Pembahasan Matematika UN SMA 2012 (2)


1.  Diketahui fungsi f(x)=2x-3 dan g(x)=x^2+2x-3. Fungsi komposisi (f \circ g)(x) = \ldots

A. 2x^2+4x-9

B. 2x^2+4x-3

C. 4x^2+6x-18

D. 4x^2+8

E. 4x^2-8

Pembahasan

(f \circ g)(x) = f(g(x))

= f(x^2+2x-3)

= 2(x^2+2x-3)-3

= 2x^2+4x-6-3

= 2x^2+4x-9

Jawaban : A

2.  Seorang pedagang sepeda ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga Rpl.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak  akan mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah sepeda balap Rp600.000,00, maka keuntungan maksimum yang diterima pedagang adalah ….

A.  Rp13.400.000,00

B.  Rp12.600.000,00

C.  Rp12.500.000,00

D.  Rp10.400.000,00

E.  Rp8.400.000,00

Pembahasan

Model matematika :

Misal : x : sepeda gunung dan y sepeda balap

x+y \leq 25 … (i)

1.500.000x + 2.000.000y \leq 42.000.000 … (ii)

Fungsi Tujuan : f(x,y) = 500.000x + 600.000y

Substitusi pers (i) ke pers (ii)

1.500.000(25-y)+2.000.000y = 42.000.000

37.500.000-1.500.000y+2.000.000y = 42.000.000

500.000y = 4.500.000 \Rightarrow y = 9

Sehinga diperoleh x = 16. Jadi titik potongnya adalah (16,9). Selanjutnya diperoleh titik-titik lainnya yaitu (0,21) dan (25,0)

f(16,9) = 500.000(16) + 600.000(9) = 13.400.000

f(0,21) = 500.000(0) + 600.000(21) = 12.600.000

f(25,0) = 500.000(25) + 600.000(0) = 12.500.000

Jawaban : A

3.  Diketahui matriks A = \begin{pmatrix} 3&y\\ 5&-1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} x&5\\ -3&6 \end{pmatrix}, dan C = \begin{pmatrix} -3&-1\\ y&9 \end{pmatrix}. Jika A+B-C = \begin{pmatrix} 8&5x\\ -x&-4 \end{pmatrix}, maka nilai x+2xy+y = \ldots

A. 8

B. 12

C. 18

D. 20

E. 22

Pembahasan

A+B-C = \begin{pmatrix} 8&5x\\ -x&-4 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 3&y\\ 5&-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x&5\\ -3&6 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} -3&-1\\ y&9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&5x\\ -x&-4 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 6+x&y+6\\ 2-y&-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8&5x\\ -x&-4 \end{pmatrix}

Diperoleh

6+x = 8 \Rightarrow x = 2

y+6 = 5x \Rightarrow y = 4

2-y = -x \Rightarrow y = 4

Jadi, x+2xy+y = 2+2(2)(4)+4 = 22

Jawaban : E

4.  Diketahui vektor \vec{a} = i-xj+3k, \vec{b} = 2i+j-k dan \vec{c} = i+3j+2k. Jika \vec{a} tegak lurus \vec{b} maka 2\vec{a}(\vec{b}-\vec{c}) adalah …

A. -20

B. -12

C. -10

D. -8

E. -1

Pembahasan

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

\begin{pmatrix} 1\\-x\\3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\1\-1 \end{pmatrix} = 0

2-x-3 = 0

x = -1

2\vec{a}+(\vec{b}-\vec{c}) = 2\begin{pmatrix} 1\\-1\\3 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 1\\3\\2 \end{pmatrix} \right)

= \begin{pmatrix} 2\\-2\\6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\-2\\-3 \end{pmatrix}

= 2+4-18 = -12

Jawaban : B

5.  Diketahui titik A(1,0,-2), B(2,1,-1) dan C(2,0,-3). Besar sudut antara vektor \vec{AB} dengan \vec{AC} adalah …

A. 30^0

B. 45^0

C. 60^0

D. 90^0

E. 120^0

Pembahasan.

\vec{AB} = B-A = (2,1,-1)-(1,0,-2) = (1,1,1)

|\vec{AB}|^2 = (1)^2+(1)^2+(1)^2 = 3

\vec{AC} = C-A = (2,0,-3)-(1,0,-2) = (1,0,-1)

|\vec{BC}|^2 = 1^2+(0)^2+(-1)^2 = 2

\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (1,1,1)(1,0,-1) = 1+0-1 = 0

sudut antara vektor \vec{AB} dengan \vec{AC} merupakan sudut BAC

\cos \angle BAC = \dfrac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}||\vec{AC}|}

= \dfrac{0}{(\sqrt{3})(\sqrt{2})}

= \dfrac{0}{\sqrt{6}}

= 0

\angle BAC = 90^0

Jawaban : D

6.  Proyeksi ortogonal vektor \vec{a} = 4i+j+3k dan \vec{b} = 2i+j+3k adalah …

A. \dfrac{13}{14}(2i+j+3k)

B. \dfrac{15}{14}(2i+j+3k)

C. \dfrac{8}{7}(2i+j+3k)

D. \dfrac{9}{7}(2i+j+3k)

E. 4i+2j+6k

Pembahasan

Proy_a b = \dfrac{a \cdot b}{|b|^2}b

= \dfrac{(4,1,3)(2,1,3)}{(\sqrt{2^2+1^2+3^2})^2}(2,1,3)

= \dfrac{8+1+9}{4+1+9}(2,1,3)

= \dfrac{18}{14}(2,1,3)

= \dfrac{9}{7}(2,1,3)

Jawaban : D

7.  Bayangan kurva y=3x-9x^2 jika dirotasi dengan pusat O(0,0) sejauh 90^0 dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 3 adalah …

A. x=3y^2-3y

B. x=y^2+y

C. x=3y^2+3y

D. y=3x^2-3x

E. y=x^2+3y

Pembahasan

Rotasi :

\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 90^0 & -\sin 90^0\\ \sin 90^0 & \cos 90^0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 0&-1 \\ 1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix}

Dilatasi

\begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}

= 3 \begin{pmatrix} -y\\x \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} -3y \\ 3x \end{pmatrix}

Hasil transformasi :

y''=3x''-9x''^2

3x=3(-3y)-9(-3y)^2

3x=-9y+81y^2

x=27y^2-3y

Jawaban :

8.  Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 5^{2x}-6.5^{x+1}+125>0, x\in R adalah …

A. 1<x<2

B. 5<x<25

C. x<-1 atau x>2

D. x<1 atau x>2

E. x<5 atau x>25

Pembahasan

5^{2x}-6.5^{x+1}+125>0

5^{2x}-6.5.5^{x}+125>0

5^{2x}-30.5^{x}+125>0

misal : 5^x = m

m^2-30m+125 > 0

(m-5)(m-25) > 0

m=5 atau m=25. Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh m<5 atau m>25.

Jawaban : E

9.  Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah

A. y=3^x

B. y=3^{x+1}

C. y=3^{x-1}

D. y=3^x + 1

E. y=3^x -1

Pembahasan

Dari grafik diatas, diperoleh f(0)=2 dan f(2)=10.

a. f(0)=3^0 = 0 dan f(2)=3^2=9. Tidak sesuai

b. f(0)=3^{0+1} = 3 dan f(2)=3^{2+1}=27. Tidak sesuai

c. f(0)=3^{0-1} = \dfrac{1}{3} dan f(2)=3^{2-1}=3. Tidak sesuai

d. f(0)=3^0 + 1= 2 dan f(2)=3^2 +1 = 10.

e. f(0)=3^0 -1 = 0 dan f(2)=3^2 -1=8. Tidak sesuai

Jawaban : D

10.Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dinyatakan dengan S_n = n^2+3n. Suku ke-20 deret tersebut adalah …

A. 38

B. 42

C. 46

D. 50

E. 54

Pembahasan

INGAT : u_n = S_n-S_{n-1}

u_{20} = S_{20}-S_{19}

= (20^2+3(20))-(19^2+3(19))

= (400+60)-(361+57)

= 39+3 = 42

Jawaban : B

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s