Feb 20 2014

Pembahasan Matematika UN SMA 2007 (3)

1. Nilai dari $\cos 40^0 + \cos 80^0 + \cos 160^0 = \ldots$

A. $-\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

B. $-\dfrac{1}{2}$

C. $0$

D. $\dfrac{1}{2}$

E. $\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

Pembahasan

$\cos 40^0 + \cos 80^0 + \cos 160^0 = (2 \cos \dfrac{1}{2} (40^0+80^0) \cos \dfrac{1}{2} (80^0-40^0)) + \cos 160^0$

$= (2 \cos 60^0 \cos 20^0) + \cos 160^0$

$= (2 \dfrac{1}{2} \cos 20^0) + \cos 160^0$

$= \cos 20^0 + \cos 160^0$

$= 2 \cos \dfrac{1}{2} (20^0+160^0) \cos \dfrac{1}{2} (160^0-20^0)$

$= 2 \cos 90^0 \cos 70^0$

$= 0$

Jawaban : C

2. Nilai dari $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-x-6}{4-\sqrt{5x+1}} = \ldots$

A. -8

B. -6

C. 6

D. 8

E. $\infty$

Pembahasan

$\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-x-6}{4-\sqrt{5x+1}} = \lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-x-6}{4-\sqrt{5x+1}} \left( \dfrac{4+\sqrt{5x+1}}{4+\sqrt{5x+1}} \right)$

$= \lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-x-6(4+\sqrt{5x+1})}{16-(5x+1)}$

$= \lim_{x \to 3} \dfrac{(x-3) (x+2) (4+\sqrt{5x+1})}{15-5x}$

$= \lim_{x \to 3} \dfrac{(x-3) (x+2) (4+\sqrt{5x+1})}{-5(x-3)}$

$= \lim_{x \to 3} \dfrac{(x+2) (4+\sqrt{5x+1})}{-5}$

$= \dfrac{(3+2) (4+\sqrt{5(3)+1})}{-5}$

$= \dfrac{5(4+\sqrt{16})}{-5}$

$= -(4+4) = -8$

Jawaban : A

3. Nilai dari $\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x}{x \tan (\frac{1}{2}x)} = \ldots$

A. -4

B. -2

C. 1

D. 2

E. 4

Pembahasan

$\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x}{x \tan (\frac{1}{2}x)} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1-(1-\sin^2 x)}{x \tan (\frac{1}{2}x)}$

$= \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x)}{x \tan (\frac{1}{2}x)}$

$= \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x)}{x} \dfrac{\sin x)}{\tan (\frac{1}{2}x)}$

$= 1 \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

Jawaban : D

4. Jika $f(x) = \sin^2 (2x+ \dfrac{\pi}{6})$ , maka $f'(0)= \ldots$

A. $2\sqrt{3}$

B. $2$

C. $\sqrt{3}$

D. $\dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

E. $\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

Pembahasan

$f'(x) = 2 \cdot \sin (2x+ \dfrac{\pi}{6}) \cdot \cos (2x+ \dfrac{\pi}{6}) \cdot 2$

$= 4 \cdot \sin (2x+ \dfrac{\pi}{6}) \cdot \cos (2x+\dfrac{\pi}{6})$

$f'(0)= 4 \cdot \sin (2(0)+ \dfrac{\pi}{6}) \cdot \cos (2(0)+ \dfrac{\pi}{6})$

$= 4 \sin \dfrac{\pi}{6} \cos \dfrac{\pi}{6}$

$= 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

$= \sqrt{3}$

Jawaban : C

5. Hasil dari $\int_a^3 (3x^2+2x+1)~dx = 25$ . Nilai $\dfrac{1}{2}a = \ldots$

A. -4

B. -2

C. -1

D. 1

E. 2

Pembahasan

$\int_a^3 (3x^2+2x+1)~dx = 25$

$x^3+x^2+x \mid_a^3 = 25$

$(3^3+3^2+3)-(a^3+a^2+a) = 25$

$27+9+3-a^3-a^2-a = 25$

$a^3+a^2+a-14 = 0$

Dengan menggunakan Metode Horner, diperoleh $a=2$ merupakan solusi dari persamaan tersebut. Jadi $\dfrac{1}{2}a = 1$ .

Jawaban : D

6. Perhatikan gambar!

Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah …

A. $(2,5)$

B. $(2, \dfrac{5}{2})$

C. $(2, \dfrac{2}{5})$

D. $(\dfrac{5}{2}, 2)$

E. $(\dfrac{2}{5}, 2)$

Pembahasan

Dari gambar di atas, diperoleh persamaan garis $5x+4y = 20$ atau ekuivalen dengan $y = -\dfrac{5}{4}x+5$

$L(x) = xy = x \left( -\dfrac{5}{4}x+5 \right) = -\dfrac{5}{4}x^2+5x$

$L'(x) = 0$

$-\dfrac{5}{2}x+5 = 0 \Leftrightarrow x=2$

$y = -\dfrac{5}{4}(2)+5 = \dfrac{5}{2}$

Jawaban : B

7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y=x^2$ da garis $x+y=6$ adalah …

A. $54$ satuan

B. $32$ satuan

C. $20\dfrac{5}{6}$ satuan

D. $18$ satuan

E. $10\dfrac{2}{3}$ satuan

Pembahasan.

Menentukan batas-batas.

$y_1 = y_2$

$x^2 = 6-x$

$x^2+x-6 = 0$

$(x+3)(x-2) = 0$

Jadi, diperoleh batas-batasnya adalah $x_1 = -3$ dan $x_2=2$

$Luas = \int_{-3}^2 (x^2-(6-x)) ~dx$

$= \int_{-3}^2 (x^2+x-6) ~dx$

$= \dfrac{1}{3}x^3+ \dfrac{1}{2}x^2-6x \mid_{-3}^2$

$= \left(\dfrac{1}{3}2^3+\dfrac{1}{2}2^2-6(2) \right)- \left(\dfrac{1}{3}(-3)^3+\dfrac{1}{2} (-3)^2-6(-3) \right)$

$= \dfrac{8}{3}+2-12- \left( -9+\dfrac{9}{2}+18 \right)$

$= \dfrac{8}{3}-\dfrac{9}{2}-19$

$= \dfrac{16}{6}-\dfrac{27}{6}-19$

$= -\dfrac{11}{6}-19$

$= -\left( 1\dfrac{5}{6}+19 \right)$

$= -20\dfrac{5}{6}$

Jawaban : C

8. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh kurva $y=-x^2+4=0$ dan $y = -2x+4$ diputar $360^0$ mengelilingi sumbu $Y$ adalah …

A. $8 \pi$ satuan volume

B. $\dfrac{13}{2} \pi$ satuan volume

C. $4 \pi$ satuan volume

D. $\dfrac{8}{3} \pi$ satuan volume

E. $\dfrac{5}{4} \pi$ satuan volume

Pembahasan.

Batas-batas :

$x_1=x_2$

$\sqrt{4-y} = -\dfrac{1}{2}y+2$

$4-y = \dfrac{1}{4}y^2-2y+4$

$16-4y = y^2-8y+16$

$y^2-4y = 0$

$y(y-4) = 0$

Jadi, batas-batasnya adalah $y_1=0$ dan $y_2=4$ .

Volume = $\pi \int_{0}^4 x_1^2-x_2^2 ~dx$

= $\pi \int_{0}^4 (4-y)-\left(-\dfrac{1}{2}y+2 \right)^2 ~dx$

= $\pi \int_{0}^4 (4-y)-\left( \dfrac{1}{4}y^2-2y+4 \right) ~dx$

= $\pi \int_{0}^4 -\dfrac{1}{4}y^2+y ~dx$

= $\pi -\dfrac{1}{12}y^3+\dfrac{1}{2}y^2 \mid_{0}^4$

= $\pi \left(-\dfrac{1}{12}4^3+\dfrac{1}{2}4^2 \right)- \left(-\dfrac{1}{12}0^3+\dfrac{1}{2}0^2 \right)$

= $\pi -\dfrac{64}{12}+8$

= $\pi -\dfrac{16}{3}+\dfrac{24}{3}$

= $\dfrac{8}{3} \pi$

Jawaban : D

9. Dalam kantong I terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih, dalam kantong II terdapat kelereng 4 kelereng merah dan 6 kelereng hitam. Dari setiap kantong diambil satu kelereng secara acak. Peluang terambilnya kelereng putih dari kantong I dan kelereng hitam dari kantong II adalah …

A. $\dfrac{39}{40}$

B. $\dfrac{9}{13}$

C. $\dfrac{1}{2}$

D. $\dfrac{9}{20}$

E. $\dfrac{9}{40}$

Pembahasan

Peluang kelereng putih dari kantong I = $\dfrac{3}{8}$

Peluang kelereng hitam dari kantong II = $\dfrac{6}{10}$

Peluang terambilnya kelereng putih dari kantong I dan kelereng hitam dari kantong II

= $\dfrac{3}{8} \times \dfrac{6}{10}$

= $\dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{5}$

= $\dfrac{9}{40}$

Jawaban : E

10.Perhatikan tabel berikut!

Berat (kg)

$f$

31-36

37-42

43-48

49-54

55-60

61-66

67-72

Modus data pada tabel tersebut adalah …

A. 49,06 kg

B. 50,20 kg

C. 50,70 kg

D. 51,33 kg

E. 51,83 kg

Pembahasan.

Quartil : $Mo = b + \left( \dfrac{b_1}{b_1+b_2} \right)p$

$Mo$ : modus

$b$ : batas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak

$p$ : panjang kelas interval

$b_1$ : frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sebelumnya

$b_2$ : frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sesudahnya

Letak $Mo$ pada frekuensi = 14, yaitu pada kelas interval 49-54.

$Mo = b + \left( \dfrac{b_1}{b_1+b_2} \right)p$

$= 48,5 + \left( \dfrac{(14-9)}{(14-9)+(14-10)} \right)6$

$= 48,5 + \dfrac{5}{9} 6$

$= 48,5 + \dfrac{10}{3}$

$= 48,5 + 3,33 = 51,83$

Jawaban : E

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	olis mukhlisoh pada Metode Bagi-Dua (Bisection…
	Nurul pada Pembuktian Integral sec x dx =…
	Silas pada Garis Singgung Persekutuan Dal…
	Wga pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Redi pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Nathan pada Jasa Jawab Soal
	Ravael pada Jasa Jawab Soal
	Cahwa pada Operator Matematika di Ex…
	Zeni Perwitasari pada Soal dan Pembahasan Matematika…
	Ixan pada Pembahasan Matematika Dasar SI…

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan