Pembahasan Matematika UN SMA 2009 (4)


1.  Hasil dari \int (2x-1)(x^2-x+3)^3~dx = \ldots

A. \dfrac{1}{3} (x^2-x+3)^3

B. \dfrac{1}{4} (x^2-x+3)^3

C. \dfrac{1}{4} (x^2-x+3)^4

D. \dfrac{1}{2} (x^2-x+3)^4

E. (x^2-x+3)^4

Pembahasan

Misal : u=x^2-x+3 \Rightarrow du = 2x-1~dx

\int (2x-1)(x^2-x+3)^3~dx = \int u^3~du

= \dfrac{1}{4} u^{4} + C

\dfrac{1}{4} (x^2-x+3)^4

Jawaban : C

2.  Hasil dari \int \cos^3 x ~dx adalah …

A. \sin x-\dfrac{1}{3} \sin^3 x +C

B. \dfrac{1}{4} \cos^4 x +C

C. 3 \cos^2 x \sin x +C

D. \dfrac{1}{3} \sin^3 x-\sin x +C

E. \sin x-3 \sin^3 x +C

Pembahasan

misal u = \sin x \Rightarrow du = \cos x dx

\int \cos^3 x ~dx = \int \cos^2 x \cos x ~ dx

= \int (1-\sin^2 x) \cos x ~ dx

= \int (1-u^2) ~ du

= u-\dfrac{1}{3}u^3 + C

= \sin x-\dfrac{1}{3} \sin^3 x +C

Jawaban : A

3.  Diketahui \int_1^a (2x-3) ~dx= 12 dan a>0. Nilai a = \ldots

A. 2

B. 3

C. 5

D. 7

E. 10

Pembahasan

\int_1^a (2x-3) ~dx= 12

(x^2-3x)|_1^a = 12

(a^2-3a)-(1-3) = 12

a^2-3a-10 = 0

(a-5)(a+2) = 0

a=5 atau a=-2

Jawaban : C

4.  Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini dapat dinyatakan  dengan rumus…un_math_2009_34

A. \int_a^b (f(x)-g(x))~dx + \int_b^d g(x)~dx -\int_b^c f(x)~dx

B. \int_a^b (f(x)-g(x))~dx + \int_b^d (g(x)-f(x))~dx

C. \int_a^b (f(x)-g(x))~dx

D. \int_a^b (f(x)-g(x))~dx -\int_b^c f(x)~dx

E. \int_a^b (f(x)-g(x))~dx + \int_c^d (g(x)-f(x))~dx

Pembahasan

Luas dari a ke b adalah \int_a^b (f(x)-g(x))~dx. Selanjutnya arsiran dari b ke d adalah Luas segitiga dari b ke d dikurangi luas dari b ke c \int_b^d g(x)~dx-\int_b^c f(x)~dx. Jadi luas daerah yang diarsir adalah \int_a^b (f(x)-g(x))~dx + \int_b^d g(x)~dx -\int_b^c f(x)~dx

Jawaban : A

5.  Daerah yang diarsir pada gambar di atas diputar terhadap sumbu X, maka volume benda putar yang terjadi adalah …un_math_2009_35

A. \dfrac{1}{6} \pi satuan volume

B. \dfrac{2}{6} \pi satuan volume

C. \dfrac{3}{6} \pi satuan volume

D. \dfrac{4}{6} \pi satuan volume

E. \dfrac{5}{6} \pi satuan volume

Pembahasan

Batas-batas :

\sqrt{x} = 2-x

x = 4-4x+x^2

x^2-5x+4 = 0

(x-4)(x-1) = 0

Volume = \pi \int_{0}^1 (\sqrt{x})^2 ~dx + \pi \int_{1}^2 (x-2)^2

= \pi \int_{0}^1 x ~dx + \pi \int_{1}^2 (x^2-4x+4)

= \pi \dfrac{1}{2}x^2 |_{0}^1 + \pi \left( \dfrac{1}{3}x^3-2x^2+4x \right)

= \pi \left( \dfrac{1}{2}1^2 \right)- \left( \dfrac{1}{2}0^2 \right) + \pi \left( \dfrac{1}{3}2^3-2(2^2)+4(2) \right)-\left( \dfrac{1}{3}1^3-2(1^2)+4(1) \right)

= \dfrac{1}{2} \pi + \pi \left( \dfrac{8}{3}-8+8 \right)-\left( \dfrac{1}{3}-2+4 \right)

= \dfrac{1}{2} \pi + \left( \dfrac{7}{3}-2 \right) \pi

= \dfrac{1}{2} \pi + \dfrac{1}{3} \pi

= \dfrac{5}{6} \pi

Jawaban : E

6.  Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen.un_math_2009_36

Persamaan grafik fungsi invers dari grafik fungsi pada gambar adalah …

A. y = \log 2x, x>0

B. y = 2 \log x, x>0

C. y = ^2\log x, x>0

D. y = ^2\log 2x, x>0

E. y = 2 ^2\log 2x, x>0

Pembahasan

Perhatikan, dari gambar pada soal diperoleh titik koordinat (1,2) dan (2,4).

Persamaan fungsi y=a^x.

untuk (1,2)

2=a^1

2=a

untuk (2,4)

4=a^2

2^2=a^2

a=2

Sehingga diperoleh persamaan fungsinya adalah y=2^x.

Misal m = 2^x

\log m = \log 2^x

\log m = x \log 2

\dfrac{\log m}{\log 2} = x

x = ~^2\log m

Jadi, invers dari fungsi y=a^x adalah ^2\log x.

Jawaban : C

7.  Akar-akar persamaan 9^x-12.3^x+27=0 adalah \alpha dan \beta. Nilai \alpha \beta = \ldots

A. -3

B. -2

C. 1

D. 2

E. 3

Pembahasan

9^x-12.3^x+27=0

(3^2)^x-12.3^x+27=0

(3^x)^2-12.3^x+27=0

misal m = 3^x, diperoleh

m^2-12m+27=0

(m-9)(m-3)=0

m=9 atau m=3

untuk m=9

3^x = 3^2

x=2

untuk m=3

3^x = 3^1

x=1

Jadi, \alpha \beta = 3 \cdot 1 = 3

Jawaban : E

8.  Diketahui barisan aritmetika dengan u_1+u_{10}+u_{19} = 96. Suku ke-10 barisan tersebut adalah …

A. 22

B. 27

C. 32

D. 37

E. 42

Pembahasan

u_1+u_{10}+u_{19} = 96

a+(a+9b)+(a+18b) = 96

3a+27b = 96 (bagi 3 kedua ruas)

a+9b = 32

Jawaban C

9.  Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda positif. Jika suku kedua dikurangi 1, maka akan menjadi barisan geometri dengan jumlah 14. Rasio dari barisan tersebut adalah …

A. 4

B. 2

C. \dfrac{1}{2}

D. -\dfrac{1}{2}

E. -2

Pembahasan

Misal x, y dan z adalah suku-suku barisan aritmetika. Kemudian x, y-1 dan z adalah barisan geometri. Dari barisan aritmetika, diperoleh

z-y=y-x \Leftrightarrow z-x = 2y … (i)

Dari barisan geometri, diperoleh

x + y-1 + z = 14

x + y + z = 15

Karena x,y dan z adalah 3 suku aritmetika yang berurutan, sehingga dapat dipandang sebagai x=a-b, y=a dan z=a+b. Sehingga diperoleh

a-b + a + a+b = 15

3a = 15 \Rightarrow a=5

atau y = 5

Selanjutnya, disubstitusi ke x + y + z = 15, diperoleh x + z = 10 atau x=10-z.

Dari barisan geometri, diperoleh

\dfrac{y-1}{x} =\dfrac{z}{y-1}

\dfrac{5-1}{x} =\dfrac{z}{5-1}

xz = 16

x(10-x) = 16

10x-x^2 = 16

x^2-10x+16 = 0

(x-2)(x-8) = 0

x=2 atau x=8

Karena suku ke-2 yaitu y=b=5 dan bedanya positif, maka suku pertama haruslah lebih kecil dari 5. Oleh karena itu, x=2. Jadi, r = \dfrac{y-1}{x} = \dfrac{5-1}{2} = 2.

Jawaban : B

10.Sebuah bola jatuh dari ketinggian 20 m dan memantul kembali dengan ketinggian \dfrac{4}{5} kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus-menerus. Panjang seluruh lintasan bola adalah …

A. 64 m

B. 84 m

C. 128 m

D. 180 m

E. 196 m

Pembahasan

Karena bola memantul terus-terusan sampai berhenti, berarti ini termasuk deret geometri tak hingga. Untuk mencari panjang lintasan bola yang memantul ini, rumus yang digunakan adalah

Panjang lintasan = ketinggian bola jatuh + 2(kali deret tak hingga)

Dalam deret tak hingga ini, yang menjadi suku pertamanya adalah pantulan pertama (bukan ketinggian bola jatuh pada awal).

Pantulan pertama = 20 \times \dfrac{4}{5} = 16m (suku pertama)

S_{\infty} = \dfrac{a}{1-r}

= \dfrac{16}{1-\dfrac{4}{5}}

= \dfrac{16}{\dfrac{1}{5}} = 80

P.Lintasan = 20 + 2(80) = 180 meter

Jawaban : D

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s