Pembahasan Matematika UN SMA 2009 (2)


1.  Lingkaran L \equiv (x-3)^2+(y-1)^2=1 memotong garis y=1. Persamaan garis singgung di titik potong lingkaran dan garis y=1 adalah …

A. x=2 atau x=4

B. x=3 atau x=1

C. x=1 atau x=5

D. x=2 atau x=3

E. x=3 atau x=4

Pembahasan

Persamaan lingkaran (x-3)^2+(y-1)^2=9 memiliki pusat (3,1) dan r^2=1

memotong garis y = 1

Perhatikan.
(x-3)^2+(1-1)^2=1

(x-3)^2+0^2=1

x-3=1 atau x-3 = -1

x = 4 atau x = 2

Jadi titik potong lingkarannya adalah $latex (4,1) dan (-2,1)

Persamaan Garis Singgung : (x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2

Garis singgung pada titik (4,1)

(x-3)(4-3)+(y-1)(1-1)=1

(x-3)(1)+(y-1)(0)=1

x-3+0=1

x=4

Garis singgung di titik (-2,1)

(x-3)(2-3)+(y-1)(1-1)=1

(x-3)(-1)+(y-1)(0)=1

-x+3+0=1

-x=-2

x=2

Jawaban : A

2.  Diketahui \sin x = \dfrac{3}{5} dan \cos y = \dfrac{12}{13}, x sudut tumpul dan y sudut lancip. Nilai \cos (x-y) = \ldots

A. -\dfrac{84}{65}

B. -\dfrac{33}{65}

C. -\dfrac{30}{65}

D. -\dfrac{12}{65}

E. -\dfrac{83}{65}

Pembahasan

Dengan menggunakan Pythagoras, untuk sudut x dan y, diperoleh panjang sisi siku-siku yang lainnya berturut-turut adalah 4 dan 5. Karena x sudut tumpul, diperoleh \cos x = -\dfrac{4}{5}. Selanjutnya didapat \sin y = \dfrac{5}{13}

\cos (x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y

= -\dfrac{4}{5} \dfrac{12}{13} + \dfrac{3}{5} \dfrac{5}{13}

= -\dfrac{48}{65} + \dfrac{15}{65}

= -\dfrac{33}{65}

Jawaban : B

3.  Diketahui segitiga ABC dengan sudut-sudut \alpha, \beta, dan \lambda. Jika \sin \alpha = \dfrac{12}{13} dan \cos \beta = \dfrac{3}{5}, sudut \lambda = (180^-(\alpha+\beta)). Nilai \sin \lambda = \ldots

A. -\dfrac{56}{65}

B. -\dfrac{16}{65}

C. \dfrac{16}{65}

D. \dfrac{24}{65}

E. \dfrac{56}{65}

Pembahasan

\sin \alpha = \dfrac{12}{13} \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{5}{13}

\cos \beta = \dfrac{3}{5} \Rightarrow \sin \beta = \dfrac{4}{5}

\sin \lambda = \sin (180^-(\alpha+\beta))

= \sin (\alpha+\beta)

= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

= \dfrac{12}{13} \dfrac{3}{5} + \dfrac{5}{13} \dfrac{4}{5}

= \dfrac{36}{65} + \dfrac{20}{65}

= \dfrac{56}{65}

Jawaban : E

4.  Nilai rata-rata dari tabel adalah …

Berat Badan

f

40-44

45-49

50-54

55-59

60-64

65-69

70-74

75-79

1

2

3

6

7

5

7

9

A. 61

B. 62

C. 63

D. 64

E. 65

Pembahasan

\bar{x} = \dfrac{\sum_{i=1}^k f_i x_i}{\sum_{i=1}^k f_i}

Berat Badan

x_i

f_i

x_i f_i

40-44

45-49

50-54

55-59

60-64

65-69

70-74

75-79

42

47

52

57

62

67

72

77

1

2

3

6

7

5

7

9

42

94

156

342

434

335

504

693

 

 

40

2600

\bar{x} = \dfrac{2600}{40} = 65

Jawaban : E

5.  Suatu kata sandi yang terdiri dari 3 huruf berbeda dan 3 angka berbeda dengan susunan bebas, akan disusun dari 5 huruf hidup dan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Banyak kata sandi yang dapat disusun adalah …

A. _5C_3 \times _{10}C_3

B. _5C_3 \times _{10}C_3 \times 3! \times 3!

C. _5C_3 \times _{10}C_3 \times 6!

D. _5C_3 \times _{10}C_3 \times 3!

E. _5C_3 \times _{10}C_3 \times 6

Pembahasan

Huruf hidup : a, i, u, e, o

Jadi, banyak kata sandi yang dapat disusun adalah (5 x 4 x 3) x (10 x 9 x 8)

= \dfrac{5!}{2!} \dfrac{10!}{7!}

= \dfrac{5!}{2!} \dfrac{3!}{3!} \dfrac{10!}{7!} \dfrac{3!}{3!}

= \dfrac{5!}{2! 3!} \dfrac{10!}{3! 7!} \times 3! \times 3!

= _5C_3 \times _{10}C_3 \times 3! \times 3!

Jawaban : B

6.  Dalam sebuah kelas yang jumlah muridnya 40 anak, 22 anak mengikuti IMO, 17 anak  mengikuti IBO dan 20 anak mengikuti ICO. Ada juga yang mengikuti sekaligus dua kegiatan, yaitu 12 anak mengikuti IMO dan IBO, 9 anak mengikuti IMO dan ICO, 8 anak mengikuti IBO dan ICO, sedangkan 5 anak tercatat mengikuti IMO, IBO maupun ICO. Jika dipilih salah satu anak dari kelas tersebut, peluang terpilihnya seorang anak yang tidak mengikuti IMO, IBO maupun ICO adalah …

A. \dfrac{7}{40}

B. \dfrac{6}{40}

C. \dfrac{5}{40}

D. \dfrac{4}{40}

E. \dfrac{3}{40}

Pembahasan

Yang mengikuti IMO, IBO dan ICO = 5 anak

Yang hanya mengikuti IMO dan IBO saja = 12 – 5 = 7 anak

Yang hanya mengikuti IMO dan ICO saja = 9 – 5 = 4 anak

Yang hanya mengikuti IBO dan ICO saja = 8 – 5 = 3 anak

Yang hanya mengikuti IMO saja = 22 – (7 + 4 + 5) = 6 anak

Yang hanya mengikuti IBO saja = 17 – (7 + 3 + 5) = 2 anak

Yang hanya mengikuti ICO saja = 20 – (4 + 3 + 5) = 8 anak

Selanjutnya,

40 = yang tidak mengikuti ketiga-tiganya + 5 + 7 + 4 + 3 + 6 + 2 + 8

yang tidak mengikuti ketiga-tiganya = 40 – 35 = 5

Jadi, peluangnya adalah \dfrac{5}{40}

Jawaban : C

7.  Diketahui fungsi f(x)=x^2+4x dan g(x)=-2+\sqrt{x+4}, dengan x \geq -4 dan x \in R. Fungsi komposisi (g \circ f)(x) adalah …

A. 2x-4

B. x-2

C. x+2

D. x

E. 2x

Pembahasan

(g \circ f)(x) = g(f(x))

= f(x^2+4x)

= -2 + \sqrt{(x^2+4x)+4}

= -2 + \sqrt{x^2+4x+4}

= -2 + \sqrt{(x+2)^2}

= -2 + x+2 = x

Jawaban : D

8.  Suatu suku banyak f(x) dibagi x-1 sisa 2, dibagi x-2 sisa 3. Suatu suku banyak g(x) dibagi x-1 sisa 5, dibagi x-2 sisa 4. Jika h(x) = f(x) \cdot g(x), maka sisa pembagian h(x) oleh x^2-3x+2 adalah …

A. -2x+12

B. -2x+8

C. -x+4

D. 2x+8

E. x+4

Pembahasan

f(x) dibagi x-1 sisa 2 dan g(x) dibagi x-1 sisa 5. Berakibat h(x)=f(x) \cdot g(x) dibagi x-1 sisa 2.5 = 10.

f(x) dibagi x-2 sisa 3 dan g(x) dibagi x-2 sisa 4. Berakibat h(x)=f(x) \cdot g(x) dibagi x-2 sisa 3.4 = 12.

Misalkan sisa pembagian h(x) oleh x^2-3x+2 adalah mx+n. Karena x^2-3x+2 = (x-2)(x-1). Berakibat

Sisa pembagian h(x) oleh x-1 adalah m+n = 10 … (i)

Sisa pembagian h(x) oleh x-2 adalah 2m+n = 12 … (ii)

Dengan mensubtitusi pers (i) ke pers (ii), diperoleh 2m+(10-m) = 12 \Leftrightarrow m=2. Selanjutnya diperoleh n=8. Jadi, sisa pembagian h(x) oleh x^2-3x+2 adalah 2x+8

Jawaban : D

9.  Nilai dari \lim_{x \to 9}\dfrac{\sqrt{x}-3}{x-9} = ...

A. \dfrac{1}{18}

B. \dfrac{1}{9}

C. \dfrac{1}{6}

D. 6

E. 9

Pembahasan

\lim_{x \to 9}\dfrac{\sqrt{x}-3}{x-9} = \lim_{x \to 9}\dfrac{\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}

= \lim_{x \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{x}+3}

= \dfrac{1}{\sqrt{9}+3}

= \dfrac{1}{6}

Jawaban : C

10.Nilai dari \lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+5x+5} -\sqrt{9x^2-7x-4}) = \ldots

A. 0

B. \dfrac{1}{3}

C. 1

D. 2

E. 3

Pembahasan

\lim_{x \to \infty} \sqrt{ax^2+bx+c}-\sqrt{ax^2+px+q} = \dfrac{b-p}{2\sqrt{a}}

\lim_{x \to \infty} (\sqrt{9x^2+5x+5} -\sqrt{9x^2-7x-4}) = \dfrac{5-(-7))}{2\sqrt{9}}

= \dfrac{12}{6} = 2

Jawaban : D

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s