Pembahasan Matematika UN SMA 2007 (2)

1. Luas daerah parkir $1.760~m^2$ . Luas rata-rata untuk mobil kecil $4~m^2$ dan mobil besar $20~m^2$ . Daya tampung maksimum hanya 200 kendaraan. Biaya parkir mobil kecil Rp1.000/jam dan mobil besar Rp2.000/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir adalah …

A. Rp176.000

B. Rp200.000

C. Rp260.000

D. Rp300.000

E. Rp340.000

Pembahasan.

Model matematika

Misal : mobil kecil = x dan mobil besar = y

$4x+20y \leq 1.760$ … (i)

$x+y \leq 200$ … (ii)

Fungsi tujuan : $f(x,y) = 1.000x + 2.000y$ .

Substitusi persamaan (ii) ke pers (i), diperoleh

$4(200-y) + 20y = 1.760$

$\Leftrightarrow 16y = 960$

$\Leftrightarrow y = 60$

Sehingga didapat $x = 200-y = 140$

Diperoleh titik (0,0), (0,88), (140,60) dan (200,0). Substitusi ke fungsi tujuan,

$f(0,0) = 1.000(0) + 2.000(0) = 0$

$f(0,88) = 1.000(0) + 2.000(88) = 176.000$

$f(200,0) = 1.000(200) + 2.000(0) = 200.000$

$f(140,60) = 1.000(140) + 2.000(60) = 260.000$

Jawaban : C

2. Diketahui segitiga $PQR$ dengan $P(0,1,4)$ , $Q(2,-3,2)$ dan $R(-1,0,2)$ . Besar sudut $PQR$ adalah …

A. $120^0$

B. $90^0$

C. $60^0$

D. $45^0$

E. $30^0$

Pembahasan.

$PQ = P-Q = (0,1,4)-(2,-3,2) = (-2,4,2)$

$|PQ|^2 = (-2)^2+4^2+2^2 = 24$

$QR = Q-R = (2,-3,2)-(-1,0,2) = (3,-3,0)$

$|QR|^2 = 3^2+(-3)^2+0^2 = 18$

$PR = P-R = (0,1,4)-(-1,0,2) = (1,1,2)$

$|PR|^2 = 1^2+1^2+2^2 = 6$

$PQ \cdot QR = (-2,4,2)(3,-3,0) = -6-12+0 = -18$

$\cos \angle PQR = \dfrac{|PQ|^2+|QR|^2-|PR|^2}{2|PQ| |QR|}$

$= \dfrac{PQ^2+QR^2-PR^2}{2 \cdot PQ \cdot QR}$

$= \dfrac{24+18-6}{2(-18)}$

$= \dfrac{36}{-36}$

$= -1$

$\angle PQR = 90^0$

Jawaban : B

3. Diketahui segitiga $ABC$ dengan $A(0,0,0)$ , $B(2,2,0)$ dan $R(0,2,2)$ . Proyeksi ortogonal $\vec{AB}$ pada $\vec{AC}$ adalah …

A. $\vec{j} + \vec{k}$

B. $\vec{i} + \vec{j}$

C. $-\vec{i} + \vec{j}$

D. $\vec{i} + \vec{j}- \dfrac{1}{2} \vec{k}$

E. $\dfrac{1}{2} \vec{i}- \vec{j}$

Pembahasan.

$Proy_{AB} AC = \dfrac{AB \cdot AC}{|AC|^2}AC$

$= \dfrac{(2,2,0)(0,2,2)}{(\sqrt{0^2+2^2+2^2})^2}(0,2,2)$

$= \dfrac{0+4+0}{0+4+4}(0,2,2)$

$= \dfrac{4}{8}(0,2,2)$

$= (0,1,1)$

Atau ekuivalen dengan $\vec{j} + \vec{k}$ .

Jawaban : A

4. Bayangan kurva $y=x^2-3$ jika dicerminkan terhadap sumbu $X$ dilanjutkan dengan dilatasi pusat $O$ dan faktor skala 2 adalah …

A. $y=\dfrac{1}{2}x^2+6$

B. $y=\dfrac{1}{2}x^2-6$

C. $y=\dfrac{1}{2}x^2-3$

D. $y=6-\dfrac{1}{2}x^2$

E. $y=3-\dfrac{1}{2}x^2$

Pembahasan

Dicerminkan terhadap sumbu $X$

$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ -y \end{pmatrix}$

Dilatasi dengan faktor skala 2

$\begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x\\ -2y \end{pmatrix}$

Hasil Transformasi

$y''=x''^2-3$

$-2y=(2x)^2-3$

$-2y=4x^2-3$

$y = -2x^2+\dfrac{3}{2}$

Jawaban :

5. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 114. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah …

A. 840

B. 660

C. 640

D. 630

E. 315

Pembahasan

Rumus suku ke-n : $u_n = a+(n-1)b$

$u_3 = a+2b = 36$ … (i)

$u_5 + u_7 = (a+4b) + (a+6b) = 2a+10b = 114$ … (ii)

Substitusi pers (i) ke (ii), diperoleh

$2(36-2b) + 10b = 114$

$72-4b + 10b = 114$

$6b = 42$

$b=7$

Substitusi nilai $b=7$ ke $u_3$ , diperoleh

$a+2(7) = 36 \Rightarrow a=12$

$S_n =\dfrac{n}{2}(2a+(n-1)b)$

$S_{10}= \dfrac{10}{2}(2(12)+(10-1)7)$

$= 5(24+63)$

$= 5(87)$

$= 435$

Jawaban :

6. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi $\dfrac{3}{4}$ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ?

A. Rp.20.000.000,00

B. Rp.25.312.500,00

C, Rp.33.750.000,00

D. Rp.35.000.000,00

E. Rp.45.000.000,00

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini menggunakan deret geometri

Harga jual setelah 3 tahun = Harga awal – $u_3$

$u_n = ar^{n-1}$

$u_3 = ar^2 = 80.000.000,00 \left(\dfrac{3}{4} \right)^2$

$= 80.000.000 \dfrac{9}{16}$

$= 45.000.000,00$

Jadi, harga jual setelah 3 tahun adalah Rp35.000.000,00

Jawaban : D

7. Diketahui pernyataan:

1 Jika hari panas, maka Ani memakai topi

2 Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung

3 Ani tidak memakai payung

Kesimpulan yang sah adalah …

A. Hari panas

B. Hari tidak panas

C. Ani memakai topi

D. Hari panas dan Ani memakai topi

E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi

Pembahasan

Misal : $p$ = hari panas, $q$ = Ani memakai topi, dan $r$ = Ani memakai payung.

$p \Rightarrow q$

$\sim q \vee r \equiv q \Rightarrow r$

—————————–

$p \Rightarrow r$

$\sim r$

—————————-

$\therefore \sim p$

Jadi, kesimpulannya adalah hari tidak panas.

Jawaban : B

8. Perhatikan kubus ABCD.EFGH!

Jarak bidang ACH dan EGB adalah ….

A. $4\sqrt{3} cm$

B. $2\sqrt{3} cm$

C. $4 cm$

D. $6 cm$

E. $12 cm$

Pembahasan

Jarak bidang ACH dan EGB = $\dfrac{1}{3}$ diagonal ruang

= $\dfrac{1}{3} (6\sqrt{3}) \sqrt{3}$

= $6$

Jawaban : D

9. Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH. Besar sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan bidang BDFH adalah …

A. 90⁰

B. 60⁰

C. 45⁰

D. 30⁰

E. 15⁰

Pembahasan

Dalam soal ini, kita harus temukan segitiga siku-siku yang melalui bidang BDFH serta titik B dan G yaitu segitiga BGO dengan O adalah titik tengah diagonal FH (dan O’ adalah titik tengah BD). Sehingga sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan bidang BDFH sama dengan sudut GBO. Misal panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah $s$ .

Diperoleh bahwa

$GB = s \sqrt{2}$

$GO = \dfrac{1}{2} GE = \dfrac{1}{2}s\sqrt{2}$

$BO = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{2}BD \right)^2 + (OO')^2}$

$= \sqrt{\left( \dfrac{1}{2} s \sqrt{2} \right)^2 + s^2}$

$= \sqrt{\dfrac{1}{2}s^2 + s^2}$

$= s \sqrt{\dfrac{3}{2}}$

$= \dfrac{1}{2} s \sqrt{6}$

$\sin \angle GBO = \dfrac{GO}{GB} = \dfrac{\dfrac{1}{2}s\sqrt{2}}{s\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}$

Jadi, $\angle GBO = 30^0$

Jawaban : D

10.Diketahui A dan B adalah titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut ACB = 45⁰. Jika jarak CB = p meter dan CA = $2p\sqrt{2}$ meter, maka panjang terowongan itu adalah …

A. $p\sqrt{5}$

B. $p\sqrt{17}$

C. $3\sqrt{2}$

D. $4p$

E. $5p$

Pembahasan

Panjang terowongan = panjang AB

$AB^2 = AC^2 + BC^2 -2.AC.BC \cos \angle C$

$= (2p\sqrt{2})^2 + p^2 -2(2p\sqrt{2})(p) \cos 45^0$

$= 8p^2 + p^2 -4p^2\sqrt{2} \dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

$= 8p^2 + p^2 -4p^2$

$= 5p^2$

$AB = p\sqrt{5}$ . Jadi, panjang terowongan adalah $p\sqrt{5}$ meter.

Jawaban : A

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

One comment on “Pembahasan Matematika UN SMA 2007 (2)”

Ping-balik: Aturan Kosinus | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Sri Muliati pada Metode Newton-Raphson (Newton-…
	Nabilla Setyaningtya… pada Pembahasan TPA USM STAN 2014…
	Daffa pada Pembuktian Rumus Trigonometri…
	Hamuro pada Luas Segiempat Sembarang
	Anggi pada Pembahasan Soal Barisan dan De…
	al pada Metode Secant (Secant Met…
	Invers Matriks… pada Metode Sarrus
	Frans pada Berpapasan dan Menyusul
	Hi! pada Pembahasan Soal Peluang UN…
	Aku pada Pembahasan TPA USM STAN 2013…

Share this:

Sukai ini:

Terkait

One comment on “Pembahasan Matematika UN SMA 2007 (2)”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan