Pembahasan Matematika UN SMA 2010 (2)


1.  Suku banyak x^3+2x^2-px+q, jika dibagi (2x-4) bersisa 16 dan jika dibagi (x+2) bersisa  20. Nilai 2p+q = \ldots

A. 17

B. 18

C. 19

D. 20

E. 21

Pembahasan

untuk 2x-4 bersisa 16

f(2) = 2^3+2(2)^2-p(2)+q

16 = 8+8-2p+q

16 = 16-2p+q

2p-q = 0 … (i)

untuk x+2 bersisa 20

f(-2) = (-2)^3+2(-2)^2-p(-2)+q

20 = -8+8+2p+q

20 = 2p+q … (ii)

Eliminasi pers (i) dan (ii)

2p-q = 0

2p+q = 20

————————–  +

4p = 20

p=5

Substitusi p=5 ke pers (i), diperoleh q=10.

Jadi, 2p+q = 2(5)+10 = 20

Jawaban : D

2.  Harga 2 koper dan 5 tas adalah Rp600.000,00 sedangkan harga 3 koper dan 2 tas yang sama adalah Rp570.000,00. Harga sebuah koper dan 2 tas adalah …

A. Rp240.000,00

B. Rp270.000,00

C. Rp330.000,00

D. Rp390.000,00

E. Rp400.000,00

Pembahasan

misal : x = koper dan y = tas.

2x + 5y = 600.000 … (i)

3x + 2y = 570.000 … (ii)

———————————  –

6x + 15y = 1.800.000

6x + 4y = 1.140.000

———————————  –

11y = 660.000 \Rightarrow y = 60.000.

Selanjutnya substitusi y = 60.000 ke 2x + 5y = 600.000, diperoleh x = 150.000.

Didapat x + 2y = 150.000 + 2(60.000) = 270.000.

Jadi, sebuah koper dan 2 tas adalah Rp270.000,00

Jawaban : B

3.  Sebuah perusahaan memproduksi barang dengan 2 model yang dikerjakan dengan dua mesin yaitu mesin A dan mesin B. Produk model I dikerjakan dengan mesin A selama 2 jam dan mesin B selama 1 jam. Produk model II dikerjakan dengan mesin A selama 1 jam dan mesin B selama 5 jam. Waktu kerja mesin A dan B berturut-turut adalah 12 jam per hari dan 15 jam per hari. Keuntungan penjualan produk model I sebesar Rp40.000,00 per unit dan model II Rp10.000,00 unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah …

A. Rp120.000.000,00

B. Rp220.000.000,00

C. Rp240.000.000,00

D. Rp300.000.000,00

E. Rp600.000.000,00

Pembahasan.

Model matematika

Misal : model I = x dan model II = y

2x+y \leq 12 … (i)

x+5y \leq 15 … (ii)

Fungsi tujuan : f(x,y) = 40.000.000x + 10.000.000y.

Substitusi persamaan (ii) ke pers (i), diperoleh

x + 5(12-2x) = 15

\Leftrightarrow x+60-10x = 15

\Leftrightarrow -9x = -45

\Leftrightarrow x = 5

Sehingga didapat y = 12-2x = 2

Diperoleh titik (0,0), (6,0), (0,3) dan (5,2). Substitusi ke fungsi tujuan,

f(0,0) = 40.000(0) + 10.000(0) = 0

f(6,0) = 40.000(6) + 10.000(0) = 240.000

f(0,3) = 40.000(0) + 10.000(3) = 30.000

f(5,2) = 40.000(5) + 10.000(2) = 200.000 + 20.000 = 220.000

Jawaban : C

4.  Diketahui persamaan matriks \begin{pmatrix} x-5&4\\ -5&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4&-1\\ 2&y-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&2\\ -16&5\end{pmatrix}. Perbandingan nilai x dan y adalah …

A. 3 : 1

B. 1 : 3

C. 2 : 1

D. 1 : 2

E. 1 : 1

Pembahasan

\begin{pmatrix} x-5&4\\ -5&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4&-1\\ 2&y-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&2\\ -16&5 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 4x-20+8 & -x+5+4y-4\\ -20+4 & 5+2y-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&2\\ -16&5 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 4x-12 & -x+4y+1\\ -16 & 2y+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&2\\ -16&5 \end{pmatrix}

Diperoleh,

4x-12 = 0 \Leftrightarrow x=3

-x+4y+1 = 2 \Leftrightarrow y=1

2y+3 = 5 \Leftrightarrow y=1

Jadi, x : y = 3 : 1

Jawaban : A

5.  Diketahui koordinat A(0,0,0), B(-1,1,0) dan C(1,-2,2). Jika sudut antara \vec{AB} dan \vec{AC} adalah \alpha maka \cos \alpha = \ldots

A. \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

B. \dfrac{1}{2}

C. 0

D. -\dfrac{1}{2}

E. -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}

Pembahasan

\vec{AB} = B-A = (-1,1,0)

\vec{AC} = C-A = (1,-2,2)

\cos \alpha = \dfrac{\vec{AB} \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}

= \dfrac{(-1,1,0) (1,-2,2)}{\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2} \sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}}

= \dfrac{-1-2}{\sqrt{1+1+0} \sqrt{1+4+4}}

= \dfrac{-3}{\sqrt{2} \sqrt{9}}

= \dfrac{-3}{3\sqrt{2}}

= -\dfrac{1}{2}\sqrt{2}

Jawaban : E

6.  Diketahui titik A(3,2,-1), B(2,1,0) dan C(-1,2,3). Jika \vec{AB} wakil vektor \vec{u} dan \vec{AC} wakil vektor \vec{v} maka proyeksi ortogonal vektor \vec{u} dan \vec{v} adalah …

A. \dfrac{1}{4}(i+j+k)

B. (-i+k)

C. 4(i+k)

D. 4(i+j+k)

E. 4(i+j+k)

Pembahasan

\vec{u} = B-A = (2,1,0)-(3,2,-1) = (-1,-1,1)

\vec{v} = C-A = (-1,2,3)-(3,2,-1) = (-4,0,4)

Proy_u v = \dfrac{u \cdot v}{|v|^2} v

= \dfrac{(-1,-1,1) (-4,0,4)}{(\sqrt{(-4)^2+0^2+2^2})^2} (-4,0,2)

= \dfrac{4+0+4)}{16+0+16} (-4,0,4)

= \dfrac{8}{32} (-4,0,4)

= \dfrac{1}{4} (-4,0,4)

= (-1,0,1)

Jawaban : B

7.  Persamaan bayangan garis y = 2x-3 yang direfleksikan terhadap garis y=-x dan dilanjutkan garis y=x adalah …

A. 2y+x+3=0

B. y+2x-3=0

C. y-2x-3=0

D. 2y+x-3=0

E. 2y-x-3=0

Pembahasan

Pencerminan sumbu X :

\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&-1 \\ -1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} -y\\ -x \end{pmatrix}

Rotasi :

\begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1 &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}

Hasil transformasi :

y''=2x''-3

-y=2(-x)-3

y-2x-3 = 0

Jawaban : C

8.  Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen.un_math_2010_18

Persamaan grafik fungsi invers dari grafik fungsi pada gambar adalah …

A. y = 2 \log x

B. y = -2 \log x

C. y = ^2\log x

D. y = ^{\frac{1}{2}}\log 2x0

E. y = \dfrac{1}{2} \log x0

Pembahasan

Misal m = 2^x

\log m = \log 2^x

\log m = x \log 2

\dfrac{\log m}{\log 2} = x

x =~ ^2\log m

Jadi, invers dari fungsi y=a^x adalah ^2\log x.

Jawaban : C

9.  Diketahui barisan aritmetika dengan u_n adalah suku ke-n. Jika u_2+u_{15}+u_{40} = 165, maka u_{19} = \ldots

A. 10

B. 19

C. 28,5

D. 55

E. 82,5

Pembahasan

u_2+u_{15}+u_{40} = 165

(a+b)+(a+14b)+(a+39b) = 165

3a+54b = 165 (bagi 3 kedua ruas)

a+18b = 55

u_{19} = 55

Jawaban : D

10.Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda 3. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14. Rasio dari barisan tersebut adalah …

A. 4

B. 2

C. \dfrac{1}{2}

D. -\dfrac{1}{2}

E. -2

Pembahasan

Misal x, y dan z adalah suku-suku barisan aritmetika. Kemudian x, y-1 dan z adalah barisan geometri. Dari barisan aritmetika, diperoleh

z-y=y-x \Leftrightarrow z-x = 2y … (i)

Dari barisan geometri, diperoleh

x + y-1 + z = 14

x + y + z = 15

Karena x,y dan z adalah 3 suku aritmetika yang berurutan, sehingga dapat dipandang sebagai x=a-b, y=a dan z=a+b. Sehingga diperoleh

a-b + a + a+b = 15

3a = 15 \Rightarrow a=5

atau y = 5

Selanjutnya, disubstitusi ke x + y + z = 15, diperoleh x + z = 10 atau x=10-z.

Dari barisan geometri, diperoleh

\dfrac{y-1}{x} =\dfrac{z}{y-1}

\dfrac{5-1}{x} =\dfrac{z}{5-1}

xz = 16

x(10-x) = 16

10x-x^2 = 16

x^2-10x+16 = 0

(x-2)(x-8) = 0

x=2 atau x=8

Karena suku ke-2 yaitu y=b=5 dan bedanya positif, maka suku pertama haruslah lebih kecil dari 5. Oleh karena itu, x=2. Jadi, r = \dfrac{y-1}{x} = \dfrac{5-1}{2} = 2.

Jawaban : B

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s