Pembahasan Matematika UN SMA 2011 (4)


1.  Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar (9000+1000x+10x^2) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah …

A. Rp149.000,00

B. Rp249.000,00

C. Rp391.000,00

D. Rp609.000,00

E. Rp757.000,00

Pembahasan

Diketahui : harga jual per biji Rp5.000 dan biaya x produk adalah 9000+1000x+10x^2

Laba = Harga jual – biaya produksi

L(x) = 5.000x-(9.000 + 1.000x + 10x^2) = -9.000+4.000x-10x^2

L'(x) = 4.000-20x = 0

\Leftrightarrow x = 200

Jadi, laba maksimumnya adalah

L(200) = -9.000+4.000(200)-10(200)^2

= -9.000+800.000-400.000

= 391.000

Jawaban : C

2.  Dalam suatu lingkaran berjari-jari 8 cm, dibuat segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut adalah …

A. \sqrt{128-64\sqrt{3}}

B. \sqrt{128-64\sqrt{2}}

C. \sqrt{128-16\sqrt{2}}

D. \sqrt{128+16\sqrt{2}}

E. \sqrt{128+16\sqrt{3}}

Pembahasan

Karena segi-8, maka sudut pusat atau sudut puncak segi tiganya adalah \dfrac{360^0}{8} = 45^0. Disini kita akan memanfaatkan Aturan Cosinus. Perhatikan segitiga berikut

 un_math_2011_32

dengan panjang b dan c adalah jari-jari lingkaran.

a^2 = b^2+c^2-2bc \cos 45^0

= 8^2+8^2-2(8)(8) \cos 45^0)

= 64+64-2(64) \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

= 128-64\sqrt{2}

a = \sqrt{128-64\sqrt{2}}

Jawaban : B

3.  Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AB = 4~cm, BC = 6~cm, AC = 2\sqrt{7}~cm dan CF = 8~cm. Volume prisma tersebut adalah …

A. 96\sqrt{3}~cm^3

B. 96\sqrt{2}~cm^3

C. 96~cm^3

D. 48\sqrt{3}~cm^3

E. 48\sqrt{2}~cm^3

Pembahasan

un_math_2011_33Untuk mencari luas alas atau segitiga, akan dimanfaatkan Aturan Cosinus dan Aturan Sinus. Perhatikan

\cos \angle ABC = \dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.AB.BC}

= \dfrac{4^2+6^2-(2\sqrt{7})^2}{2.4.6}

= \dfrac{16+36-28}{48}

= \dfrac{24}{48} = \dfrac{1}{2}

\angle ABC = 60^0

Luas  = \dfrac{1}{2} AB.BC \sin 60^0

= \dfrac{1}{2} 4.6 \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

= 6 \sqrt{3}

Volume = luas alas x tinggi

= 6 \sqrt{3} \times 8

= 48 \sqrt{3}

Jawaban : D

4.  Himpunan penyelesaian persamaan \cos 2x +\cos x = 0 untuk 0^0<x<180^0 adalah …

A. \{ 45^0, 120^0 \}

B. \{ 45^0, 135^0 \}

C. \{ 60^0, 135^0 \}

D. \{ 60^0, 120^0 \}

E. \{ 60^0, 180^0 \}

Pembahasan

\cos 2x +\cos x = 0

\cos^2 x -\sin^2 x + \cos x = 0

\cos^2 x -(1-\cos^2 x) + \cos x = 0

2 \cos^2 x + \cos x -1 = 0

(2\cos x -1)(\cos x + 1)

\cos x = \dfrac{1}{2} atau \cos x = -1

a. untuk \cos x = \dfrac{1}{2}, diperoleh x = \{ 60^0, 120^0 \}.

b. untuk \cos x = -1, diperoleh x = \{ 90^0 \}.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \{ 60^0, 90^0, 120^0 \}

Jawaban : D

5.  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah …

A. 4\sqrt{6}~cm

B. 4\sqrt{5}~cm

C. 4\sqrt{3}~cm

D. 4\sqrt{2}~cm

E. 4~cm

Pembahasan

un_math_2011_35Perhatikan segitiga AEM

AM = \sqrt{AE^2+EM^2}

AM = \sqrt{AE^2+\left( \dfrac{1}{2}EH \right)^2}

= \sqrt{8^2+4^2}

= \sqrt{64+16}

= \sqrt{80}

= \sqrt{2.2.2.2.5} = 4\sqrt{5}

Perhatikan segitiga GHM

MG = \sqrt{GH^2+HM^2}

AM = \sqrt{GH^2+\left( \dfrac{1}{2}EH \right)^2}

= \sqrt{8^2+4^2}

= \sqrt{64+16}

= \sqrt{80}

= \sqrt{2.2.2.2.5} = 4\sqrt{5}

Karena AM=GM, dapat disimpulkan bahwa segitiga AMG adalah segitiga sama kaki. Sehingga jarak titik M ke AG adalah tinggi segitiga AMG dengan AG sebagai alasnya atau panjang MN.

MN = \sqrt{MG^2-GN^2}

AM = \sqrt{MG^2+\left( \dfrac{1}{2}AG \right)^2}

= \sqrt{80-\left( 4\sqrt{3} \right)^2}

= \sqrt{80-48}

= \sqrt{32} = 4\sqrt{2}

Jawaban : D

6.  Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antar garis GC dan bidang BDG adalah …

A. \dfrac{1}{3} \sqrt{6}

B. \dfrac{1}{2} \sqrt{3}

C. \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

D. \dfrac{1}{3} \sqrt{3}

E. \dfrac{1}{3} \sqrt{2}

Pembahasan

Pertama buat titik bantuan, yaitu titik O yang merupakan titik pusat antara garis AC dan BD. Sehingga diperoleh segitiga GOC. Jadi, cosinus sudut antara GC dan BDG adalah \cos \angle CGO pada segitiga GOC. Perhatikanun_math_2011_36png

OC = 5\sqrt{2}

GO = \sqrt{OC^2 + GC^2}

= \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + 10^2}

= \sqrt{50+100}

= \sqrt{150}

= \sqrt{2.3.5.5} = 5\sqrt{6}

\cos \angle EPG = \dfrac{CG}{OG}

= \dfrac{10}{5\sqrt{6}}

= \dfrac{2}{\sqrt{6}}

= \dfrac{1}{3} \sqrt{6}

Jawaban : A

7.  Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x^2, garis y=2x di kuadran I d putar 360^0 terhadap sumbu X adalah …

A. \dfrac{20}{15} \pi satuan volume

B. \dfrac{30}{15} \pi satuan volume

C. \dfrac{54}{15} \pi satuan volume

D. \dfrac{64}{15} \pi satuan volume

E. \dfrac{144}{15} \pi satuan volume

Pembahasan.

un_math_2011_37Batas-batas : y_1=y_2

x^2 = 2x

x^2-2x = 0

x(x-2) = 0

Jadi, batas-batasnya adalah x_1=0 dan x_2=2.

Volume = \pi \int_{0}^2 (y_1^2-y_2^2) ~dx

= \pi \int_{0}^2 ((x^2)^2-(2x))^2) ~dx

= \pi \int_{0}^2 (x^4-4x^2) ~dx

= \pi \left( \dfrac{1}{5}x^5 -\dfrac{4}{3}x^3 \right) \mid_{0}^2

= \pi \left[ \left( \dfrac{1}{5}2^5 -\dfrac{4}{3}2^3 \right) -\left( \dfrac{1}{5}(0)^5 + \dfrac{4}{3}(0)^3 \right) \right]

= \left( \dfrac{32}{5} -\dfrac{32}{3} \right) \pi

= \left( \dfrac{96}{15}-\dfrac{160}{15} \right) \pi

= -\dfrac{64}{5} \pi

= \dfrac{64}{15} \pi

Jawaban : D

8.  Nilai dari \int \cos^4 2x \sin 2x~dx = \ldots

A. -\dfrac{1}{10} \sin^5 2x + C

B. -\dfrac{1}{10} \cos^5 2x + C

C. -\dfrac{1}{5} \cos^5 2x + C

D. \dfrac{1}{5} \cos^5 2x + C

E. \dfrac{1}{10} \sin^5 2x + C

Pembahasan

misal u = \cos 2x

du = - \sin 2x ~dx \Rightarrow \sin 2x ~dx = -\dfrac{1}{2} du

\int \cos^4 2x \sin 2x~dx = \int u^4 \left( -\dfrac{1}{2} du \right)

= -\dfrac{1}{2} \dfrac{1}{5} u^5 + C

= -\dfrac{1}{10} \cos^5 2x + C

Jawaban : C

9.  Hasil \int \dfrac{2x+3}{\sqrt{3x^2+9x-1}} dx = \ldots

A. 2\sqrt{3x^2+9x-6}

B. \dfrac{1}{3} \sqrt{3x^2+9x-6}

C. \dfrac{2}{3} \sqrt{3x^2+9x-6}

D. \dfrac{1}{2} \sqrt{3x^2+9x-6}

E. \dfrac{3}{2} \sqrt{3x^2+9x-6}

Pembahasan

misal : u = 3x^2+9x-1

du = 6x+9~dx \Rightarrow du = \dfrac{1}{3}(2x+3) dx

\int \dfrac{2x+3}{\sqrt{3x^2+9x-1}} dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{u}} ~ (3du)

= \int \dfrac{1}{3} u^{-1/2} ~du

= \dfrac{2}{3} u^{1/2}

= \dfrac{2}{3} \sqrt{3x^2+9x-6}

Jawaban : C

10.Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4-x^2, y=-x+2 dan 0 \leq x \leq 2 adalah …

A. \dfrac{8}{3} satuan luas

B. \dfrac{10}{3} satuan luas

C. \dfrac{14}{3} satuan luas

D. \dfrac{16}{3} satuan luas

E. \dfrac{26}{3} satuan luas

Pembahasan.

un_math_2011_40Menentukan batas-batas.

y_1 = y_2

-x+2 =4-x^2

x^2-x-2 = 0

(x-2)(x+1) = 0

Karena dibatasi juga oleh 0 \leq x \leq 2, maka batas-batasnya adalah x_1 = 0 dan x_2=2.

L = \int_{0}^2 (x^2-x-2) ~dx

= \left( \dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-2x \right) |_{0}^2

= \left( \dfrac{1}{3}2^3-\dfrac{1}{2}2^2-2(2) \right)- \left(\dfrac{1}{3}0^3-\dfrac{1}{2}0^2-2(0) \right)

= \dfrac{8}{3}-2-4

= \dfrac{8}{3}-\dfrac{18}{3}

= -\dfrac{10}{3}

Jawaban : B

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

One comment on “Pembahasan Matematika UN SMA 2011 (4)

  1. Ping-balik: Aturan Kosinus | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s