Apr 19 2014

Pembahasan Matematika UN SMA 2011 (4)

1. Suatu perusahaan menghasilkan $x$ produk dengan biaya sebesar $(9000+1000x+10x^2)$ rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah …

A. Rp149.000,00

B. Rp249.000,00

C. Rp391.000,00

D. Rp609.000,00

E. Rp757.000,00

Pembahasan

Diketahui : harga jual per biji Rp5.000 dan biaya $x$ produk adalah $9000+1000x+10x^2$

Laba = Harga jual – biaya produksi

$L(x) = 5.000x-(9.000 + 1.000x + 10x^2) = -9.000+4.000x-10x^2$

$L'(x) = 4.000-20x = 0$

$\Leftrightarrow x = 200$

Jadi, laba maksimumnya adalah

$L(200) = -9.000+4.000(200)-10(200)^2$

$= -9.000+800.000-400.000$

$= 391.000$

Jawaban : C

2. Dalam suatu lingkaran berjari-jari 8 cm, dibuat segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut adalah …

A. $\sqrt{128-64\sqrt{3}}$

B. $\sqrt{128-64\sqrt{2}}$

C. $\sqrt{128-16\sqrt{2}}$

D. $\sqrt{128+16\sqrt{2}}$

E. $\sqrt{128+16\sqrt{3}}$

Pembahasan

Karena segi-8, maka sudut pusat atau sudut puncak segi tiganya adalah $\dfrac{360^0}{8} = 45^0$ . Disini kita akan memanfaatkan Aturan Cosinus. Perhatikan segitiga berikut

dengan panjang $b$ dan $c$ adalah jari-jari lingkaran.

$a^2 = b^2+c^2-2bc \cos 45^0$

$= 8^2+8^2-2(8)(8) \cos 45^0)$

$= 64+64-2(64) \dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

$= 128-64\sqrt{2}$

$a = \sqrt{128-64\sqrt{2}}$

Jawaban : B

3. Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang $AB = 4~cm$ , $BC = 6~cm$ , $AC = 2\sqrt{7}~cm$ dan $CF = 8~cm$ . Volume prisma tersebut adalah …

A. $96\sqrt{3}~cm^3$

B. $96\sqrt{2}~cm^3$

C. $96~cm^3$

D. $48\sqrt{3}~cm^3$

E. $48\sqrt{2}~cm^3$

Pembahasan

Untuk mencari luas alas atau segitiga, akan dimanfaatkan Aturan Cosinus dan Aturan Sinus. Perhatikan

$\cos \angle ABC = \dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.AB.BC}$

$= \dfrac{4^2+6^2-(2\sqrt{7})^2}{2.4.6}$

$= \dfrac{16+36-28}{48}$

$= \dfrac{24}{48} = \dfrac{1}{2}$

$\angle ABC = 60^0$

Luas = $\dfrac{1}{2} AB.BC \sin 60^0$

= $\dfrac{1}{2} 4.6 \dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

= $6 \sqrt{3}$

Volume = luas alas x tinggi

= $6 \sqrt{3} \times 8$

= $48 \sqrt{3}$

Jawaban : D

4. Himpunan penyelesaian persamaan $\cos 2x +\cos x = 0$ untuk $0^0<x<180^0$ adalah …

A. $\{ 45^0, 120^0 \}$

B. $\{ 45^0, 135^0 \}$

C. $\{ 60^0, 135^0 \}$

D. $\{ 60^0, 120^0 \}$

E. $\{ 60^0, 180^0 \}$

Pembahasan

$\cos 2x +\cos x = 0$

$\cos^2 x -\sin^2 x + \cos x = 0$

$\cos^2 x -(1-\cos^2 x) + \cos x = 0$

$2 \cos^2 x + \cos x -1 = 0$

$(2\cos x -1)(\cos x + 1)$

$\cos x = \dfrac{1}{2}$ atau $\cos x = -1$

a. untuk $\cos x = \dfrac{1}{2}$ , diperoleh $x = \{ 60^0, 120^0 \}$ .

b. untuk $\cos x = -1$ , diperoleh $x = \{ 90^0 \}$ .

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{ 60^0, 90^0, 120^0 \}$

Jawaban : D

5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah …

A. $4\sqrt{6}~cm$

B. $4\sqrt{5}~cm$

C. $4\sqrt{3}~cm$

D. $4\sqrt{2}~cm$

E. $4~cm$

Pembahasan

Perhatikan segitiga AEM

$AM = \sqrt{AE^2+EM^2}$

$AM = \sqrt{AE^2+\left( \dfrac{1}{2}EH \right)^2}$

$= \sqrt{8^2+4^2}$

$= \sqrt{64+16}$

$= \sqrt{80}$

$= \sqrt{2.2.2.2.5} = 4\sqrt{5}$

Perhatikan segitiga GHM

$MG = \sqrt{GH^2+HM^2}$

$AM = \sqrt{GH^2+\left( \dfrac{1}{2}EH \right)^2}$

$= \sqrt{8^2+4^2}$

$= \sqrt{64+16}$

$= \sqrt{80}$

$= \sqrt{2.2.2.2.5} = 4\sqrt{5}$

Karena $AM=GM$ , dapat disimpulkan bahwa segitiga AMG adalah segitiga sama kaki. Sehingga jarak titik M ke AG adalah tinggi segitiga AMG dengan AG sebagai alasnya atau panjang MN.

$MN = \sqrt{MG^2-GN^2}$

$AM = \sqrt{MG^2+\left( \dfrac{1}{2}AG \right)^2}$

$= \sqrt{80-\left( 4\sqrt{3} \right)^2}$

$= \sqrt{80-48}$

$= \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

Jawaban : D

6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antar garis GC dan bidang BDG adalah …

A. $\dfrac{1}{3} \sqrt{6}$

B. $\dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

C. $\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

D. $\dfrac{1}{3} \sqrt{3}$

E. $\dfrac{1}{3} \sqrt{2}$

Pembahasan

Pertama buat titik bantuan, yaitu titik O yang merupakan titik pusat antara garis AC dan BD. Sehingga diperoleh segitiga GOC. Jadi, cosinus sudut antara GC dan BDG adalah $\cos \angle CGO$ pada segitiga GOC. Perhatikan

$OC = 5\sqrt{2}$

$GO = \sqrt{OC^2 + GC^2}$

$= \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + 10^2}$

$= \sqrt{50+100}$

$= \sqrt{150}$

$= \sqrt{2.3.5.5} = 5\sqrt{6}$

$\cos \angle EPG = \dfrac{CG}{OG}$

$= \dfrac{10}{5\sqrt{6}}$

$= \dfrac{2}{\sqrt{6}}$

$= \dfrac{1}{3} \sqrt{6}$

Jawaban : A

7. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2$ , garis $y=2x$ di kuadran I d putar $360^0$ terhadap sumbu $X$ adalah …

A. $\dfrac{20}{15} \pi$ satuan volume

B. $\dfrac{30}{15} \pi$ satuan volume

C. $\dfrac{54}{15} \pi$ satuan volume

D. $\dfrac{64}{15} \pi$ satuan volume

E. $\dfrac{144}{15} \pi$ satuan volume

Pembahasan.

Batas-batas : $y_1=y_2$

$x^2 = 2x$

$x^2-2x = 0$

$x(x-2) = 0$

Jadi, batas-batasnya adalah $x_1=0$ dan $x_2=2$ .

Volume = $\pi \int_{0}^2 (y_1^2-y_2^2) ~dx$

= $\pi \int_{0}^2 ((x^2)^2-(2x))^2) ~dx$

= $\pi \int_{0}^2 (x^4-4x^2) ~dx$

= $\pi \left( \dfrac{1}{5}x^5 -\dfrac{4}{3}x^3 \right) \mid_{0}^2$

= $\pi \left[ \left( \dfrac{1}{5}2^5 -\dfrac{4}{3}2^3 \right) -\left( \dfrac{1}{5}(0)^5 + \dfrac{4}{3}(0)^3 \right) \right]$

= $\left( \dfrac{32}{5} -\dfrac{32}{3} \right) \pi$

= $\left( \dfrac{96}{15}-\dfrac{160}{15} \right) \pi$

= $-\dfrac{64}{5} \pi$

= $\dfrac{64}{15} \pi$

Jawaban : D

8. Nilai dari $\int \cos^4 2x \sin 2x~dx = \ldots$

A. $-\dfrac{1}{10} \sin^5 2x + C$

B. $-\dfrac{1}{10} \cos^5 2x + C$

C. $-\dfrac{1}{5} \cos^5 2x + C$

D. $\dfrac{1}{5} \cos^5 2x + C$

E. $\dfrac{1}{10} \sin^5 2x + C$

Pembahasan

misal $u = \cos 2x$

$du = - \sin 2x ~dx \Rightarrow \sin 2x ~dx = -\dfrac{1}{2} du$

$\int \cos^4 2x \sin 2x~dx = \int u^4 \left( -\dfrac{1}{2} du \right)$

$= -\dfrac{1}{2} \dfrac{1}{5} u^5 + C$

$= -\dfrac{1}{10} \cos^5 2x + C$

Jawaban : C

9. Hasil $\int \dfrac{2x+3}{\sqrt{3x^2+9x-1}} dx = \ldots$

A. $2\sqrt{3x^2+9x-6}$

B. $\dfrac{1}{3} \sqrt{3x^2+9x-6}$

C. $\dfrac{2}{3} \sqrt{3x^2+9x-6}$

D. $\dfrac{1}{2} \sqrt{3x^2+9x-6}$

E. $\dfrac{3}{2} \sqrt{3x^2+9x-6}$

Pembahasan

misal : $u = 3x^2+9x-1$

$du = 6x+9~dx \Rightarrow du = \dfrac{1}{3}(2x+3) dx$

$\int \dfrac{2x+3}{\sqrt{3x^2+9x-1}} dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{u}} ~ (3du)$

$= \int \dfrac{1}{3} u^{-1/2} ~du$

$= \dfrac{2}{3} u^{1/2}$

$= \dfrac{2}{3} \sqrt{3x^2+9x-6}$

Jawaban : C

10.Luas daerah yang dibatasi kurva $y = 4-x^2$ , $y=-x+2$ dan $0 \leq x \leq 2$ adalah …

A. $\dfrac{8}{3}$ satuan luas

B. $\dfrac{10}{3}$ satuan luas

C. $\dfrac{14}{3}$ satuan luas

D. $\dfrac{16}{3}$ satuan luas

E. $\dfrac{26}{3}$ satuan luas

Pembahasan.

Menentukan batas-batas.

$y_1 = y_2$

$-x+2 =4-x^2$

$x^2-x-2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

Karena dibatasi juga oleh $0 \leq x \leq 2$ , maka batas-batasnya adalah $x_1 = 0$ dan $x_2=2$ .

$L = \int_{0}^2 (x^2-x-2) ~dx$

$= \left( \dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-2x \right) |_{0}^2$

$= \left( \dfrac{1}{3}2^3-\dfrac{1}{2}2^2-2(2) \right)- \left(\dfrac{1}{3}0^3-\dfrac{1}{2}0^2-2(0) \right)$

$= \dfrac{8}{3}-2-4$

$= \dfrac{8}{3}-\dfrac{18}{3}$

$= -\dfrac{10}{3}$

Jawaban : B

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

One comment on “Pembahasan Matematika UN SMA 2011 (4)”

Ping-balik: Aturan Kosinus | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	Ming Ari pada Teknik Integral : Integral Fun…
	Taufiqur pada Koleksi Buku
	Subhan pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Domain Dan Kodomain pada Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan…
	Kshaarii12 pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Naysilla Ramadhani pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Fauzan Alfikri pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Dwi Lestari pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Amaludin pada Soal dan Pembahasan Tes Kemamp…
	Shasa pada Tanya Jawab MATEMATIKA

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

One comment on “Pembahasan Matematika UN SMA 2011 (4)”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan