Pembahasan Matematika UN SMA 2007 (3)


1.  Nilai dari \cos 40^0 + \cos 80^0 + \cos 160^0 = \ldots

A. -\dfrac{1}{2} \sqrt{2}

B. -\dfrac{1}{2}

C. 0

D. \dfrac{1}{2}

E. \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

Pembahasan

\cos 40^0 + \cos 80^0 + \cos 160^0 = (2 \cos \dfrac{1}{2} (40^0+80^0) \cos \dfrac{1}{2} (80^0-40^0)) + \cos 160^0

= (2 \cos 60^0 \cos 20^0) + \cos 160^0

= (2 \dfrac{1}{2} \cos 20^0) + \cos 160^0

= \cos 20^0 + \cos 160^0

= 2 \cos \dfrac{1}{2} (20^0+160^0) \cos \dfrac{1}{2} (160^0-20^0)

= 2 \cos 90^0 \cos 70^0

= 0

Jawaban : C

2.  Nilai dari \lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-x-6}{4-\sqrt{5x+1}} = \ldots

A. -8

B. -6

C. 6

D. 8

E. \infty

Pembahasan

\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-x-6}{4-\sqrt{5x+1}} = \lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-x-6}{4-\sqrt{5x+1}} \left( \dfrac{4+\sqrt{5x+1}}{4+\sqrt{5x+1}} \right)

= \lim_{x \to 3} \dfrac{x^2-x-6(4+\sqrt{5x+1})}{16-(5x+1)}

= \lim_{x \to 3} \dfrac{(x-3) (x+2) (4+\sqrt{5x+1})}{15-5x}

= \lim_{x \to 3} \dfrac{(x-3) (x+2) (4+\sqrt{5x+1})}{-5(x-3)}

= \lim_{x \to 3} \dfrac{(x+2) (4+\sqrt{5x+1})}{-5}

= \dfrac{(3+2) (4+\sqrt{5(3)+1})}{-5}

= \dfrac{5(4+\sqrt{16})}{-5}

= -(4+4) = -8

Jawaban : A

3.  Nilai dari \lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x}{x \tan (\frac{1}{2}x)} = \ldots

A. -4

B. -2

C. 1

D. 2

E. 4

Pembahasan

\lim_{x \to 0} \dfrac{1-\cos 2x}{x \tan (\frac{1}{2}x)} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1-(1-\sin^2 x)}{x \tan (\frac{1}{2}x)}

= \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x)}{x \tan (\frac{1}{2}x)}

= \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x)}{x} \dfrac{\sin x)}{\tan (\frac{1}{2}x)}

= 1 \cdot \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2

Jawaban : D

4.  Jika f(x) = \sin^2 (2x+ \dfrac{\pi}{6}), maka f'(0)= \ldots

A. 2\sqrt{3}

B. 2

C. \sqrt{3}

D. \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

E. \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

Pembahasan

f'(x) = 2 \cdot \sin (2x+ \dfrac{\pi}{6}) \cdot \cos (2x+ \dfrac{\pi}{6}) \cdot 2

= 4 \cdot \sin (2x+ \dfrac{\pi}{6}) \cdot \cos (2x+\dfrac{\pi}{6})

f'(0)= 4 \cdot \sin (2(0)+ \dfrac{\pi}{6}) \cdot \cos (2(0)+ \dfrac{\pi}{6})

= 4 \sin \dfrac{\pi}{6} \cos \dfrac{\pi}{6}

= 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

= \sqrt{3}

Jawaban : C

5.  Hasil dari \int_a^3 (3x^2+2x+1)~dx = 25. Nilai \dfrac{1}{2}a = \ldots

A. -4

B. -2

C. -1

D. 1

E. 2

Pembahasan

\int_a^3 (3x^2+2x+1)~dx = 25

x^3+x^2+x \mid_a^3 = 25

(3^3+3^2+3)-(a^3+a^2+a) = 25

27+9+3-a^3-a^2-a = 25

a^3+a^2+a-14 = 0

Dengan menggunakan Metode Horner, diperoleh a=2 merupakan solusi dari persamaan tersebut. Jadi \dfrac{1}{2}a = 1.

Jawaban : D

6.   Perhatikan gambar!

 un_math_2007_27

Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah …

A. (2,5)

B. (2, \dfrac{5}{2})

C. (2, \dfrac{2}{5})

D. (\dfrac{5}{2}, 2)

E. (\dfrac{2}{5}, 2)

Pembahasan

Dari gambar di atas, diperoleh persamaan garis 5x+4y = 20 atau ekuivalen dengan y = -\dfrac{5}{4}x+5

L(x) = xy = x \left( -\dfrac{5}{4}x+5 \right) = -\dfrac{5}{4}x^2+5x

L'(x) = 0

-\dfrac{5}{2}x+5 = 0 \Leftrightarrow x=2

y = -\dfrac{5}{4}(2)+5 = \dfrac{5}{2}

Jawaban : B

7.  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2 da garis x+y=6 adalah …

A. 54 satuan

B. 32 satuan

C. 20\dfrac{5}{6} satuan

D. 18 satuan

E. 10\dfrac{2}{3} satuan

Pembahasan.

un_math_2007_26Menentukan batas-batas.

y_1 = y_2

x^2 = 6-x

x^2+x-6 = 0

(x+3)(x-2) = 0

Jadi, diperoleh batas-batasnya adalah x_1 = -3 dan x_2=2

Luas = \int_{-3}^2 (x^2-(6-x)) ~dx

= \int_{-3}^2 (x^2+x-6) ~dx

= \dfrac{1}{3}x^3+ \dfrac{1}{2}x^2-6x \mid_{-3}^2

= \left(\dfrac{1}{3}2^3+\dfrac{1}{2}2^2-6(2) \right)- \left(\dfrac{1}{3}(-3)^3+\dfrac{1}{2} (-3)^2-6(-3) \right)

= \dfrac{8}{3}+2-12- \left( -9+\dfrac{9}{2}+18 \right)

= \dfrac{8}{3}-\dfrac{9}{2}-19

= \dfrac{16}{6}-\dfrac{27}{6}-19

= -\dfrac{11}{6}-19

= -\left( 1\dfrac{5}{6}+19 \right)

= -20\dfrac{5}{6}

Jawaban : C

8.  Volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh kurva y=-x^2+4=0 dan y = -2x+4 diputar 360^0 mengelilingi sumbu Y adalah …

A. 8 \pi satuan volume

B. \dfrac{13}{2} \pi satuan volume

C. 4 \pi satuan volume

D. \dfrac{8}{3} \pi satuan volume

E. \dfrac{5}{4} \pi satuan volume

Pembahasan.

Batas-batas :

x_1=x_2

\sqrt{4-y} = -\dfrac{1}{2}y+2

4-y = \dfrac{1}{4}y^2-2y+4

16-4y = y^2-8y+16

y^2-4y = 0

y(y-4) = 0

Jadi, batas-batasnya adalah y_1=0 dan y_2=4.

Volume = \pi \int_{0}^4 x_1^2-x_2^2 ~dx

= \pi \int_{0}^4 (4-y)-\left(-\dfrac{1}{2}y+2 \right)^2 ~dx

= \pi \int_{0}^4 (4-y)-\left( \dfrac{1}{4}y^2-2y+4 \right) ~dx

= \pi \int_{0}^4 -\dfrac{1}{4}y^2+y ~dx

= \pi -\dfrac{1}{12}y^3+\dfrac{1}{2}y^2 \mid_{0}^4

= \pi \left(-\dfrac{1}{12}4^3+\dfrac{1}{2}4^2 \right)- \left(-\dfrac{1}{12}0^3+\dfrac{1}{2}0^2 \right)

= \pi -\dfrac{64}{12}+8

= \pi -\dfrac{16}{3}+\dfrac{24}{3}

= \dfrac{8}{3} \pi

Jawaban : D

9.  Dalam kantong I terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih, dalam kantong II terdapat kelereng 4 kelereng merah dan 6 kelereng hitam. Dari setiap kantong diambil satu kelereng secara acak. Peluang terambilnya kelereng putih dari kantong I dan kelereng hitam dari kantong II adalah …

A. \dfrac{39}{40}

B. \dfrac{9}{13}

C. \dfrac{1}{2}

D. \dfrac{9}{20}

E. \dfrac{9}{40}

Pembahasan

Peluang kelereng putih dari kantong I = \dfrac{3}{8}

Peluang kelereng hitam dari kantong II = \dfrac{6}{10}

Peluang terambilnya kelereng putih dari kantong I dan kelereng hitam dari kantong II

= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{6}{10}

= \dfrac{3}{8} \times \dfrac{3}{5}

= \dfrac{9}{40}

Jawaban : E

10.Perhatikan tabel berikut!

Berat (kg)

f

31-36

37-42

43-48

49-54

55-60

61-66

67-72

4

6

9

14

10

5

2

Modus data pada tabel tersebut adalah …

A. 49,06 kg

B. 50,20 kg

C. 50,70 kg

D. 51,33 kg

E. 51,83 kg

Pembahasan.

Quartil : Mo = b + \left( \dfrac{b_1}{b_1+b_2} \right)p

Mo : modus

b : batas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak

p : panjang kelas interval

b_1 : frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sebelumnya

b_2 : frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sesudahnya

Letak Mo pada frekuensi = 14, yaitu pada kelas interval 49-54.

Mo = b + \left( \dfrac{b_1}{b_1+b_2} \right)p

= 48,5 + \left( \dfrac{(14-9)}{(14-9)+(14-10)} \right)6

= 48,5 + \dfrac{5}{9} 6

= 48,5 + \dfrac{10}{3}

= 48,5 + 3,33 = 51,83

Jawaban : E

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s