Pembahasan Matematika UN SMA 2011 (4)

1. Suatu perusahaan menghasilkan $x$ produk dengan biaya sebesar $(9000+1000x+10x^2)$ rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah …

A. Rp149.000,00

B. Rp249.000,00

C. Rp391.000,00

D. Rp609.000,00

E. Rp757.000,00

Pembahasan

Diketahui : harga jual per biji Rp5.000 dan biaya $x$ produk adalah $9000+1000x+10x^2$

Laba = Harga jual – biaya produksi

$L(x) = 5.000x-(9.000 + 1.000x + 10x^2) = -9.000+4.000x-10x^2$

$L'(x) = 4.000-20x = 0$

$\Leftrightarrow x = 200$

Jadi, laba maksimumnya adalah

$L(200) = -9.000+4.000(200)-10(200)^2$

$= -9.000+800.000-400.000$

$= 391.000$

Jawaban : C

2. Dalam suatu lingkaran berjari-jari 8 cm, dibuat segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut adalah …

A. $\sqrt{128-64\sqrt{3}}$

B. $\sqrt{128-64\sqrt{2}}$

C. $\sqrt{128-16\sqrt{2}}$

D. $\sqrt{128+16\sqrt{2}}$

E. $\sqrt{128+16\sqrt{3}}$

Pembahasan

Karena segi-8, maka sudut pusat atau sudut puncak segi tiganya adalah $\dfrac{360^0}{8} = 45^0$ . Disini kita akan memanfaatkan Aturan Cosinus. Perhatikan segitiga berikut

dengan panjang $b$ dan $c$ adalah jari-jari lingkaran.

$a^2 = b^2+c^2-2bc \cos 45^0$

$= 8^2+8^2-2(8)(8) \cos 45^0)$

$= 64+64-2(64) \dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

$= 128-64\sqrt{2}$

$a = \sqrt{128-64\sqrt{2}}$

Jawaban : B

3. Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang $AB = 4~cm$ , $BC = 6~cm$ , $AC = 2\sqrt{7}~cm$ dan $CF = 8~cm$ . Volume prisma tersebut adalah …

A. $96\sqrt{3}~cm^3$

B. $96\sqrt{2}~cm^3$

C. $96~cm^3$

D. $48\sqrt{3}~cm^3$

E. $48\sqrt{2}~cm^3$

Pembahasan

Untuk mencari luas alas atau segitiga, akan dimanfaatkan Aturan Cosinus dan Aturan Sinus. Perhatikan

$\cos \angle ABC = \dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.AB.BC}$

$= \dfrac{4^2+6^2-(2\sqrt{7})^2}{2.4.6}$

$= \dfrac{16+36-28}{48}$

$= \dfrac{24}{48} = \dfrac{1}{2}$

$\angle ABC = 60^0$

Luas = $\dfrac{1}{2} AB.BC \sin 60^0$

= $\dfrac{1}{2} 4.6 \dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

= $6 \sqrt{3}$

Volume = luas alas x tinggi

= $6 \sqrt{3} \times 8$

= $48 \sqrt{3}$

Jawaban : D

4. Himpunan penyelesaian persamaan $\cos 2x +\cos x = 0$ untuk $0^0<x<180^0$ adalah …

A. $\{ 45^0, 120^0 \}$

B. $\{ 45^0, 135^0 \}$

C. $\{ 60^0, 135^0 \}$

D. $\{ 60^0, 120^0 \}$

E. $\{ 60^0, 180^0 \}$

Pembahasan

$\cos 2x +\cos x = 0$

$\cos^2 x -\sin^2 x + \cos x = 0$

$\cos^2 x -(1-\cos^2 x) + \cos x = 0$

$2 \cos^2 x + \cos x -1 = 0$

$(2\cos x -1)(\cos x + 1)$

$\cos x = \dfrac{1}{2}$ atau $\cos x = -1$

a. untuk $\cos x = \dfrac{1}{2}$ , diperoleh $x = \{ 60^0, 120^0 \}$ .

b. untuk $\cos x = -1$ , diperoleh $x = \{ 90^0 \}$ .

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{ 60^0, 90^0, 120^0 \}$

Jawaban : D

5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah …

A. $4\sqrt{6}~cm$

B. $4\sqrt{5}~cm$

C. $4\sqrt{3}~cm$

D. $4\sqrt{2}~cm$

E. $4~cm$

Pembahasan

Perhatikan segitiga AEM

$AM = \sqrt{AE^2+EM^2}$

$AM = \sqrt{AE^2+\left( \dfrac{1}{2}EH \right)^2}$

$= \sqrt{8^2+4^2}$

$= \sqrt{64+16}$

$= \sqrt{80}$

$= \sqrt{2.2.2.2.5} = 4\sqrt{5}$

Perhatikan segitiga GHM

$MG = \sqrt{GH^2+HM^2}$

$AM = \sqrt{GH^2+\left( \dfrac{1}{2}EH \right)^2}$

$= \sqrt{8^2+4^2}$

$= \sqrt{64+16}$

$= \sqrt{80}$

$= \sqrt{2.2.2.2.5} = 4\sqrt{5}$

Karena $AM=GM$ , dapat disimpulkan bahwa segitiga AMG adalah segitiga sama kaki. Sehingga jarak titik M ke AG adalah tinggi segitiga AMG dengan AG sebagai alasnya atau panjang MN.

$MN = \sqrt{MG^2-GN^2}$

$AM = \sqrt{MG^2+\left( \dfrac{1}{2}AG \right)^2}$

$= \sqrt{80-\left( 4\sqrt{3} \right)^2}$

$= \sqrt{80-48}$

$= \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

Jawaban : D

6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antar garis GC dan bidang BDG adalah …

A. $\dfrac{1}{3} \sqrt{6}$

B. $\dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

C. $\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

D. $\dfrac{1}{3} \sqrt{3}$

E. $\dfrac{1}{3} \sqrt{2}$

Pembahasan

Pertama buat titik bantuan, yaitu titik O yang merupakan titik pusat antara garis AC dan BD. Sehingga diperoleh segitiga GOC. Jadi, cosinus sudut antara GC dan BDG adalah $\cos \angle CGO$ pada segitiga GOC. Perhatikan

$OC = 5\sqrt{2}$

$GO = \sqrt{OC^2 + GC^2}$

$= \sqrt{(5\sqrt{2})^2 + 10^2}$

$= \sqrt{50+100}$

$= \sqrt{150}$

$= \sqrt{2.3.5.5} = 5\sqrt{6}$

$\cos \angle EPG = \dfrac{CG}{OG}$

$= \dfrac{10}{5\sqrt{6}}$

$= \dfrac{2}{\sqrt{6}}$

$= \dfrac{1}{3} \sqrt{6}$

Jawaban : A

7. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2$ , garis $y=2x$ di kuadran I d putar $360^0$ terhadap sumbu $X$ adalah …

A. $\dfrac{20}{15} \pi$ satuan volume

B. $\dfrac{30}{15} \pi$ satuan volume

C. $\dfrac{54}{15} \pi$ satuan volume

D. $\dfrac{64}{15} \pi$ satuan volume

E. $\dfrac{144}{15} \pi$ satuan volume

Pembahasan.

Batas-batas : $y_1=y_2$

$x^2 = 2x$

$x^2-2x = 0$

$x(x-2) = 0$

Jadi, batas-batasnya adalah $x_1=0$ dan $x_2=2$ .

Volume = $\pi \int_{0}^2 (y_1^2-y_2^2) ~dx$

= $\pi \int_{0}^2 ((x^2)^2-(2x))^2) ~dx$

= $\pi \int_{0}^2 (x^4-4x^2) ~dx$

= $\pi \left( \dfrac{1}{5}x^5 -\dfrac{4}{3}x^3 \right) \mid_{0}^2$

= $\pi \left[ \left( \dfrac{1}{5}2^5 -\dfrac{4}{3}2^3 \right) -\left( \dfrac{1}{5}(0)^5 + \dfrac{4}{3}(0)^3 \right) \right]$

= $\left( \dfrac{32}{5} -\dfrac{32}{3} \right) \pi$

= $\left( \dfrac{96}{15}-\dfrac{160}{15} \right) \pi$

= $-\dfrac{64}{5} \pi$

= $\dfrac{64}{15} \pi$

Jawaban : D

8. Nilai dari $\int \cos^4 2x \sin 2x~dx = \ldots$

A. $-\dfrac{1}{10} \sin^5 2x + C$

B. $-\dfrac{1}{10} \cos^5 2x + C$

C. $-\dfrac{1}{5} \cos^5 2x + C$

D. $\dfrac{1}{5} \cos^5 2x + C$

E. $\dfrac{1}{10} \sin^5 2x + C$

Pembahasan

misal $u = \cos 2x$

$du = - \sin 2x ~dx \Rightarrow \sin 2x ~dx = -\dfrac{1}{2} du$

$\int \cos^4 2x \sin 2x~dx = \int u^4 \left( -\dfrac{1}{2} du \right)$

$= -\dfrac{1}{2} \dfrac{1}{5} u^5 + C$

$= -\dfrac{1}{10} \cos^5 2x + C$

Jawaban : C

9. Hasil $\int \dfrac{2x+3}{\sqrt{3x^2+9x-1}} dx = \ldots$

A. $2\sqrt{3x^2+9x-6}$

B. $\dfrac{1}{3} \sqrt{3x^2+9x-6}$

C. $\dfrac{2}{3} \sqrt{3x^2+9x-6}$

D. $\dfrac{1}{2} \sqrt{3x^2+9x-6}$

E. $\dfrac{3}{2} \sqrt{3x^2+9x-6}$

Pembahasan

misal : $u = 3x^2+9x-1$

$du = 6x+9~dx \Rightarrow du = \dfrac{1}{3}(2x+3) dx$

$\int \dfrac{2x+3}{\sqrt{3x^2+9x-1}} dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{u}} ~ (3du)$

$= \int \dfrac{1}{3} u^{-1/2} ~du$

$= \dfrac{2}{3} u^{1/2}$

$= \dfrac{2}{3} \sqrt{3x^2+9x-6}$

Jawaban : C

10.Luas daerah yang dibatasi kurva $y = 4-x^2$ , $y=-x+2$ dan $0 \leq x \leq 2$ adalah …

A. $\dfrac{8}{3}$ satuan luas

B. $\dfrac{10}{3}$ satuan luas

C. $\dfrac{14}{3}$ satuan luas

D. $\dfrac{16}{3}$ satuan luas

E. $\dfrac{26}{3}$ satuan luas

Pembahasan.

Menentukan batas-batas.

$y_1 = y_2$

$-x+2 =4-x^2$

$x^2-x-2 = 0$

$(x-2)(x+1) = 0$

Karena dibatasi juga oleh $0 \leq x \leq 2$ , maka batas-batasnya adalah $x_1 = 0$ dan $x_2=2$ .

$L = \int_{0}^2 (x^2-x-2) ~dx$

$= \left( \dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2-2x \right) |_{0}^2$

$= \left( \dfrac{1}{3}2^3-\dfrac{1}{2}2^2-2(2) \right)- \left(\dfrac{1}{3}0^3-\dfrac{1}{2}0^2-2(0) \right)$

$= \dfrac{8}{3}-2-4$

$= \dfrac{8}{3}-\dfrac{18}{3}$

$= -\dfrac{10}{3}$

Jawaban : B

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

One comment on “Pembahasan Matematika UN SMA 2011 (4)”

Ping-balik: Aturan Kosinus | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Surel (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs Web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Google+ account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	bima di Tanya Jawab MATEMATIKA
	bima di Tanya Jawab MATEMATIKA
	Carles di Tanya Jawab MATEMATIKA
	Indah Qurratua'yun S… di Kumpulan Soal Test Matematika…
	Matematika dan Ilmu… di Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan…
	Matematika dan Ilmu… di Fungsi Satu-Satu (Injektif)
	Matematika dan Ilmu… di Fungsi Pada (Surjektif)
	MATEMATIKA DAN ILMU… di Fungsi Satu-Satu (Injektif)
	aim di Metode Newton-Raphson (Newton-…
	aim di Tutorial LaTeX (5)

Share this:

Sukai ini:

Terkait

One comment on “Pembahasan Matematika UN SMA 2011 (4)”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan