Pembahasan Matematika UN SMA 2009 (3)


1.  Nilai \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \dfrac{\tan (3x-\pi) \cos 2x}{\sin (3x-\pi)} = \ldots

A. -\dfrac{1}{2}

B. \dfrac{1}{2}

C. \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

D. \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

E. \dfrac{3}{2}

Pembahasan

\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \dfrac{\tan (3x-\pi) \cos 2x}{\sin (3x-\pi)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \dfrac{\dfrac{\sin (3x-\pi)}{\cos (3x-\pi)} \cos 2x}{\sin (3x-\pi)}

= \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \cos (3x-\pi) \cos 2x

= \cos \left( 3 \left (\dfrac{\pi}{3} \right)-\pi \right) \cos 2 \left(\dfrac{\pi}{3} \right)

= \cos 0 \cos \dfrac{2\pi}{3}

= \cos 0 \cos 120

= -\dfrac{1}{2}

Jawaban : A

2.  Garis singgung di titik (2,p) pada kurva y = 2\sqrt{x+2} memotong sumbu X di titik …

A. (-10,0)

B. (-6,0)

C. (-2,0)

D. (2,0)

E. (6,0)

Pembahasan

Pertama akan dicari gradien garis singgung, yaitu m =y'.

y = 2\sqrt{x+2} = 2(x+2)^{\frac{1}{2}}

y' = 2\dfrac{1}{2}(x+2)^{-\frac{1}{2}}

gradien m = y'(2) = \dfrac{1}{2}

Selanjutnya dicari titik singgungnya, yaitu (2,p).

p = y(2) = 2\sqrt{2+2} = 4

Jadi, titik singgungnya adalah (2,4)

Kemudian, diperoleh persamaan garis singgungnya adalah

(y-y_1) = m(x-x_1)

(y-4) = \dfrac{1}{2}(x-2)

2y-8 = x-2

2y-x-6 = 0

Karena garis singgung memotong sumbu X, artinya y=0, diperoleh

2(0)-x-6 = 0

x=-6

Jadi, persamaan garis singgung memotong sumbu X pada titik (-6,0)

Jawaban : B

3.  Jumlah dua bilangan positif x dan y adalah 18. Nilai maksimum xy adalah …

A. 100

B. 81

C. 80

D. 70

E. 72

Pembahasan

x+y = 18 \Rightarrow y=18-x

f(x) = xy = x(x-18) = x^2-18

xy akan mencapai maksimum jika turunan fungsinya sama dengan 0, yaitu

f'(x) = 2x-18 = 0

Diperoleh x=9

Selanjutnya, didapat y=18-9=9.

Jadi, xy = 9 \cdot 9 = 81

Jawaban : B

4.  Enam tahun yang lalu, perbandingan umur A dan B adalah 3 : 2. Jumlah umur keduanya tiga tahun yang akan datang adalah 78 tahum. Umur A dua tahun yang lalu adalah …

A. 30 tahun

B. 32 tahun

C. 36 tahun

D. 40 tahun

E. 42 tahun

Pembahasan

\dfrac{A-6}{B-6} = \dfrac{3}{2}

2(A-6) = 3(B-6)

2A-12 = 3B-18

2A-3B = -6 … (i)

(A+3)+(B+3) = 78

A+B = 72

B=72-A … (ii)

Substitusi pers (ii) ke pers (i), diperoleh

2A-3(72-A) = -6

2A-216+3A = -6

5A = 210

A = 42

Jadi, umur A dua tahun yang lalu adalah 42 – 2 = 40 tahun

Jawaban : D

5.  Luas daerah parkir 360~m^2. Luas rata-rata untuk sebuah mobil 6~m^2 dan luas rata-rata bus 24~m^2. Daerah parkir tersebut dapat memuat paling banyak 30 kendaraan roda 4 (mobil dan bus). Jika tarif  parkir mobil Rp2.000,00  dan tarif parkir bus 5.000,00, maka pendapatan terbesar yang dapat diperoleh adalah …

A. Rp40.000

B. Rp50.000

C. Rp60.000

D. Rp75.000

E. Rp90.000

Pembahasan.

Model matematika

Misal : mobil = x dan bus = y

6x+24y \leq 360 … (i)

x+y \leq 30 … (ii)

Fungsi tujuan : f(x,y) = 2.000x + 5.000y.

Substitusi persamaan (ii) ke pers (i), diperoleh

6(30-y) + 24y = 360

\Leftrightarrow 18y = 180

\Leftrightarrow y = 10

Sehingga didapat x = 30-y = 20

Diperoleh titik (0,0), (0,15), (20,10) dan (30,0). Substitusi ke fungsi tujuan,

f(0,0) = 2.000(0) + 5.000(0) = 0

f(0,15) = 2.000(0) + 5.000(15) = 75.000

f(30,0) = 2.000(30) + 5.000(0) = 60.000

f(20,10) = 2.000(20) + 5.000(10) = 90.000

Jawaban : E

6.  Diketahui matriks \begin{pmatrix} 2&-1\\ 3&4\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} x-1&1\\ 3&y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ -1&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10&25\\ 5&28\end{pmatrix}. Nilai x+y adalah …

A. 2

B. 6

C. 8

D. 10

E. 12

Pembahasan

\begin{pmatrix} 2&-1\\ 3&4 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} x-1&1\\ 3&y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ -1&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10&25\\ 5&28 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 2&-1\\ 3&4 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} x-2&2x+1\\ 3-y&6+3y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10&25\\ 5&28 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 2&-1\\ 3&4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2x-4&4x+2\\ 6-2y&12+6y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10&25\\ 5&28 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 2x-2&4x+1\\ 9-2y&16+6y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10&25\\ 5&28 \end{pmatrix}

Diperoleh,

2x-2 = 10 \Leftrightarrow x=6

4x+1 = 25 \Leftrightarrow x=6

9-2y = 5 \Leftrightarrow y=2

16+6y = 28 \Leftrightarrow y=2

Jadi, x+y = 6+2 = 8

Jawaban : C

7.  Balok OABC.DEFG dengan |\vec{OA}|=4, |\vec{AB}|=6, |\vec{OG}|=10. Cosinus sudut antara \vec{OA} dengan \vec{AC} adalah …un_math_2009_27

A. -\dfrac{1}{3} \sqrt{13}

B. -\dfrac{1}{2} \sqrt{13}

C. -\dfrac{1}{13} \sqrt{13}

D. -\dfrac{2}{\sqrt{13}}

E. \dfrac{2}{\sqrt{13}}

Pembahasan

\vec{OA} =(4,0,0), \vec{OC} =(0,6,0)

\vec{AC} = \vec{AO}+\vec{OC}

= -\vec{OA}+\vec{OC}

= (-4,0,0)+(0,6,0)

= (-4,6,0)

\cos \angle OAC = \dfrac{\vec{OA}\vec{AC}}{|\vec{OA}||\vec{AC}|}

= \dfrac{(4,0,0) (-4,6,0)}{\sqrt{4^0+0^2+0^2} \sqrt{(-4)^2+6^2+0^2}}

= \dfrac{-16}{\sqrt{16} \sqrt{52}}

= \dfrac{-16}{\sqrt{16} \sqrt{4.13}}

= \dfrac{-16}{4.2\sqrt{13}}

= \dfrac{-2}{\sqrt{13}}

Jawaban : D

8.  Diketahui titik A(3,2,-1), B(2,1,0) dan C(-1,2,3). Jika \vec{AB} wakil vektor \vec{u} dan \vec{AC} wakil vektor \vec{v} maka proyeksi ortogonal vektor \vec{u} dan \vec{v} adalah …

A. \dfrac{1}{4}(i+j+k)

B. (-i+k)

C. 4(i+k)

D. 4(i+j+k)

E. 4(i+j+k)

Pembahasan

\vec{u} = B-A = (2,1,0)-(3,2,-1) = (-1,-1,1)

\vec{v} = C-A = (-1,2,3)-(3,2,-1) = (-4,0,4)

Proy_u v = \dfrac{u \cdot v}{|v|^2} v

= \dfrac{(-1,-1,1) (-4,0,4)}{(\sqrt{(-4)^2+0^2+2^2})^2} (-4,0,2)

= \dfrac{4+0+4)}{16+0+16} (-4,0,4)

= \dfrac{8}{32} (-4,0,4)

= \dfrac{1}{4} (-4,0,4)

= (-1,0,1)

Jawaban : B

9.  Bayangan garis 3x+4y=6 oleh transformasi berturut-turut pencerminan terhadap sumbu X, dilanjutkan rotasi dengan pusat O (0,0) sejauh 90^0 adalah …

A. 4x+3y=31

B. 4x+3y=6

C. 4x+3y=-19

D. 3x+4y=18

E. 3x+4y=6

Pembahasan

Pencerminan sumbu X :

\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} x\\ -y \end{pmatrix}

Rotasi :

\begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 90^0 & -\sin 90^0\\ \sin 90^0 & \cos 90^0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 0&-1 \\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ -y \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}

Hasil transformasi :

3x''+4y''=6

3x+4y=6

Jawaban : E

10.Diketahui translasi T_1 = \begin{pmatrix} a\\2 \end{pmatrix} dan T_2 = \begin{pmatrix} 3\\b \end{pmatrix}. Titik A' dan B' berturut-turut adalah bayangan titik A dan B oleh komposisi transformasi T_1 \circ T_2. Jika A(-1,2), A'(1,11) dan B'(12,13), maka koordinat titik B adalah …

A. (9,4)

B. (10,4)

C. (14,4)

D. (10,-4)

E. (14,-4)

Pembahasan

T_1 \circ T_2 = \begin{pmatrix} a\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\\b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+3\\ 2+b \end{pmatrix}

A' = A + \begin{pmatrix} a+3\\ 2+b \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1\\11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a+3\\ 2+b \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1\\11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+2\\ 4+b \end{pmatrix}

Diperoleh,

1 = a+2 \Rightarrow a=-1

11 = 4+b \Rightarrow b=7

Selanjutnya, B' adalah bayangan titik B oleh komposisi transformasi T_1 \circ T_2, artinya

B' = B + \begin{pmatrix} a+3\\ 2+b \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 12\\13 \end{pmatrix} = B + \begin{pmatrix} 2\\ 9 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix}

Jawaban : B

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s