Pembahasan Matematika UN SMA 2012 (3)


1.  Harminingsih bekerja di perusahaan dengan kontrak selama l0 tahun dengan gaji awal Rp1.600.000,00. Setiap tahun Harminingsih mendapat kenaikan gaji berkala sebesar Rp200.000,00. Total seluruh gaji yang diterima Harminingsih hingga menyelesaikan kontrak kerja adalah …

A. Rp25.800.000,00

B. Rp25.200.000,00

C. Rp25.000.000,00

D. Rp18.800.000,00

E. Rp18.000.000,00

Pembahasan

Ini merupakan salah satu contoh aplikasi dari deret aritmetika. Dari soal, diketahui bahwa suku awal a = Rp1.600.000,00, beda b = Rp200.000,00 dan n = 10. Yang akan dicari yaitu S_{10}.

S_{n} = \dfrac{n}{2} (2a+(n-1)b)

S_{10} = \dfrac{n}{2} (2a+(n-1)b)

= \dfrac{10}{2} (2(1.600.000)+(10-1)200.000)

= 10(1.600.000+(9)100.000)

= 10(1.600.000+900.000)

= 10(2.500.000)

= 25.000.000

Jawaban : C

2.  Barisan geometri dengan suku ke-5 adalah \dfrac{1}{3} dan rasio = \dfrac{1}{3}, maka suku ke-9 barisan geometri tersebut adalah …

A. 27

B. 9

C. \dfrac{1}{27}

D. \dfrac{1}{81}

E. \dfrac{1}{243}

Pembahasan

u_n = ar^{n-1}

u_5 = a\left(\dfrac{1}{3} \right)^4 = \dfrac{1}{3}

\Leftrightarrow a = \left(\dfrac{1}{3} \right)^{1-4}

\Leftrightarrow a = \left(\dfrac{1}{3} \right)^{-3} = 3^3

u_9 = ar^8

= 3^3 \left(\dfrac{1}{3} \right)^8

= 3^3 3^{-8}

= 3^{-5}

= \dfrac{1}{3^5} = \dfrac{1}{243}

Jawaban : E

3.  Suku ke-tiga dan suku ke-tujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah …

A. 500

B. 504

C. 508

D. 512

E. 516

Pembahasan

u_n = a+(n-1)b

u_3 = a+2b = 16

u_7 = a+6b = 256

—————————-  –

-4b = -240 \Rightarrow b=60

Selanjutnya dengan mensubstitusikan b=60 ke u_3, didapat a=-104. Jadi

S_7 = \dfrac{7}{2} (2(-44)+(7-1)60)

= 7 (-104+(6)30)

= 7 (-104+180)

= 7 (76) = 512

Jawaban : D

4.  Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuk 8 cm. Jarak titik E ke bidang BGD adalah ….

A. \dfrac{1}{3} \sqrt{3}~cm

B. \dfrac{2}{3} \sqrt{3}~cm

C. \dfrac{4}{3} \sqrt{3}~cm

D. \dfrac{8}{3} \sqrt{3}~cm

E. \dfrac{16}{3} \sqrt{3}~cm

Pembahasan

un_math_2012_24Jarak titik E ke bidang BGD adalah \dfrac{2}{3} diagonal ruang yaitu \dfrac{2}{3} \times 8 \sqrt{3} = \dfrac{16}{3} \sqrt{3}

Jawaban : E

5.  Diketahui limas beraturan T.ABCD  dengan rusuk alas 2 cm dan rusuk tegak \sqrt{3} cm. Nilai tangen sudut antara rusuk TD dan bidang alas ABCD  adalah ….

A. \dfrac{1}{4} \sqrt{2}~cm

B. \dfrac{1}{2} \sqrt{2}~cm

C. \dfrac{2}{3} \sqrt{2}~cm

D. \sqrt{2}~cm

E. 2\sqrt{2}~cm

Pembahasan

un_math_2012_25sudut antara rusuk TD dan bidang alas ABCD sama dengan sudut yang dibentuk oleh segitiga TOD atau sudut TDO. Sehingga diperoleh \tan \angle TDO = \dfrac{TO}{DO}. Perhatikan

DO = \dfrac{1}{2} BD = \dfrac{1}{2} \times 2\sqrt{2} = \sqrt{2}

TO = \sqrt{TD^2-DO^2}

= \sqrt{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}

= \sqrt{3-2} = 1

\tan \angle TDO = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2}

Jawaban : B

6.  panjang jari-jari  lingkaran luar segidelapan beraturan adalah 6 cm. Keliling segidelapan tersebut adalah ….

A. 6\sqrt{2-\sqrt{2}}

B. 12\sqrt{2-\sqrt{2}}

C. 36\sqrt{2-\sqrt{2}}

D. 48\sqrt{2-\sqrt{2}}

E. 72\sqrt{2-\sqrt{2}}

Pembahasan

un_math_2012_26Sudut pusat = \dfrac{360}{8} = 45^0.

Selanjutnya, kita akan memanfaatkan Aturan Cosinus untuk panjang sisi dari segidelapan.

Panjang sisi = AB^2 = AO^2+BO^2-2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos 45^0

= r^2+r^2-2 \cdot r \cdot r \cdot \cos 45^0

= 2r^2-2r^2 \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

= 2r^2-r^2\sqrt{2}

= r^2(2-2\sqrt{2})

AB = r \sqrt{2-2\sqrt{2}}

= 6 \sqrt{2-\sqrt{2}}

Jawaban : A

7.  Diketahui nilai \sin \alpha \cos \beta = \dfrac{1}{5} dan \sin(\alpha-\beta) = \dfrac{3}{5} untuk 0^0 \leq \alpha \leq 180^0 dan 0^0 \leq \beta \leq 90^0. Nilai \sin (\alpha+\beta) = \ldots

A. -\dfrac{3}{5}

B. -\dfrac{2}{5}

C. -\dfrac{1}{5}

D. \dfrac{1}{5}

E. \dfrac{3}{5}

Pembahasan

Perhatikan,

\sin(\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta

\dfrac{3}{5} = \dfrac{1}{5} -\cos \alpha \sin \beta

\cos \alpha \sin \beta = -\dfrac{2}{5}

Sehingga, diperoleh

\sin(\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

= \dfrac{1}{5}+\left(-\dfrac{2}{5}\right) = -\dfrac{1}{5}

Jawaban : C

8.  Himpunan penyelesaian dari persamaan \cos 4x + 3 \sin 2x = -1 untuk 0^0 \leq x \leq 180^0 adalah …

A. \{ 120^0, 150^0 \}

B. \{ 150^0, 165^0 \}

C. \{ 30^0, 150^0 \}

D. \{ 30^0, 165^0 \}

E. \{ 15^0, 105^0 \}

Pembahasan

\cos 4x + 3 \sin 2x = -1

(\cos^2 2x-\sin^2 2x) + 3 \sin 2x + 1 = 0

(1-\sin^2 2x-\sin^2 2x) + 3 \sin 2x + 1 = 0

-2\sin^2 2x + 3 \sin 2x + 2 = 0

2\sin^2 2x -3 \sin 2x-2 = 0

(2\sin 2x+1)(\sin 2x-2) = 0

\sin 2x = -\dfrac{1}{2} atau \sin 2x = 2

Sehingga diperoleh 2x=210^0,330^0 untuk \sin 2x = -\dfrac{1}{2}. Jadi, diperoleh x = \{ 105^0, 165^0 \}

Jawaban :

9.  Nilai dari \sin 75^0-\sin 165^0 adalah …

A. \dfrac{1}{4} \sqrt{2}

B. \dfrac{1}{4} \sqrt{3}

C. \dfrac{1}{4} \sqrt{6}

D. \dfrac{1}{2} \sqrt{2}

E. \dfrac{1}{2} \sqrt{6}

Pembahasan

\sin \alpha-\sin \beta = 2 \cos \dfrac{1}{2}(\alpha+\beta) \sin \dfrac{1}{2}(\alpha-\beta)

\sin 75^0-\sin 165^0 = 2 \cos \dfrac{1}{2}(75^0+165^0) \sin \dfrac{1}{2}(75^0-165^0)

= 2 \cos 120^0 \sin (-45^0)

= 2 \left( -\dfrac{1}{2} \right)\left( -\dfrac{1}{2}\sqrt{2} \right)

= \dfrac{1}{2}\sqrt{2}

Jawaban : D

10.Nilai \lim_{x \to 1} \dfrac{1-x}{2-\sqrt{x+3}} = \ldots

A. 8

B. 4

C. 0

D. -4

E. -8

Pembahasan

\lim_{x \to 1} \dfrac{1-x}{2-\sqrt{x+3}} = \lim_{x \to 1} \dfrac{1-x}{2-\sqrt{x+3}} \times \dfrac{2+\sqrt{x+3}}{2+\sqrt{x+3}}

= \lim_{x \to 1} \dfrac{(1-x) (2+\sqrt{x+3})}{4-(x+3)}

= \lim_{x \to 1} \dfrac{(1-x) (2+\sqrt{x+3})}{1-x}

= \lim_{x \to 1} 2+\sqrt{x+3}

= 2+\sqrt{1+3} = 4

Jawaban : B

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

One comment on “Pembahasan Matematika UN SMA 2012 (3)

  1. Ping-balik: Aturan Kosinus | Math IS Beautiful

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s