Apr 3 2014

Teori Grup


Dalam tulisan ini akan dibahas suatu struktur aljabar dengan suatu himpunan tak kosong dan satu operasi biner serta memenuhi beberapa sifat. Struktur ini dikenal dengan nama Grup. Berikut definisi grup.

Definition 1.

Suatu sistem aljabar yang (G, \cdot) yang memuat himpunan tak kosong G dilengkapi dengan operasi biner \cdot, dengan

\cdot : G \times G \rightarrow G


serta memenuhi aksioma-aksioma berikut

  1. Assositif

    (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) untuk setiap a,b,c \in G

  2. Eksistensi elemen Identitas

    terdapat elemen identitas e \in G sedemikian sehingga a \cdot e = e \cdot a = a untuk semua a \in G

  3. Eksistensi elemen Invers

    untuk setiap a \in G, terdapat a,b \in G sedemikian sehingga a \cdot b = b \cdot a = e

Berikut beberapa contoh dari grup.

Contoh 2.

Himpunan bilangan asli \mathbb{N} dengan operasi penjumlahan bukan merupakan grup karena tidak memiliki identitas di \mathbb{N}.

Contoh 3.

Himpunan semua bilangan bulat \mathbb{Z} adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan pada bilangan bulat.

Penyelesaian.

Seperti yang telah diketahui bahwa penjumlahan dua bilangan bulat, hasilnya pasti di bilangan bulat juga. Jadi operasi penjumlahan sebarang bilangan bulat bersifat tertutup. Selanjutnya akan dicek tiga aksioma berikut.

  1. Assosiatif

    ambil sebarang a,b,c \in \mathbb{Z}, sehingga (a+b)+c=a+(b+c)

  2. Eksistensi elemen Identitas

    Klaim 0 merupakan identitas di \mathbb{Z}. Seperti yang kita tahu bahwa sifat dari bilangan bulat \mathbb{Z} yaitu a + 0 = 0 + a = a. Jadi 0 sebagai elemen identitas di \mathbb{Z}.

  3. Eksistensi elemen Invers

    Klaim -a sebagai elemen invers. Pandang a + (-a) = a - a = 0 dan (-a) + a = -a + a = 0. Sehingga berlaku a + (-a) = (-a) + a = 0. Jadi, -a elemen invers di \mathbb{Z}

Grup yang memenuhi sifat komutatif untuk sebarang elemen di G, disebut dengan Grup Abelian (Grup Komutatif).

Contoh 4.

Misal diberikan m sebarang bilangan bulat yang tetap dan G = {m \cdot a : a \in \mathbb{Z}} merupakan himpunan semua pergandaan dari bilangan bulat oleh bilangan bulat m. Buktikan bahwa G merupakan grup abelian dengan operasi penjumlahan pada bilangan bulat.

Penyelesaian.

Ambil sebarang m \cdot a, m \cdot b dan m \cdot c di G untuk suatu a,b \in \mathbb{Z}.

  1. Sifat Tertutup

    m \cdot a + m \cdot b = m \cdot (a + b)

    karena a,b \in \mathbb{Z} dan berdasarkan sifat ketertutupan bilangan bulat, maka (a+b) \in \mathbb{Z}. Sehingga m \cdot (a + b) \in G. Jadi $latex m \cdot a + m \cdot b \in G$.

  2. Assosiatif

    (m \cdot a + m \cdot b) + m \cdot b = m \cdot (a + b) + m \cdot b

    = m \cdot ((a + b) + c)

    = m \cdot (a + (b + c))

    = m \cdot a + m \cdot (b + c)

    = m \cdot a + (m \cdot b + m \cdot c)

  3. Eksistensi elemen identitas

    akan dicari elemen identitas, misal a' sedemikian sehingga memenuhi a + a' = a' + a = a

    m \cdot a + m \cdot a' = m \cdot (a + a')

    = m \cdot a

    berdasarkan sifat bilangan bulat, a + a' = a dipenuhi oleh a' = 0. Jadi, m \cdot 0 \in G sebagai elemen identitas.

  4. Eksistensi elemen invers

    akan dicari elemen invers dari G, misal a" sedemikian sehingga memenuhi a + a" = a" + a = 0.

    m \cdot a + m \cdot a" = m \cdot (a + a")

    = m \cdot 0

    berdasarkan sifat bilangan bulat, a + a" = 0 dipenuhi oleh a" = -a. Jadi, m \cdot (-a) \in G sebagai elemen invers.

Contoh 5.

Diberikan m \in \mathbb{Z} tak nol. Misal G = {m^{a} : a \in \mathbb{Z}}. Buktikan G dengan perkalian komposisi adalah grup.

Penyelesaian.

ambil sebarang m^{a}, m^{b}, m^{c} \in G.

  1. Sifat ketertutupan

    m^{a} \cdot m^{b} = m^{a+b}

    karena a,b \in \mathbb{Z}, maka (a+b) \in \mathbb{Z}. Sehingga m^{a+b} \in G. Jadi m^{a} \cdot m^{b} \in G.

  2. Assossiatif

    (m^{a} \cdot m^{b}) \cdot m^{c} = m^{a+b} \cdot m^{c}

    = m^{(a+b)+c}

    = m^{a+(b+c)}

    = m^{a} \cdot m^{(b+c)}

    = m^{a} \cdot (m^{b} \cdot m^{c})

  3. Eksistensi elemen identitas

    Klaim m^{0} \in G sebagai elemen identitas untuk sebarang m^{a} \in G.

    m^{a} \cdot m^{0} = m^{a+0}

    = m^{a}

    m^{0} \cdot m^{a} = m^{0+a}

    = m^{a}

    m^{a} \cdot m^{0} = m^{0} \cdot m^{a} = m^{a}

    Jadi, m^{0} elemen identitas di G

  4. Eksistensi elemen invers

    Klaim m^{-a} \in G sebagai elemen invers untuk sebarang m^{a} \in G.

    m^{a} \cdot m^{-a} = m^{a+(-a)}

    = m^{0}

    m^{-a} \cdot m^{a} = m^{(-a)+a}

    = m^{0}

    m^{a} \cdot m^{-a} = m^{-a} \cdot m^{a} = m^{0}

    Jadi, m^{-a} elemen invers di G untuk sebarang elemen di G.

15 comments on “Teori Grup”

  1. Ping-balik: Sifat-Sifat Grup | Math IS Beautiful

  2. Ping-balik: Homomorfisma Natural | Math IS Beautiful

  3. Ping-balik: Koset | Math IS Beautiful

  5. Ping-balik: Ruang Vektor | Math IS Beautiful

  6. Ping-balik: Ring | Math IS Beautiful

  7. makasih udah menyempatkan bls 🙂
    sebenarnya udah dibahas sih kemarin sama dosen..
    Singkatnya spt ini. ‘periksa apakah [2], [4], [8] € Z8 merupakan suatu grup!’

    Balas

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Gravatar
Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. ( Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. ( Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. ( Logout /  Ubah )

Batal

Connecting to %s