=7

Substitusi nilai b=7 ke u_3, diperoleh

a+2(7) = 36 \Rightarrow a=12

S_n =\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)b)

S_{10}= \dfrac{10}{2}(2(12)+(10-1)7)

= 5(24+63)

= 5(87)

= 435

Jawaban :

6.  Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp80.000.000,00. Setiap tahun  nilai jualnya menjadi \dfrac{3}{4} dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ?

A. Rp.20.000.000,00

B. Rp.25.312.500,00

C, Rp.33.750.000,00

D. Rp.35.000.000,00

E. Rp.45.000.000,00

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini menggunakan deret geometri

Harga jual setelah 3 tahun = Harga awal – u_3

u_n = ar^{n-1}

u_3 = ar^2 = 80.000.000,00 \left(\dfrac{3}{4} \right)^2

= 80.000.000 \dfrac{9}{16}

= 45.000.000,00

Jadi, harga jual setelah 3 tahun adalah Rp35.000.000,00

Jawaban : D

7.  Diketahui pernyataan:

1 Jika hari panas, maka Ani memakai topi

2 Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung

3 Ani tidak memakai payung

Kesimpulan yang sah adalah …

A. Hari panas

B. Hari tidak panas

C. Ani memakai topi

D. Hari panas dan Ani memakai topi

E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi

Pembahasan

Misal : p = hari panas, q = Ani memakai topi, dan r = Ani memakai payung.

p \Rightarrow q

\sim q \vee r \equiv q \Rightarrow r

—————————–

p \Rightarrow r

\sim r

—————————-

\therefore \sim p

Jadi, kesimpulannya adalah hari tidak panas.

Jawaban : B

8.  Perhatikan kubus ABCD.EFGH!

 un_math_2007_18

Jarak bidang ACH dan EGB adalah ….

A. 4\sqrt{3} cm

B. 2\sqrt{3} cm

C. 4 cm

D. 6 cm

E. 12 cm

Pembahasan

Jarak bidang ACH dan EGB = \dfrac{1}{3} diagonal ruang

= \dfrac{1}{3} (6\sqrt{3}) \sqrt{3}

= 6

Jawaban : D

9.  Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan bidang BDFH adalah …

A. 900

B. 600

C. 450

D. 300

E. 150

Pembahasan

Dalam soal ini, kita harus temukan segitiga siku-siku yang melalui bidang BDFH serta titik B dan G yaitu segitiga BGO dengan O adalah titik tengah diagonal FH (dan O’ adalah titik tengah BD). Sehingga sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan bidang BDFH sama dengan sudut GBO. Misal panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah s.un_math_2007_19

Diperoleh bahwa

GB = s \sqrt{2}

GO = \dfrac{1}{2} GE = \dfrac{1}{2}s\sqrt{2}

BO = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}BD \right)^2 + (OO')^2}

= \sqrt{\left( \dfrac{1}{2} s \sqrt{2} \right)^2 + s^2}

= \sqrt{\dfrac{1}{2}s^2 + s^2}

= s \sqrt{\dfrac{3}{2}}

= \dfrac{1}{2} s \sqrt{6}

\sin \angle GBO = \dfrac{GO}{GB} = \dfrac{\dfrac{1}{2}s\sqrt{2}}{s\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}

Jadi, \angle GBO = 30^0

Jawaban : D

10.Diketahui A dan B adalah titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut ACB = 450. Jika jarak CB = p meter dan CA =  2p\sqrt{2} meter, maka panjang terowongan itu adalah …

A. p\sqrt{5}

B. p\sqrt{17}

C. 3\sqrt{2}

D. 4p

E. 5p

Pembahasan

Panjang terowongan = panjang AB

AB^2 = AC^2 + BC^2 -2.AC.BC \cos \angle C

= (2p\sqrt{2})^2 + p^2 -2(2p\sqrt{2})(p) \cos 45^0

= 8p^2 + p^2 -4p^2\sqrt{2} \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

= 8p^2 + p^2 -4p^2

= 5p^2

AB = p\sqrt{5}. Jadi, panjang terowongan adalah p\sqrt{5} meter.

Jawaban : A

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

One comment on “Pembahasan Matematika UN SMA 2007 (2)

  1. Ping-balik: Aturan Kosinus | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s