Pembahasan Matematika UN SMA 2009 (3)

1. Nilai $\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \dfrac{\tan (3x-\pi) \cos 2x}{\sin (3x-\pi)} = \ldots$

A. $-\dfrac{1}{2}$

B. $\dfrac{1}{2}$

C. $\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

D. $\dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

E. $\dfrac{3}{2}$

Pembahasan

$\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \dfrac{\tan (3x-\pi) \cos 2x}{\sin (3x-\pi)} = \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \dfrac{\dfrac{\sin (3x-\pi)}{\cos (3x-\pi)} \cos 2x}{\sin (3x-\pi)}$

$= \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \cos (3x-\pi) \cos 2x$

$= \cos \left( 3 \left (\dfrac{\pi}{3} \right)-\pi \right) \cos 2 \left(\dfrac{\pi}{3} \right)$

$= \cos 0 \cos \dfrac{2\pi}{3}$

$= \cos 0 \cos 120$

$= -\dfrac{1}{2}$

Jawaban : A

2. Garis singgung di titik $(2,p)$ pada kurva $y = 2\sqrt{x+2}$ memotong sumbu $X$ di titik …

A. (-10,0)

B. (-6,0)

C. (-2,0)

D. (2,0)

E. (6,0)

Pembahasan

Pertama akan dicari gradien garis singgung, yaitu $m =y'$ .

$y = 2\sqrt{x+2} = 2(x+2)^{\frac{1}{2}}$

$y' = 2\dfrac{1}{2}(x+2)^{-\frac{1}{2}}$

gradien $m = y'(2) = \dfrac{1}{2}$

Selanjutnya dicari titik singgungnya, yaitu $(2,p)$ .

$p = y(2) = 2\sqrt{2+2} = 4$

Jadi, titik singgungnya adalah $(2,4)$

Kemudian, diperoleh persamaan garis singgungnya adalah

$(y-y_1) = m(x-x_1)$

$(y-4) = \dfrac{1}{2}(x-2)$

$2y-8 = x-2$

$2y-x-6 = 0$

Karena garis singgung memotong sumbu $X$ , artinya $y=0$ , diperoleh

$2(0)-x-6 = 0$

$x=-6$

Jadi, persamaan garis singgung memotong sumbu $X$ pada titik $(-6,0)$

Jawaban : B

3. Jumlah dua bilangan positif $x$ dan $y$ adalah 18. Nilai maksimum $xy$ adalah …

A. 100

B. 81

C. 80

D. 70

E. 72

Pembahasan

$x+y = 18 \Rightarrow y=18-x$

$f(x) = xy = x(x-18) = x^2-18$

$xy$ akan mencapai maksimum jika turunan fungsinya sama dengan 0, yaitu

$f'(x) = 2x-18 = 0$

Diperoleh $x=9$

Selanjutnya, didapat $y=18-9=9$ .

Jadi, $xy = 9 \cdot 9 = 81$

Jawaban : B

4. Enam tahun yang lalu, perbandingan umur A dan B adalah 3 : 2. Jumlah umur keduanya tiga tahun yang akan datang adalah 78 tahum. Umur A dua tahun yang lalu adalah …

A. 30 tahun

B. 32 tahun

C. 36 tahun

D. 40 tahun

E. 42 tahun

Pembahasan

$\dfrac{A-6}{B-6} = \dfrac{3}{2}$

$2(A-6) = 3(B-6)$

$2A-12 = 3B-18$

$2A-3B = -6$ … (i)

$(A+3)+(B+3) = 78$

$A+B = 72$

$B=72-A$ … (ii)

Substitusi pers (ii) ke pers (i), diperoleh

$2A-3(72-A) = -6$

$2A-216+3A = -6$

$5A = 210$

$A = 42$

Jadi, umur $A$ dua tahun yang lalu adalah 42 – 2 = 40 tahun

Jawaban : D

5. Luas daerah parkir $360~m^2$ . Luas rata-rata untuk sebuah mobil $6~m^2$ dan luas rata-rata bus $24~m^2$ . Daerah parkir tersebut dapat memuat paling banyak 30 kendaraan roda 4 (mobil dan bus). Jika tarif parkir mobil Rp2.000,00 dan tarif parkir bus 5.000,00, maka pendapatan terbesar yang dapat diperoleh adalah …

A. Rp40.000

B. Rp50.000

C. Rp60.000

D. Rp75.000

E. Rp90.000

Pembahasan.

Model matematika

Misal : mobil = $x$ dan bus = $y$

$6x+24y \leq 360$ … (i)

$x+y \leq 30$ … (ii)

Fungsi tujuan : $f(x,y) = 2.000x + 5.000y$ .

Substitusi persamaan (ii) ke pers (i), diperoleh

$6(30-y) + 24y = 360$

$\Leftrightarrow 18y = 180$

$\Leftrightarrow y = 10$

Sehingga didapat $x = 30-y = 20$

Diperoleh titik (0,0), (0,15), (20,10) dan (30,0). Substitusi ke fungsi tujuan,

$f(0,0) = 2.000(0) + 5.000(0) = 0$

$f(0,15) = 2.000(0) + 5.000(15) = 75.000$

$f(30,0) = 2.000(30) + 5.000(0) = 60.000$

$f(20,10) = 2.000(20) + 5.000(10) = 90.000$

Jawaban : E

6. Diketahui matriks $\begin{pmatrix} 2&-1\\ 3&4\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} x-1&1\\ 3&y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ -1&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10&25\\ 5&28\end{pmatrix}$ . Nilai $x+y$ adalah …

A. 2

B. 6

C. 8

D. 10

E. 12

Pembahasan

$\begin{pmatrix} 2&-1\\ 3&4 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} x-1&1\\ 3&y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2\\ -1&3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10&25\\ 5&28 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2&-1\\ 3&4 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} x-2&2x+1\\ 3-y&6+3y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10&25\\ 5&28 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2&-1\\ 3&4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2x-4&4x+2\\ 6-2y&12+6y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10&25\\ 5&28 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2x-2&4x+1\\ 9-2y&16+6y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10&25\\ 5&28 \end{pmatrix}$

Diperoleh,

$2x-2 = 10 \Leftrightarrow x=6$

$4x+1 = 25 \Leftrightarrow x=6$

$9-2y = 5 \Leftrightarrow y=2$

$16+6y = 28 \Leftrightarrow y=2$

Jadi, $x+y = 6+2 = 8$

Jawaban : C

7. Balok OABC.DEFG dengan $|\vec{OA}|=4$ , $|\vec{AB}|=6$ , $|\vec{OG}|=10$ . Cosinus sudut antara $\vec{OA}$ dengan $\vec{AC}$ adalah …

A. $-\dfrac{1}{3} \sqrt{13}$

B. $-\dfrac{1}{2} \sqrt{13}$

C. $-\dfrac{1}{13} \sqrt{13}$

D. $-\dfrac{2}{\sqrt{13}}$

E. $\dfrac{2}{\sqrt{13}}$

Pembahasan

$\vec{OA} =(4,0,0), \vec{OC} =(0,6,0)$

$\vec{AC} = \vec{AO}+\vec{OC}$

$= -\vec{OA}+\vec{OC}$

$= (-4,0,0)+(0,6,0)$

$= (-4,6,0)$

$\cos \angle OAC = \dfrac{\vec{OA}\vec{AC}}{|\vec{OA}||\vec{AC}|}$

$= \dfrac{(4,0,0) (-4,6,0)}{\sqrt{4^0+0^2+0^2} \sqrt{(-4)^2+6^2+0^2}}$

$= \dfrac{-16}{\sqrt{16} \sqrt{52}}$

$= \dfrac{-16}{\sqrt{16} \sqrt{4.13}}$

$= \dfrac{-16}{4.2\sqrt{13}}$

$= \dfrac{-2}{\sqrt{13}}$

Jawaban : D

8. Diketahui titik $A(3,2,-1)$ , $B(2,1,0)$ dan $C(-1,2,3)$ . Jika $\vec{AB}$ wakil vektor $\vec{u}$ dan $\vec{AC}$ wakil vektor $\vec{v}$ maka proyeksi ortogonal vektor $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah …

A. $\dfrac{1}{4}(i+j+k)$

B. $(-i+k)$

C. $4(i+k)$

D. $4(i+j+k)$

E. $4(i+j+k)$

Pembahasan

$\vec{u} = B-A = (2,1,0)-(3,2,-1) = (-1,-1,1)$

$\vec{v} = C-A = (-1,2,3)-(3,2,-1) = (-4,0,4)$

$Proy_u v = \dfrac{u \cdot v}{|v|^2} v$

$= \dfrac{(-1,-1,1) (-4,0,4)}{(\sqrt{(-4)^2+0^2+2^2})^2} (-4,0,2)$

$= \dfrac{4+0+4)}{16+0+16} (-4,0,4)$

$= \dfrac{8}{32} (-4,0,4)$

$= \dfrac{1}{4} (-4,0,4)$

$= (-1,0,1)$

Jawaban : B

9. Bayangan garis $3x+4y=6$ oleh transformasi berturut-turut pencerminan terhadap sumbu $X$ , dilanjutkan rotasi dengan pusat $O (0,0)$ sejauh $90^0$ adalah …

A. $4x+3y=31$

B. $4x+3y=6$

C. $4x+3y=-19$

D. $3x+4y=18$

E. $3x+4y=6$

Pembahasan

Pencerminan sumbu $X$ :

$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} x\\ -y \end{pmatrix}$

Rotasi :

$\begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 90^0 & -\sin 90^0\\ \sin 90^0 & \cos 90^0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 0&-1 \\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ -y \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}$

Hasil transformasi :

$3x''+4y''=6$

$3x+4y=6$

Jawaban : E

10.Diketahui translasi $T_1 = \begin{pmatrix} a\\2 \end{pmatrix}$ dan $T_2 = \begin{pmatrix} 3\\b \end{pmatrix}$ . Titik $A'$ dan $B'$ berturut-turut adalah bayangan titik $A$ dan $B$ oleh komposisi transformasi $T_1 \circ T_2$ . Jika $A(-1,2)$ , $A'(1,11)$ dan $B'(12,13)$ , maka koordinat titik $B$ adalah …

A. $(9,4)$

B. $(10,4)$

C. $(14,4)$

D. $(10,-4)$

E. $(14,-4)$

Pembahasan

$T_1 \circ T_2 = \begin{pmatrix} a\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\\b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+3\\ 2+b \end{pmatrix}$

$A' = A + \begin{pmatrix} a+3\\ 2+b \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1\\11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a+3\\ 2+b \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1\\11 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+2\\ 4+b \end{pmatrix}$

Diperoleh,

$1 = a+2 \Rightarrow a=-1$

$11 = 4+b \Rightarrow b=7$

Selanjutnya, $B'$ adalah bayangan titik $B$ oleh komposisi transformasi $T_1 \circ T_2$ , artinya

$B' = B + \begin{pmatrix} a+3\\ 2+b \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 12\\13 \end{pmatrix} = B + \begin{pmatrix} 2\\ 9 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix}$

Jawaban : B

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Invers Matriks… pada Metode Sarrus
	Frans pada Berpapasan dan Menyusul
	Hi! pada Pembahasan Soal Peluang UN…
	Aku pada Pembahasan TPA USM STAN 2013…
	Hendry pada Sifat-Sifat Determinan Matriks
	Achmad F pada Koleksi Buku
	kautsar muafa pada Metode Newton-Raphson (Newton-…
	Erkyu pada Turunan log x, ln x, a^x dan e…
	yakob pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	linsa pada Koleksi Buku

Share this:

Sukai ini:

Terkait

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan