Pembahasan Matematika UN SMA 2010 (1)


1.  Diberikan premis-premis sebagai berikut:

Premis 1 : Jika harga BBM naik maka harga bahan pokok naik.

Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak senang.

Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah …

A. Harga BBM tidak naik.

B. Jika harga bahan pokok naik maka ada orang tidak senang.

C. Harga bahan pokok naik atau ada orang tidak senang.

D. Jika semua orang tidak senang maka harga BBM naik.

E. Harga BBM naik dan ada orang yang senang.

Pembahasan

Misal : p = harga BBM naik, q = harga bahan pokok naik, dan r = semua orang tidak senang.

p \Rightarrow q

q \Rightarrow r

——————

\therefore p \Rightarrow r

Atau ekuivalen dengan \sim p \vee r. Selanjutnya ingkaran dari \sim p \vee r adalah p \wedge \sim r.

Jadi, ingkaran dari kesimpulan premis-premis tersebut adalah harga BBM naik dan ada orang yang senang.

Jawaban : E

2.  Bentuk sederhana dari \dfrac{2^{\frac{5}{12}} \cdot 12^{\frac{5}{6}}}{8^{\frac{3}{4}} \cdot 6^{\frac{1}{3}}} adalah …

A. \left( \dfrac{2}{3} \right)^{\frac{1}{2}}

B. \left( \dfrac{2}{3} \right)^{\frac{1}{3}}

C. \left( \dfrac{2}{3} \right)^{\frac{2}{3}}

D. \left( \dfrac{3}{2} \right)^{\frac{1}{3}}

E. \left( \dfrac{3}{2} \right)^{\frac{1}{2}}

Pemabahasan

\dfrac{2^{\frac{5}{12}} \cdot 12^{\frac{5}{6}}}{8^{\frac{3}{4}} \cdot 6^{\frac{1}{3}}} = \dfrac{2^{\frac{5}{12}} \cdot (2^2 \cdot 3)^{\frac{5}{6}}}{(2^3)^{\frac{3}{4}} \cdot (2 \cdot 3)^{\frac{1}{3}}}

= \dfrac{2^{\frac{5}{12}} \cdot (2^2)^{\frac{5}{6}} \cdot 3^{\frac{5}{6}}}{(2^3)^{\frac{3}{4}} \cdot 2^{\frac{3}{1}} 3^{\frac{1}{3}}}

= \dfrac{2^{\frac{5}{12}} \cdot 2^{\frac{5}{3}} \cdot 3^{\frac{5}{6}}}{2^{\frac{9}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} 3^{\frac{1}{3}}}

= \dfrac{2^{\frac{5}{12} + \frac{5}{3} -\frac{9}{4} -\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3} -\frac{5}{6}}}

= \dfrac{2^{\frac{5}{12} + \frac{20}{12} -\frac{27}{12} -\frac{4}{12}}}{3^{\frac{2}{6} -\frac{5}{6}}}

= \dfrac{2^{-\frac{6}{12}}}{3^{-\frac{3}{6}}}

= \dfrac{2^{-\frac{1}{2}}}{3^{-\frac{1}{2}}}

= \left( \dfrac{2}{3} \right)^{-\frac{1}{2}}

= \left( \dfrac{3}{2} \right)^{\frac{1}{2}}

Jawaban : E

3.  Bentuk sederhana dari \dfrac{4(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}{3+2\sqrt{2}} = \ldots

A. 12+\sqrt{2}

B. -12+8\sqrt{2}

C. -12+\sqrt{2}

D. -12-\sqrt{2}

E. -12-8\sqrt{6}

Pembahasan

\dfrac{4(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}{3+2\sqrt{2}} = \dfrac{4(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}{3+2\sqrt{2}} \times \dfrac{3-2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}

= \dfrac{4(1-2)(3-2\sqrt{2})}{9-8}

= -4(3-2\sqrt{2})

= -12+8\sqrt{2}

Jawaban : B

4.  Hasil dari \dfrac{^3\log 5 \cdot ^{\sqrt{5}}\log 9 + ^{8}\log 2}{^2\log 12- ^2\log 3} = \ldots

A. 2

B. 6

C. 10

D. 14

E. 16

Pembahasan

\dfrac{^3\log 5 \cdot ^{\sqrt{5}}\log 9 + ^{8}\log 2}{^2\log 12- ^2\log 3} = \dfrac{^3\log 5 \cdot ^{5^{1/2}}\log 3^2 + ^{2^3}\log 2}{^2\log (2^2 \cdot 3)- ^2\log 3}

= \dfrac{^3\log 5 \cdot \dfrac{2}{1/2} \cdot ^{5}\log 3 + \dfrac{1}{3}~^{2}\log 2}{^2\log 2^2 + ^2\log 3- ^2\log 3}

= \dfrac{4 + \dfrac{1}{3}}{2 \cdot ^2\log 2 + ^2\log 3- ^2\log 3}

= \dfrac{\dfrac{13}{3}}{2}

= \dfrac{13}{6}

Jawaban :

5.  Grafik fungsi kuadrat f(x)=x^2+bx+4 menyinggung garis y = 3x+4. Nilai b yang memenuhi adalah …

A. -4

B. -3

C. 0

D. 3

E. 4

Pembahasan

f(x) = y

x^2+bx+4 = 3x+4

x^2+(b-3)x = 0

Karena menyinggung, berakibat D= 0

b^2-4ac = 0

(b-3)^2-4(1)(0) = 0

(b-3)^2 = 0

b-3 = 0 \Rightarrow b=3

Jawaban : C

6.  Akar-akar persamaan x^2+(2a-3)x+18 = 0 adalah p dan q. Jika p=2q, untuk p>0, q>0. Nilai a-1= \ldots

A. -5

B. -4

C. 2

D. 3

E. 4

Pembahasan

Dari persamaan kuadrat, didapat a=1, b=2a-3 dan c=18.

p+q = \dfrac{-b}{a} = 3-2a … (i)

pq = \dfrac{c}{a} = 18 … (ii)

Dari soal diketahui p = 2q, sehingga dari pers (ii) diperoleh 2qq = 18 \Leftrightarrow q^2 = 9 \Leftrightarrow q=\pm 3. Karena q>0, maka yang memenuhi adalah q=3. Selanjutnya dari pers (ii) diperoleh p(3) = 18 \Leftrightarrow p=6.

Perhatikan.

p+q = 3-2a

9 = 3-2a

a=-3

Jadi, a-1= -3-1 = -4

Jawaban : B

7.  Jika p dan q adalah akar-akar persamaan x^2-5x-1=0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p+1 dan 2q+1 adalah …

A. x^2+10x+11=0

B. x^2-10x+7=0

C. x^2-10x+11=0

D. x^2-12x+7=0

E. x^2-12x-7=0

Pembahasan

Persamaan Kuadrat : x^2-5x-1=0

p + q = -\dfrac{b}{a} = 5 dan pq = \dfrac{c}{a} = -1

Bentuk Persamaan Kuadrat Baru : x^2-((2p+1)+(2q+1))x + ((2p+1)(2q+1)) = 0

x^2-(2+2(p+q))x + (1+2(p + q) + 4pq) = 0

x^2- (2+2(5))x + (1+2(5)+4(-1)) = 0

x^2 -12x + 7 = 0

Jawaban : D

8.  Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2-6x-2y+5=0 yang sejajar dengan garis 2x-y+7=0 adalah …

A. 2x-y-10=0

B. 2x-y+10=0

C. 2x+y+10=0

D. x-2y-10=0

E. x-2y+10=0

Pembahasan

Persamaan Garis Singgung : (y-b) = m(x-a) \pm \sqrt{r^2(1 + m^2)}

x^2+y^2-6x-2y+5=0

x^2-2(3x)+y^2-2(y)+5=0

(x^2-2(x)+9)-9+(y^2-2(y)+1)-1+5=0

(x-3)^2+(y-1)^2 = 5

Diperoleh pusat (3,1) dan r^2 = 5.

2x-y+7=0

y = 2x+7y

Jadi, diperoleh gradien garis m = 2

(y-1) = 2(x-3) \pm \sqrt{5 \left( 1 + 2^2 \right)}

(y-1) = 2x-6 \pm \sqrt{5(5)}

(y-1) = 2x-6 \pm 5

(y-1) = 2x-6 + 5

y-2x-2 = 0 (persamaan garis singgung 1)

(y-1) = 2x-6 -5

y-2x+10 = 0 atau 2x-y-10 = 0 (persamaan garis singgung 2)

Jawaban : A

9.  Diketahui fungsi f(x)=3x+2 dan g(x)=\dfrac{x+3}{2x-1}, x \neq \dfrac{1}{2}. Nilai komposisi fungsi (g \circ f)(-1) = \ldots

A. -1

B. -\dfrac{8}{9}

C. -\dfrac{2}{3}

D. \dfrac{2}{3}

E. \dfrac{8}{9}

Pembahasan

(g \circ f)(x) = g(f(x))

= g(3x+2)

= \dfrac{(3x+2)+3}{2(3x+2)-1}

= \dfrac{3x+5}{6x+4-1}

= \dfrac{3x+5}{6x+3}

(g \circ f)(-1) = \dfrac{3(-1)+5}{6(-1)+3}

= \dfrac{-3+5}{-6+3}

= \dfrac{2}{3}

Jawaban : D

10.Diketahui fungsi f(x) = \dfrac{2x+1}{3-x}, x \neq 3. Jika f^{-1}(x) merupakan invers dari f(x), maka nilai f^{-1}(-3) adalah …

A. 0

B. 2

C. 4

D. 6

E. 10

Pembahasan

misal m = \dfrac{2x+1}{3-x}

3m-mx = 2x+1

3m-1 = 2x+mx

3m-1 = (2+m)x

x = \dfrac{3m-1}{2+m}

Invers dari f(x) adalah f^{-1}(x) = \dfrac{3x-1}{2+x}. Jadi,

f^{-1}(-3) = \dfrac{3(-3)-1}{2+(-3)} = \dfrac{-10}{-1} = 10

Jawaban : E

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s