Dalam tulisan ini akan dibahas suatu struktur aljabar dengan suatu himpunan tak kosong dan satu operasi biner serta memenuhi beberapa sifat. Struktur ini dikenal dengan nama Grup. Berikut definisi grup.
Definition 1.
Suatu sistem aljabar yang yang memuat himpunan tak kosong
dilengkapi dengan operasi biner
, dengan
serta memenuhi aksioma-aksioma berikut
-
Assositif
untuk setiap
-
Eksistensi elemen Identitas
terdapat elemen identitas
sedemikian sehingga
untuk semua
-
Eksistensi elemen Invers
untuk setiap
, terdapat
sedemikian sehingga
Berikut beberapa contoh dari grup.
Contoh 2.
Himpunan bilangan asli dengan operasi penjumlahan bukan merupakan grup karena tidak memiliki identitas di
.
Contoh 3.
Himpunan semua bilangan bulat adalah grup abelian dengan operasi penjumlahan pada bilangan bulat.
Penyelesaian.
Seperti yang telah diketahui bahwa penjumlahan dua bilangan bulat, hasilnya pasti di bilangan bulat juga. Jadi operasi penjumlahan sebarang bilangan bulat bersifat tertutup. Selanjutnya akan dicek tiga aksioma berikut.
-
Assosiatif
ambil sebarang
, sehingga
-
Eksistensi elemen Identitas
Klaim
merupakan identitas di
. Seperti yang kita tahu bahwa sifat dari bilangan bulat
yaitu
. Jadi
sebagai elemen identitas di
.
-
Eksistensi elemen Invers
Klaim
sebagai elemen invers. Pandang
dan
. Sehingga berlaku
. Jadi,
elemen invers di
Grup yang memenuhi sifat komutatif untuk sebarang elemen di , disebut dengan Grup Abelian (Grup Komutatif).
Contoh 4.
Misal diberikan sebarang bilangan bulat yang tetap dan
merupakan himpunan semua pergandaan dari bilangan bulat oleh bilangan bulat
. Buktikan bahwa
merupakan grup abelian dengan operasi penjumlahan pada bilangan bulat.
Penyelesaian.
Ambil sebarang ,
dan
di
untuk suatu
.
-
Sifat Tertutup
karena
dan berdasarkan sifat ketertutupan bilangan bulat, maka
. Sehingga
. Jadi $latex m \cdot a + m \cdot b \in G$.
-
Assosiatif
-
Eksistensi elemen identitas
akan dicari elemen identitas, misal
sedemikian sehingga memenuhi
berdasarkan sifat bilangan bulat,
dipenuhi oleh
. Jadi,
sebagai elemen identitas.
-
Eksistensi elemen invers
akan dicari elemen invers dari
, misal
sedemikian sehingga memenuhi
.
berdasarkan sifat bilangan bulat,
dipenuhi oleh
. Jadi,
sebagai elemen invers.
Contoh 5.
Diberikan tak nol. Misal
. Buktikan
dengan perkalian komposisi adalah grup.
Penyelesaian.
ambil sebarang .
-
Sifat ketertutupan
karena
, maka
. Sehingga
. Jadi
.
-
Assossiatif
-
Eksistensi elemen identitas
Klaim
sebagai elemen identitas untuk sebarang
.
Jadi,
elemen identitas di
-
Eksistensi elemen invers
Klaim
sebagai elemen invers untuk sebarang
.
Jadi,
elemen invers di
untuk sebarang elemen di
.
Ping-balik: Sifat-Sifat Grup | Math IS Beautiful
Ping-balik: Homomorfisma Natural | Math IS Beautiful
Ping-balik: Koset | Math IS Beautiful
assalamualaikum..
Mau tanya kakak, kalau misalkan ada soal tentang grup dimana himpunannya matriks sama golongan bil. Bulat (misal Z8) itu gimana??
Balas y
waalaikumslam.
maaf saya gk ngerti mksud Anda, bisa diperjelas lagi soalnya ?
makasih udah menyempatkan bls 🙂
sebenarnya udah dibahas sih kemarin sama dosen..
Singkatnya spt ini. ‘periksa apakah [2], [4], [8] € Z8 merupakan suatu grup!’
seharusnya Anda tinggal pake definisi aja mas
atau
?
Tapi apakah pertanyaanya gk salah mas ?
Iya saya kemaren pakai definisi, teorema juga.. Iya itu maksudnya, himpunan..
Makasih atas jawabannya.. Emm, btw, saya ‘mbak’ bukan ‘mas’ 🙂
Ping-balik: Ruang Vektor | Math IS Beautiful
Ping-balik: Ring | Math IS Beautiful
makasih udah menyempatkan bls 🙂
sebenarnya udah dibahas sih kemarin sama dosen..
Singkatnya spt ini. ‘periksa apakah [2], [4], [8] € Z8 merupakan suatu grup!’
Iya saya kemaren pakai definisi, teorema juga.. Iya itu maksudnya, himpunan..
Makasih atas jawabannya.. Emm, btw, saya ‘mbak’ bukan ‘mas’ 🙂