Pembahasan Matematika UN SMA 2012 (1)


1.  Diketahui premis-premis berikut:

Premis 1 : Jika Tio kehujanan, maka Tio sakit.

Premis 2 : Jika Tio sakit, maka ia demam.

Kesimpulan dari kedua premis tersebut adalah …

A. Jika Tio sakit maka ia kehujanan.

B. Jika Tio kehujanan maka ia demam.

C. Tio kehujanan dan ia sakit.

D. Tio kehujanan dan ia demam.

E. Tio demam karena kehujanan.

Pembahasan

Misal : p = Tio kehujanan, q = Tio sakit, dan r = Tio demam.

p \Rightarrow q

q \Rightarrow r

——————

\therefore p \Rightarrow r

Jadi, kesimpulannya adalah jika Tio kehujanan maka ia demam.

Jawaban : B

2.  Ingkaran pernyataan “Jika semua mahasiswa berdemontrasi maka lalu lintas macet.” adalah …

A. Mahasiswa berdemontrasi atau lalu lintas macet.

B. Mahasiswa berdemontrasi dan lalu lintas macet.

C. Semua mahasiswa berdemontrasi dan lalu lintas tidak macet.

D. Ada mahasiswa berdemontrasi.

E. Lalu lintas tidak macet.

Pembahasan

Misal :

p = mahasiswa berdemontrasi

q = lalu lintas macet

INGAT : p \Rightarrow q \equiv \sim p \vee q

\sim (p \Rightarrow q) \equiv p \wedge \sim q

Jadi, pernyataan di atas apabila diingkarkan, menjadi “Semua mahasiswa berdemontrasi dan lalu lintas tidak macet.”

Jawaban : C

3.  Diketahui a=4, b=2 dan c=\dfrac{1}{2}. Nilai (a^{-1})^2 \times \dfrac{b^4}{c^{-3}} = \ldots

A. \dfrac{1}{2}

B. \dfrac{1}{4}

C. \dfrac{1}{8}

D. \dfrac{1}{16}

E. \dfrac{1}{32}

Pembahasan

(a^{-1})^2 \times \dfrac{b^4}{c^{-3}} = \dfrac{b^4 c^3}{a^2}

= \dfrac{2^4 \left( \dfrac{1}{2} \right) ^3}{4^2}

= \dfrac{2^4 \left( 2^{-1} \right) ^3}{(2^2)^2}

= \dfrac{2^4 2^{-3}}{2^4}

= \dfrac{2^{4-3}}{2^4}

= \dfrac{2}{2^4}

= \dfrac{1}{2^3}

= \dfrac{1}{8}

Jawaban : C

4.  Bentuk sederhana dari \dfrac{\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \ldots

A. 4-3\sqrt{6}

B. 4-\sqrt{6}

C. -4+\sqrt{6}

D. 4-\sqrt{6}

E. 4+\sqrt{6}

Pembahasan

\dfrac{\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}

= \dfrac{2+\sqrt{6}-2\sqrt{6}+6}{2-3}

= \dfrac{4-\sqrt{6}}{-1}

= -4+\sqrt{6}

Jawaban : C

5.  Diketahui ^3\log 6 = p dan ^3\log 2 = q. Nilai ^{24}\log 288 adalah …

A. \dfrac{2p+3q}{p+2q}

B. \dfrac{3p+2q}{p+2q}

C. \dfrac{p+2q}{2p+3q}

D. \dfrac{p+2q}{3p+2q}

E. \dfrac{p+2q}{2p+3q}

Pembahasan

^{24}\log 288 = \dfrac{\log 288}{\log 24}

= \dfrac{\log (2^3.6^2)}{\log (2^3.3)}

= \dfrac{\log 2^3 + \log 6^2}{\log 2^3 + \log 3}

= \dfrac{^3\log 2^3 + ^3\log 6^2}{^3\log 2^3 + ^3\log 3}

= \dfrac{3 ^3\log 2 + 2 ^3\log 6}{3 ^3\log 2 + ^3\log 3}

= \dfrac{3 ^3\log 2 + 2 ^3\log 6}{3 ^3\log 2 + ^3\log \dfrac{6}{2}}

= \dfrac{3q + 2p}{3q+^3\log 6-^3\log 2}

= \dfrac{3q + 2p}{3q+p-q}

= \dfrac{3q + 2p}{p+2q}

Jawaban : B

6.  persamaan kuadrat x^2+(m-1)x-5=0 mempunyai akar-akar x_1 dan x_2. Jika x_1^2+x_2^2-2x_1x_2 = 8m maka nilai m = \ldots

A. -3 atau -7

B. 3 atau 7

C. 3 atau -7

D. 6 atau 14

E. -6 atau -14

Pembahasan

Persamaan Kuadrat : x^2+(m-1)x-5=0

x_1+x_2 = -(m-1) dan x_1 x_2 = -5

Perhatikan bahwa : (x_1+x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1 x_2

Sehingga diperoleh

x_1^2+x_2^2-2x_1x_2 = 8m

(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-2x_1x_2 = 8m

(1-m)^2-4(-5) = 8m

m^2-2m+1+20 = 8m

m^2-10m+21 =0

(m-3)(m-7) = 0

Jadi, nilai m yang memenuhi adalah m=3 atau m=7.

Jawaban : B

7.  Persamaan kuadrat 2x^2-2(p-4)x+p mempunyai dua akar real berbeda. Batas-batas nilai p yang memenuhi adalah …

A. p \leq 2 atau p \geq 8

B. p < 2 atau p > 8

C. p < -8 atau p > -2

D. 2 \leq p \leq 8

E. -8 \leq p \leq -2

Pembahasan.

Syarat dua akar real : D > 0

b^2-4ac > 0

(-2(p-4))^2-4(2)(p) > 0

4(p^2-8p+16)-8p > 0

4p^2-32p+64-8p > 0

4p^2-40p+64 > 0

p^2-10p+16 > 0

(p-2)(p-8) > 0

Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh p<2 atau p>8

Jawaban : B

8.  Umur Deksa 4 tahun lebih tua dari umur Elisa. Umur Elisa 3 tahun lebih tua dari umur Firda. Jika jumlah umur Deksa, Elisa dan Firda 58 tahun, jumlah umur Deksa dan Firda adalah …

A. 52 tahun

B. 45 tahun

C. 42 tahun

D. 39 tahun

E. 35 tahun

Pembahasan.

Misal : D = Deksa, E = Elisa dan F = Firda

D = 4 + E … (i)

E = 3 + F … (ii)

D + E + F = 58 … (iii)

Substitusi pers (ii) ke pers (i), diperoleh

D = 4 + (3 + F)

D = 7 + F … (iv)

Substitusi pers (ii) ke pers (iii), diperoleh

D + (3 + F) + F = 58

D + 2F = 55 … (v)

Subtitusi pers (iv) ke pers (v), diperoleh

(7 + F) + 2F = 55

3F = 48

F = 16

Sehingga diperoleh D = 7 + F = 7 + 16 = 23 tahun. Jadi jumlah umur Deksa dan Firda adalah 39 tahun

Jawaban : D

9.  Lingkaran L \equiv (x+1)^2+(y-3)^2=9 memotong garis y=3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah …

A. x=2 atau x=-4

B. x=2 atau x=-2

C. x=-2 atau x=4

D. x=-2 atau x=-4

E. x=8 atau x=-10

Pembahasan

Persamaan lingkaran (x+1)^2+(y-3)^2=9 memiliki pusat (-1,3) dan r^2=9

memotong garis y = 3

Perhatikan.
(x+1)^2+(3-3)^2=9

(x+1)^2+0 = 9

x+1=3 atau x + 1 = -3

x = 2 atau x = -4

Jadi titik potong lingkarannya adalah $latex (2,3) dan (-4,3)

Persamaan Garis Singgung : (x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2

Garis singgung pada titik (2,3)

(x+1)(2+1)+(y-3)(3-3)=9

(x+1)(3)+(y-3)(0)=9

3x+3+0=9

3x=6

x = 2

Garis singgung di titik (-4,3)

(x+1)(-4+1)+(y-3)(3-3)=9

(x+1)(-3)+(y-3)(0)=9

-3x-3+0=9

-3x=12

x=-4

Jawaban : A

10.Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x^2+2x-3) bersisa  (3x-4), jika dibagi (x^2-x-2) bersisa  (2x+3). Suku banyak tersebut adalah …

A. x^3-x^2-2x-1

B. x^3+x^2-2x-1

C. x^3+x^2+2x-1

D. x^3+2x^2-x-1

E. x^3+2x^2+x-1

Pembahasan

f(x) = (Pembagi)(Hasil Bagi) + sisa

f(x) = (x^2+2x-3)(x+n) + (3x-4)

Perhatikan

x^2+2x-3 = 0

(x+3)(x-1) = 0

x=-3 atau x=1.

Substitusi ke f(x), diperoleh

f(1) = (0)(x+n) + (3(1)-4) = -1

f(-3) = (-3)(x+n) + (3(-3)-4) = -13

Selanjutnya perhatikan bahwa,

f(x) = (x^2-x-2)(x+m) + (2x+3)

f(1) = (1^2-1-2)(1+m) + (2(1)+3)

-1 = (-2)(1+m) + 5

-1 = -2-2m + 5

2m = 4 \Rightarrow m=2

Sehingga diperoleh

f(x) = (x^2-x-2)(x+2) + (2x+3)

= x^3-x^2-2x+2x^2-2x-4 + 2x+3

= x^3+x^2-2x-1

Jawaban : B

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s