Pembahasan Matematika UN SMA 2010 (2)

1. Suku banyak $x^3+2x^2-px+q$ , jika dibagi $(2x-4)$ bersisa 16 dan jika dibagi $(x+2)$ bersisa 20. Nilai $2p+q = \ldots$

A. 17

B. 18

C. 19

D. 20

E. 21

Pembahasan

untuk $2x-4$ bersisa 16

$f(2) = 2^3+2(2)^2-p(2)+q$

$16 = 8+8-2p+q$

$16 = 16-2p+q$

$2p-q = 0$ … (i)

untuk $x+2$ bersisa 20

$f(-2) = (-2)^3+2(-2)^2-p(-2)+q$

$20 = -8+8+2p+q$

$20 = 2p+q$ … (ii)

Eliminasi pers (i) dan (ii)

$2p-q = 0$

$2p+q = 20$

————————– +

$4p = 20$

$p=5$

Substitusi $p=5$ ke pers (i), diperoleh $q=10$ .

Jadi, $2p+q = 2(5)+10 = 20$

Jawaban : D

2. Harga 2 koper dan 5 tas adalah Rp600.000,00 sedangkan harga 3 koper dan 2 tas yang sama adalah Rp570.000,00. Harga sebuah koper dan 2 tas adalah …

A. Rp240.000,00

B. Rp270.000,00

C. Rp330.000,00

D. Rp390.000,00

E. Rp400.000,00

Pembahasan

misal : $x$ = koper dan $y$ = tas.

$2x + 5y = 600.000$ … (i)

$3x + 2y = 570.000$ … (ii)

——————————— –

$6x + 15y = 1.800.000$

$6x + 4y = 1.140.000$

——————————— –

$11y = 660.000 \Rightarrow y = 60.000$ .

Selanjutnya substitusi $y = 60.000$ ke $2x + 5y = 600.000$ , diperoleh $x = 150.000$ .

Didapat $x + 2y = 150.000 + 2(60.000) = 270.000$ .

Jadi, sebuah koper dan 2 tas adalah Rp270.000,00

Jawaban : B

3. Sebuah perusahaan memproduksi barang dengan 2 model yang dikerjakan dengan dua mesin yaitu mesin A dan mesin B. Produk model I dikerjakan dengan mesin A selama 2 jam dan mesin B selama 1 jam. Produk model II dikerjakan dengan mesin A selama 1 jam dan mesin B selama 5 jam. Waktu kerja mesin A dan B berturut-turut adalah 12 jam per hari dan 15 jam per hari. Keuntungan penjualan produk model I sebesar Rp40.000,00 per unit dan model II Rp10.000,00 unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah …

A. Rp120.000.000,00

B. Rp220.000.000,00

C. Rp240.000.000,00

D. Rp300.000.000,00

E. Rp600.000.000,00

Pembahasan.

Model matematika

Misal : model I = $x$ dan model II = $y$

$2x+y \leq 12$ … (i)

$x+5y \leq 15$ … (ii)

Fungsi tujuan : $f(x,y) = 40.000.000x + 10.000.000y$ .

Substitusi persamaan (ii) ke pers (i), diperoleh

$x + 5(12-2x) = 15$

$\Leftrightarrow x+60-10x = 15$

$\Leftrightarrow -9x = -45$

$\Leftrightarrow x = 5$

Sehingga didapat $y = 12-2x = 2$

Diperoleh titik (0,0), (6,0), (0,3) dan (5,2). Substitusi ke fungsi tujuan,

$f(0,0) = 40.000(0) + 10.000(0) = 0$

$f(6,0) = 40.000(6) + 10.000(0) = 240.000$

$f(0,3) = 40.000(0) + 10.000(3) = 30.000$

$f(5,2) = 40.000(5) + 10.000(2) = 200.000 + 20.000 = 220.000$

Jawaban : C

4. Diketahui persamaan matriks $\begin{pmatrix} x-5&4\\ -5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4&-1\\ 2&y-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&2\\ -16&5\end{pmatrix}$ . Perbandingan nilai $x$ dan $y$ adalah …

A. 3 : 1

B. 1 : 3

C. 2 : 1

D. 1 : 2

E. 1 : 1

Pembahasan

$\begin{pmatrix} x-5&4\\ -5&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4&-1\\ 2&y-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&2\\ -16&5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 4x-20+8 & -x+5+4y-4\\ -20+4 & 5+2y-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&2\\ -16&5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 4x-12 & -x+4y+1\\ -16 & 2y+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&2\\ -16&5 \end{pmatrix}$

Diperoleh,

$4x-12 = 0 \Leftrightarrow x=3$

$-x+4y+1 = 2 \Leftrightarrow y=1$

$2y+3 = 5 \Leftrightarrow y=1$

Jadi, $x : y = 3 : 1$

Jawaban : A

5. Diketahui koordinat $A(0,0,0)$ , $B(-1,1,0)$ dan $C(1,-2,2)$ . Jika sudut antara $\vec{AB}$ dan $\vec{AC}$ adalah $\alpha$ maka $\cos \alpha = \ldots$

A. $\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

B. $\dfrac{1}{2}$

C. $0$

D. $-\dfrac{1}{2}$

E. $-\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$

Pembahasan

$\vec{AB} = B-A = (-1,1,0)$

$\vec{AC} = C-A = (1,-2,2)$

$\cos \alpha = \dfrac{\vec{AB} \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}$

$= \dfrac{(-1,1,0) (1,-2,2)}{\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2} \sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}$

$= \dfrac{-1-2}{\sqrt{1+1+0} \sqrt{1+4+4}}$

$= \dfrac{-3}{\sqrt{2} \sqrt{9}}$

$= \dfrac{-3}{3\sqrt{2}}$

$= -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$

Jawaban : E

6. Diketahui titik $A(3,2,-1)$ , $B(2,1,0)$ dan $C(-1,2,3)$ . Jika $\vec{AB}$ wakil vektor $\vec{u}$ dan $\vec{AC}$ wakil vektor $\vec{v}$ maka proyeksi ortogonal vektor $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah …

A. $\dfrac{1}{4}(i+j+k)$

B. $(-i+k)$

C. $4(i+k)$

D. $4(i+j+k)$

E. $4(i+j+k)$

Pembahasan

$\vec{u} = B-A = (2,1,0)-(3,2,-1) = (-1,-1,1)$

$\vec{v} = C-A = (-1,2,3)-(3,2,-1) = (-4,0,4)$

$Proy_u v = \dfrac{u \cdot v}{|v|^2} v$

$= \dfrac{(-1,-1,1) (-4,0,4)}{(\sqrt{(-4)^2+0^2+2^2})^2} (-4,0,2)$

$= \dfrac{4+0+4)}{16+0+16} (-4,0,4)$

$= \dfrac{8}{32} (-4,0,4)$

$= \dfrac{1}{4} (-4,0,4)$

$= (-1,0,1)$

Jawaban : B

7. Persamaan bayangan garis $y = 2x-3$ yang direfleksikan terhadap garis $y=-x$ dan dilanjutkan garis $y=x$ adalah …

A. $2y+x+3=0$

B. $y+2x-3=0$

C. $y-2x-3=0$

D. $2y+x-3=0$

E. $2y-x-3=0$

Pembahasan

Pencerminan sumbu $X$ :

$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&-1 \\ -1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -y\\ -x \end{pmatrix}$

Rotasi :

$\begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$

Hasil transformasi :

$y''=2x''-3$

$-y=2(-x)-3$

$y-2x-3 = 0$

Jawaban : C

8. Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen.

Persamaan grafik fungsi invers dari grafik fungsi pada gambar adalah …

A. $y = 2 \log x$

B. $y = -2 \log x$

C. $y = ^2\log x$

D. $y = ^{\frac{1}{2}}\log 2x0$

E. $y = \dfrac{1}{2} \log x0$

Pembahasan

Misal $m = 2^x$

$\log m = \log 2^x$

$\log m = x \log 2$

$\dfrac{\log m}{\log 2} = x$

$x =~ ^2\log m$

Jadi, invers dari fungsi $y=a^x$ adalah $^2\log x$ .

Jawaban : C

9. Diketahui barisan aritmetika dengan $u_n$ adalah suku ke-n. Jika $u_2+u_{15}+u_{40} = 165$ , maka $u_{19} = \ldots$

A. 10

B. 19

C. 28,5

D. 55

E. 82,5

Pembahasan

$u_2+u_{15}+u_{40} = 165$

$(a+b)+(a+14b)+(a+39b) = 165$

$3a+54b = 165$ (bagi 3 kedua ruas)

$a+18b = 55$

$u_{19} = 55$

Jawaban : D

10.Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda 3. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14. Rasio dari barisan tersebut adalah …

A. $4$

B. $2$

C. $\dfrac{1}{2}$

D. $-\dfrac{1}{2}$

E. $-2$

Pembahasan

Misal $x, y$ dan $z$ adalah suku-suku barisan aritmetika. Kemudian $x, y-1$ dan $z$ adalah barisan geometri. Dari barisan aritmetika, diperoleh

$z-y=y-x \Leftrightarrow z-x = 2y$ … (i)

Dari barisan geometri, diperoleh

$x + y-1 + z = 14$

$x + y + z = 15$

Karena $x,y$ dan $z$ adalah 3 suku aritmetika yang berurutan, sehingga dapat dipandang sebagai $x=a-b$ , $y=a$ dan $z=a+b$ . Sehingga diperoleh

$a-b + a + a+b = 15$

$3a = 15 \Rightarrow a=5$

atau $y = 5$

Selanjutnya, disubstitusi ke $x + y + z = 15$ , diperoleh $x + z = 10$ atau $x=10-z$ .

Dari barisan geometri, diperoleh

$\dfrac{y-1}{x} =\dfrac{z}{y-1}$

$\dfrac{5-1}{x} =\dfrac{z}{5-1}$

$xz = 16$

$x(10-x) = 16$

$10x-x^2 = 16$

$x^2-10x+16 = 0$

$(x-2)(x-8) = 0$

$x=2$ atau $x=8$

Karena suku ke-2 yaitu $y=b=5$ dan bedanya positif, maka suku pertama haruslah lebih kecil dari 5. Oleh karena itu, $x=2$ . Jadi, $r = \dfrac{y-1}{x} = \dfrac{5-1}{2} = 2$ .

Jawaban : B

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Sri Muliati pada Metode Newton-Raphson (Newton-…
	Nabilla Setyaningtya… pada Pembahasan TPA USM STAN 2014…
	Daffa pada Pembuktian Rumus Trigonometri…
	Hamuro pada Luas Segiempat Sembarang
	Anggi pada Pembahasan Soal Barisan dan De…
	al pada Metode Secant (Secant Met…
	Invers Matriks… pada Metode Sarrus
	Frans pada Berpapasan dan Menyusul
	Hi! pada Pembahasan Soal Peluang UN…
	Aku pada Pembahasan TPA USM STAN 2013…

Share this:

Sukai ini:

Terkait

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan