Pembahasan Matematika UN SMA 2009 (1)


1.  Perhatikan premis-premis berikut ini!

(1) Jika Adi murid rajin maka Adi murid pandai.

(2) Jika Adi murid pandai maka ia lulus ujian.

Kesimpulan yang sah adalah …

A. Jika Adi murid rajin maka maka ia tidak lulus ujian.

B. Adi murid rajin dan ia tidak lulus ujian.

C. Adi bukan murid rajin atau ia lulus ujian.

D. Jika Adi bukan murid rajin maka maka ia tidak lulus ujian.

E. Jika Adi murid rajin maka maka ia lulus ujian.

Pembahasan

Misal : p = Adi murid rajin, q = Adi murid pandai, dan r = Adi lulus ujian.

p \Rightarrow q

q \Rightarrow r

——————

\therefore p \Rightarrow r

Atau ekuivalen dengan \sim p \vee r

Jadi, kesimpulannya adalah Adi bukan murid rajin atau ia lulus ujian.

Jawaban : C

2.  Diketahui ^{64}\log \sqrt{16^{x-4}} = \dfrac{1}{2}. Nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah …

A. -5\dfrac{1}{2}

B. -4\dfrac{3}{4}

C. 4

D. 5\dfrac{1}{2}

E. 9\dfrac{1}{2}

Pemabahasan

^{64}\log \sqrt{16^{x-4}} = \dfrac{1}{2}

\sqrt{16^{x-4}} = 64^{\frac{1}{2}}

((2^4)^{x-4})^{\frac{1}{2}} = (2^6)^{\frac{1}{2}}

(2^4)^{\frac{1}{2}(x-4)} = 2^3

(2^2)^{x-4} = 2^3

\log (2^2)^{x-4} = \log 2^3

(x-4) \log (2^2) = \log 2^3

x-4 =~ ^{2^2}\log 2^3

x-4 = \dfrac{3}{2}~ ^{2}\log 2

x = \dfrac{3}{2}+4 = 5 \dfrac{1}{2}

Jawaban : D

3.  Jika m>0 dan grafik f(x)=x^2-mx+5 menyinggung garis y=2x+1, maka nilai m=\ldots

A. -6

B. -2

C. 6

D. 2

E. 8

Pemabahasan

y = f(x)

2x+1 = x^2-mx+5

x^2-(m+2)x+4 = 0

Karena garis y menyinggung kurva f(x), maka D=0. Sehingga diperoleh

a=1, b=-(m+2), c= 4

b^2-4ac = 0

(m+2)^2-4(1)(4) = 0

m^2+4m+4-16 = 0

m^2+4m-12 = 0

(m+6)(m-2) = 0

m=-6 atau m=2

Karena m>0, maka diperoleh m=2.

Jawaban : D

4.  Akar-akar persamaan x^2+(2a-3)x+18 = 0 adalah p dan q. Jika p=2q, untuk p>0, q>0. Nilai a-1=\ldots

A. -5

B. -4

C. 2

D. 3

E. 4

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat, didapat a=1, b=2a-3 dan c=18.

p+q = \dfrac{-b}{a} = 3-2a … (i)

pq = \dfrac{c}{a} = 18 … (ii)

Dari soal diketahui p = 2q, sehingga dari pers (ii) diperoleh 2qq = 18 \Leftrightarrow q^2 = 9 \Leftrightarrow q=\pm 3. Karena q>0, maka yang memenuhi adalah q=3. Selanjutnya dari pers (ii) diperoleh p(3) = 18 \Leftrightarrow p=6.

Perhatikan.

p+q = 3-2a

9 = 3-2a

a=-3

Jadi, a-1= -3-1 = -4

Jawaban : B

5.  Persamaan kuadrat 3x^2+6x-1=0 mempunyai akar \alpha dan \beta. Persamaan kuadrat baru yang akarnya (1-2\alpha) dan (1-2\beta) adalah …

A. 3x^2-18x-37=0

B. 3x^2-18x+13=0

C. 3x^2-18x+11=0

D. x^2-6x-37=0

E. x^2-6x+11=0

Pembahasan

Persamaan Kuadrat : 3x^2+6x-1=0

\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a} = -2 dan \alpha \beta = \dfrac{c}{a} = -\dfrac{1}{3}

Bentuk Persamaan Kuadrat Baru : x^2-((1-2\alpha)+(1-2\beta))x + ((1-2\alpha)(1-2\beta)) = 0

x^2-(2-2(\alpha+\beta))x + (1-2(\alpha + \beta) + 4\alpha \beta) = 0

x^2- (2-2(-2))x + (1-2(-2)+4(-1/3)) = 0

x^2 -6x + \dfrac{11}{3} = 0

3x^2 -18x + 11 = 0

Jawaban : C

6.  Luas segi dua belas beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 10 cm adalah ….

A. 300~cm^2

B. 300\sqrt{2}~cm^2

C. 600~cm^2

D. 600\sqrt{3}~cm^2

E. 1200 ~cm^2

Pembahasan

un_math_2009_6Sudut pusat = \dfrac{360}{12} = 30^0.

Selanjutnya, diperoleh 12 segitiga yang berpusat di O dengan sudut pusat 30^0. Selanjutnya karena diketahui sudut pusat dan dua sisi yang mengapit sudut, bisa menggunakan Luas Segitiga Tanpa Diketahui Tinggi.

Luas segitiga = \dfrac{1}{2} \cdot AO \cdot BO \cdot \sin 30^0

= \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin 30^0

= \dfrac{1}{2} r^2 \cdot \dfrac{1}{2}

= \dfrac{1}{4} r^2

Luas segi dua belas = 12 x Luas Segitiga

= 12 \times \dfrac{1}{4} r^2

= 3r^3

= 3(10)^2 = 300

Jawaban : A

7.  Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Jika BC = 5~cm, AB = 5~cm, AC = 5\sqrt{3}~cm dan AD = 8~cm. Volume prisma ini adalah …un_math_2009_7

A. 12~cm^3

B. 12\sqrt{3}~cm^3

C. 15\sqrt{3}~cm^3

D. 24\sqrt{3}~cm^3

E. 50\sqrt{3}~cm^3

Pembahasan

Dalam menyelesaikan soal ini, kita memandang persegi panjang sebagai alasnya, sehingga diperoleh rumus volumenya adalah

Volume = \dfrac{1}{2} x luas persegi panjang x tinggi prisma

Tinggi prisma yang dimaksud di sini adalah tinggi segitiga yang AC sebagai alasnya.

tinggi = \sqrt{AB^2-\left( \dfrac{1}{2} AC \right)^2}

= \sqrt{5^2-\left( \dfrac{1}{2} 5\sqrt{3} \right)^2}

= \sqrt{ \dfrac{100}{4}-\dfrac{75}{4}}

= \sqrt{ \dfrac{25}{4} }

= \dfrac{5}{2}

Volume = \dfrac{1}{2} \cdot 5\sqrt{3} \cdot 8 \cdot \dfrac{5}{2}

= 50 \sqrt{3}

Jawaban : E

8.  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Titik P terletak pada perpanjangan BC sehingga BC = CP. Jarak titik P ke bidang BDHF adalah …

A. a\sqrt{2}~cm

B. \dfrac{3}{2} a\sqrt{2}~cm

C. 2a\sqrt{2}~cm

D. a\sqrt{2}~cm

E. 2a~cm

Pembahasan

un_math_2009_8Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan bantuan segitiga PBD. Dalam hal ini, kita akan mencari tinggi segitiga yaitu PO jika kita memandang BD sebagai alasnya. Dalam hal ini, jarak antara titik P dan bidang BDHF adalah garis PO. Perhatikan, dengan memanfaatkan segitiga PBD,  diperoleh

\dfrac{1}{2} \cdot BP \cdot DC = \dfrac{1}{2} \cdot BD \cdot PO

\dfrac{1}{2} \cdot 2a \cdot a = \dfrac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot PO

2a = \sqrt{2} \cdot PO

PO = \dfrac{2a}{\sqrt{2}} = a\sqrt{2}

Jawaban : D

9.  Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 8 cm, panjang BC = 8 cm, dan panjang AE = 16 cm. Jika titik P berada di tengah-tengah EH dan titik Q berada pada rusuk AE sehingga EQ = \dfrac{1}{4} EA. Jika \alpha adalah sudut antara garis PQ dan bidang BDHF, maka besar sudut \alpha adalah …

A. 30^0

B. 45^0

C. 60^0

D. 75^0

E. 90^0

Pembahasan

un_math_2009_9Hal pertama yang harus dilakukan adalah membentuk segitiga yang melalui garis PQ dan bidang BDHF yang akan siku-siku pada bidang tersebut. Menurut informasi pada soal, diperoleh EQ = 4 cm dan EP = 4 cm. Sehingga didapat segitiga EPQ merupakan segitiga sama kaki. Dengan memperluas bidang segitiga ini yaitu dengan cara membuat garis yang sejajar dengan PQ, diperoleh garis HR sedemikian hingga segitiga EHR adalah segitiga sama kaki, karena ER = EH = 8 cm. Dengan kata lain, sudut yang dibentuk oleh garis PQ dengan bidang BDHF sama dengan sudut yang dibentuk oleh garis HR dengan bidang BDHF.

Selanjutnya dengan membuat garis bantuan, yaitu HS, dengan panjang HS = panjang HR dan titik S berada ditengah-tengah garis CG. Sehingga terbentuk segitiga sama kaki HRS yang memotong bidang BDHF (bidang BDHF memotong menjadi dua bagian yang sama). Oleh karena itu, diperoleh titik T yang
berada pada bidang BDHF dan merupakan titik siku-siku segitiga HRT. Jadi sudut yang dibentuk oleh garis PQ dan bidang BDHF, sama dengan sudut RHT. Perhatikan

HR = \sqrt{EH^2+ER^2}

= \sqrt{8^2+8^2} = 8\sqrt{2}

RS = panjang diagonal AC = 8\sqrt{2}

RT = \dfrac{1}{2} RS = 4\sqrt{2}

\sin \angle RHT = \dfrac{RT}{HR} = \dfrac{4\sqrt{2}}{8\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}

\angle RHT = 30^0

Jawaban : A

10.Himpunan penyelesaian \sin (2x + 110)^0+ \sin (2x-10)^0 = \dfrac{1}{2} untuk 0^0<x<360^0 adalah …

A. \{ 10^0, 50^0, 170^0, 230^0 \}

B. \{ 50^0, 70^0, 230^0 \}

C. \{ 50^0, 170^0, 230^0, 350^0 \}

D. \{ 20^0, 80^0, 100^0 \}

E. \{ 0^0, 50^0, 170^0, 230^0, 350^0 \}

Pembahasan

INGAT : \sin A + \sin B = 2 \sin \dfrac{1}{2}(A+B) \cos \dfrac{1}{2}(A-B)

\sin (2x + 110)^0+ \sin (2x-10)^0 = \dfrac{1}{2}

2 \sin \dfrac{1}{2} (4x+100)^0 \cos \dfrac{1}{2} (120^0) = \dfrac{1}{2}

2 \sin (2x+50)^0 \cos 60^0 = \dfrac{1}{2}

2 \sin (2x+50)^0 \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}

\sin (2x+50)^0 = \dfrac{1}{2}

(2x+50)^0 = 30^0 \pm n \cdot 360^0 atau ekuivalen (2x+50)^0 = (180^0-30^0) \pm n \cdot 360^0

untuk n = 0

(2x+50)^0 = 30^0

2x = -20^0

x = -10^0 \Leftrightarrow x = 350^0

untuk n = 1

(2x+50)^0 = 390^0

2x = 340^0

x = 170^0

untuk n = 0

(2x+50)^0 = 150^0

2x = 100^0

x = 50^0

untuk n = 1

(2x+50)^0 = 510^0

2x = 460^0

x = 230^0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \{ 50^0, 170^0, 230^0, 350^0 \}.

Jawaban : C

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s