Pembahasan Matematika UN SMA 2011 (4)


1.  Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar (9000+1000x+10x^2) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah …

A. Rp149.000,00

B. Rp249.000,00

C. Rp391.000,00

D. Rp609.000,00

E. Rp757.000,00

Pembahasan

Diketahui : harga jual per biji Rp5.000 dan biaya x produk adalah 9000+1000x+10x^2

Laba = Harga jual – biaya produksi

L(x) = 5.000x-(9.000 + 1.000x + 10x^2) = -9.000+4.000x-10x^2

L'(x) = 4.000-20x = 0

\Leftrightarrow x = 200

Jadi, laba maksimumnya adalah

L(200) = -9.000+4.000(200)-10(200)^2

= -9.000+800.000-400.000

= 391.000

Jawaban : C

2.  Dalam suatu lingkaran berjari-jari 8 cm, dibuat segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut adalah …

A. \sqrt{128-64\sqrt{3}}

B. \sqrt{128-64\sqrt{2}}

C. \sqrt{128-16\sqrt{2}}

D. \sqrt{128+16\sqrt{2}}

E. \sqrt{128+16\sqrt{3}}

Pembahasan

Karena segi-8, maka sudut pusat atau sudut puncak segi tiganya adalah \dfrac{360^0}{8} = 45^0. Disini kita akan memanfaatkan Aturan Cosinus. Perhatikan segitiga berikut

 un_math_2011_32

dengan panjang b dan c adalah jari-jari lingkaran.

a^2 = b^2+c^2-2bc \cos 45^0

= 8^2+8^2-2(8)(8) \cos 45^0)

= 64+64-2(64) \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

= 128-64\sqrt{2}

a = \sqrt{128-64\sqrt{2}}

Jawaban : B

3.  Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AB = 4~cm, BC = 6~cm, AC = 2\sqrt{7}~cm dan CF = 8~cm. Volume prisma tersebut adalah …

A. 96\sqrt{3}~cm^3

B. 96\sqrt{2}~cm^3

C. 96~cm^3

D. 48\sqrt{3}~cm^3

E. 48\sqrt{2}~cm^3

Pembahasan

un_math_2011_33Untuk mencari luas alas atau segitiga, akan dimanfaatkan Aturan Cosinus dan Aturan Sinus. Perhatikan

\cos \angle ABC = \dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.AB.BC}

= \dfrac{4^2+6^2-(2\sqrt{7})^2}{2.4.6}

= \dfrac{16+36-28}{48}

= \dfrac{24}{48} = \dfrac{1}{2}

\angle ABC = 60^0

Luas  = \dfrac{1}{2} AB.BC \sin 60^0

= \dfrac{1}{2} 4.6 \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

= 6 \sqrt{3}

Volume = luas alas x tinggi

= 6 \sqrt{3} \times 8

= 48 \sqrt{3}

Jawaban : D

4.  Himpunan penyelesaian persamaan \cos 2x +\cos x = 0 untuk 0^0<x<180^0 adalah …

A. \{ 45^0, 120^0 \}

B. \{ 45^0, 135^0 \}

C. \{ 60^0, 135^0 \}

D. \{ 60^0, 120^0 \}

E. \{ 60^0, 180^0 \}

Pembahasan

\cos 2x +\cos x = 0

\cos^2 x -\sin^2 x + \cos x = 0

\cos^2 x -(1-\cos^2 x) + \cos x = 0

2 \cos^2 x + \cos x -1 = 0

(2\cos x -1)(\cos x + 1)

\cos x = \dfrac{1}{2} atau \cos x = -1

a. untuk \cos x = \dfrac{1}{2}, diperoleh x = \{ 60^0, 120^0 \}.

b. untuk \cos x = -1, diperoleh x = \{ 90^0 \}.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \{ 60^0, 90^0, 120^0 \}

Jawaban : D

5.  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah …

A. 4\sqrt{6}~cm

B. 4\sqrt{5}~cm

C. 4\sqrt{3}~cm

D. 4\sqrt{2}~cm

E. 4~cm

Pembahasan

un_math_2011_35Perhatikan segitiga AEM

AM = \sqrt{AE^2+EM^2}

AM = \sqrt{AE^2+\left( \dfrac{1}{2}EH \right)^2}

= \sqrt{8^2+4^2}

= \sqrt{64+16}

= \sqrt{80}

= \sqrt{2.2.2.2.5} = 4\sqrt{5}

Perhatikan segitiga GHM

MG = \sqrt{GH^2+HM^2}

AM = \sqrt{GH^2+\left( \dfrac{1}{2}EH \right)^2}

= \sqrt{8^2+4^2}

= \sqrt{64+16}

= \sqrt{80}

= \sqrt{2.2.2.2.5} = 4\sqrt{5}

Karena AM=GM, dapat disimpulkan bahwa segitiga AMG adalah segitiga sama kaki. Sehingga jarak titik M ke AG adalah tinggi segitiga AMG dengan AG sebagai alasnya atau panjang MN.

MN = \sqrt{MG^2-GN^2}

AM = \sqrt{MG^2+\left( \dfrac{1}{2}AG \right)^2}

= \sqrt{80-\left( 4\sqrt{3} \right)^2}

= \sqrt{80-48}

= \sqrt{32} = 4\sqrt{2}

Jawaban : D

6.  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antar garis GC dan bidang BDG adalah …

A. \dfrac{1}{3} \sqrt{6}

B. \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

C. \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

D. \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

E. \dfrac{1}{3} \sqrt{2}

Pembahasan

Pertama buat titik bantuan, yaitu titik O yang merupakan titik pusat antara garis AC dan BD. Sehingga diperoleh segitiga GOC. Jadi, cosinus sudut antara GC dan BDG adalah \cos \angle CGO pada segitiga GOC. Perhatikanun_math_2011_36png

OC = 5\sqrt{2}

GO = \sqrt{OC^2 + GC^2}

= \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + 10^2}

= \sqrt{50+100}

= \sqrt{150}

= \sqrt{2.3.5.5} = 5\sqrt{6}

\cos \angle EPG = \dfrac{CG}{OG}

= \dfrac{10}{5\sqrt{6}}

= \dfrac{2}{\sqrt{6}}

= \dfrac{1}{3} \sqrt{6}

Jawaban : A

7.  Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x^2, garis y=2x di kuadran I d putar 360^0 terhadap sumbu X adalah …

A. \dfrac{20}{15} \pi satuan volume

B. \dfrac{30}{15} \pi satuan volume

C. \dfrac{54}{15} \pi satuan volume

D. \dfrac{64}{15} \pi satuan volume

E. \dfrac{144}{15} \pi satuan volume

Pembahasan.

un_math_2011_37Batas-batas : y_1=y_2

x^2 = 2x

x^2-2x = 0

x(x-2) = 0

Jadi, batas-batasnya adalah x_1=0 dan x_2=2.

Volume = \pi \int_{0}^2 (y_1^2-y_2^2) ~dx

= \pi \int_{0}^2 ((x^2)^2-(2x))^2) ~dx

= \pi \int_{0}^2 (x^4-4x^2) ~dx

= \pi \left( \dfrac{1}{5}x^5 -\dfrac{4}{3}x^3 \right) \mid_{0}^2

= \pi \left[ \left( \dfrac{1}{5}2^5 -\dfrac{4}{3}2^3 \right) -\left( \dfrac{1}{5}(0)^5 + \dfrac{4}{3}(0)^3 \right) \right]

= \left( \dfrac{32}{5} -\dfrac{32}{3} \right) \pi

= \left( \dfrac{96}{15}-\dfrac{160}{15} \right) \pi

= -\dfrac{64}{5} \pi

= \dfrac{64}{15} \pi

Jawaban : D

8.  Nilai dari \int \cos^4 2x \sin 2x~dx = \ldots

A. -\dfrac{1}{10} \sin^5 2x + C

B. -\dfrac{1}{10} \cos^5 2x + C

C. -\dfrac{1}{5} \cos^5 2x + C

D. \dfrac{1}{5} \cos^5 2x + C

E. \dfrac{1}{10} \sin^5 2x + C

Pembahasan

misal u = \cos 2x

du = - \sin 2x ~dx \Rightarrow \sin 2x ~dx = -\dfrac{1}{2} du

\int \cos^4 2x \sin 2x~dx = \int u^4 \left( -\dfrac{1}{2} du \right)

= -\dfrac{1}{2} \dfrac{1}{5} u^5 + C

= -\dfrac{1}{10} \cos^5 2x + C

Jawaban : C

9.  Hasil \int \dfrac{2x+3}{\sqrt{3x^2+9x-1}} dx = \ldots

A. 2\sqrt{3x^2+9x-6}

B. \dfrac{1}{3} \sqrt{3x^2+9x-6}

C. \dfrac{2}{3} \sqrt{3x^2+9x-6}

D. \dfrac{1}{2} \sqrt{3x^2+9x-6}

E. \dfrac{3}{2} \sqrt{3x^2+9x-6}

Pembahasan

misal : u = 3x^2+9x-1

du = 6x+9~dx \Rightarrow du = \dfrac{1}{3}(2x+3) dx

\int \dfrac{2x+3}{\sqrt{3x^2+9x-1}} dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{u}} ~ (3du)

= \int \dfrac{1}{3} u^{-1/2} ~du

= \dfrac{2}{3} u^{1/2}

= \dfrac{2}{3} \sqrt{3x^2+9x-6}

Jawaban : C

10.Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4-x^2, y=-x+2 dan 0 \leq x \leq 2 adalah …

A. \dfrac{8}{3} satuan luas

B. \dfrac{10}{3} satuan luas

C. \dfrac{14}{3} satuan luas

D. \dfrac{16}{3} satuan luas

E. \dfrac{26}{3} satuan luas

Pembahasan.

un_math_2011_40Menentukan batas-batas.

y_1 = y_2

-x+2 =4-x^2

x^2-x-2 = 0

(x-2)(x+1) = 0

Karena dibatasi juga oleh 0 \leq x \leq 2, maka batas-batasnya adalah x_1 = 0 dan x_2=2.

L = \int_{0}^2 (x^2-x-2) ~dx

= \left( \dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-2x \right) |_{0}^2

= \left( \dfrac{1}{3}2^3-\dfrac{1}{2}2^2-2(2) \right)- \left(\dfrac{1}{3}0^3-\dfrac{1}{2}0^2-2(0) \right)

= \dfrac{8}{3}-2-4

= \dfrac{8}{3}-\dfrac{18}{3}

= -\dfrac{10}{3}

Jawaban : B

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

One comment on “Pembahasan Matematika UN SMA 2011 (4)

  1. Ping-balik: Aturan Kosinus | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s