Pembahasan Matematika UN SMA 2012 (4)


1.  Nilai \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x -1}{x \tan 2x} = \ldots

A. 4

B. 2

C. -1

D. -2

E. -4

Pembahasan

\lim_{x \to 0} \dfrac{\cos 4x -1}{x \tan 2x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1-2 \sin^2 2x -1}{x \tan 2x}

= = \lim_{x \to 0} \dfrac{-2 \sin^2 2x}{x \tan 2x}

= \lim_{x \to 0} \dfrac{-2 \sin 2x}{x} \times \dfrac{\sin 2x}{\tan 2x}

= \dfrac{-2(2)}{1} \times \dfrac{2}{2} = -4

Jawaban : E

2.  Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya (5x^2-10x+3O) dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut  terjual habis dengan harga Rp.50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah …

A. Rp.10.000,00

B. Rp.20.000,00

C. Rp.30.000,00

D. Rp.40.000,00

E. Rp.50.000,00

Pembahasan

Keuntungan = Harga jual – Biaya produksi

K(x) = 50.000x-(5.000x^2-10.000x+3O.0000)x

= -5.000x^3+10.000x^2+2O.000x

Turunkan terhadap peubah x, diperoleh

K'(x) = -15.000x^2+20.000x+20.000 = 0

\Leftrightarrow 3x^2-4x-4 = 0

\Leftrightarrow (3x+2)(x-2) = 0

\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2} \vee x=2

Keuntungan maksimum pada x=2

K(x) = -5.000x^3+10.000x^2+2O.000x

K(2) = -5.000(2)^3+10.000(2)^2+2O.000(2)

= -40.000+40.000+40.000

= 40.000

Jawaban : D

3.  Nilai dari \int_1^4 (x^2-2x+2)~dx = \ldots

A. 12

B. 14

C. 16

D. 18

E. 20

Pembahasan

\int_1^4 (x^2-2x+2)~dx = \dfrac{1}{3}x^3-x^2+2x |_1^4

= \left(\dfrac{1}{3}4^3-4^2+2(4) \right)- \left(\dfrac{1}{3}1^3-1^2+2(1) \right)

= \left(\dfrac{64}{3}-16+8 \right)- \left(\dfrac{1}{3}-1+2 \right)

= \dfrac{63}{3}-9

= 21-9 = 12

Jawaban : A

4.  Nilai dari \int_0^{\frac{1}{2}\pi} (3\sin 2x-\cos x) ~dx = \ldots

A. -2

B. -1

C. 0

D. 1

E. 2

Pembahasan

\int_0^{\frac{\pi}{2}} (3\sin 2x-\cos x) ~dx = (6 \cos x+\sin x) |_0^{\frac{\pi}{2}}

= (6 \cos \dfrac{\pi}{2}+\sin \dfrac{\pi}{2})- (6 \cos 0+\sin 0)

= (6(0)+1)- (6(1)+0)

=0

Jawaban : C

5.  Hasil dari \int 3x\sqrt{3x^2+1}~dx = \ldots

A. -\dfrac{2}{3}(3x^2+1) \sqrt{3x^2+1}+C

B. -\dfrac{1}{2}(3x^2+1) \sqrt{3x^2+1}+C

C. \dfrac{1}{3}(3x^2+1) \sqrt{3x^2+1}+C

D. \dfrac{1}{2}(3x^2+1) \sqrt{3x^2+1}+C

E. \dfrac{2}{3}(3x^2+1) \sqrt{3x^2+1}+C

Pembahasan.

misal : u=3x^2+1

du=6x~dx \Rightarrow \dfrac{du}{2}=3x~dx

\int 3x\sqrt{3x^2+1} ~dx = \int \sqrt{u} \dfrac{du}{2}

= \dfrac{1}{3/2} u^{\frac{3}{2}} \dfrac{1}{2} + C

= \dfrac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C

= \dfrac{1}{3} u \sqrt{u} + C

= \dfrac{1}{3} (3x^2+1) \sqrt{3x^2+1}+C

Jawaban : C

6.  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2+3x+4 dan y=1-x adalah …

A. \dfrac{2}{3} satuan luas

B. \dfrac{4}{3} satuan luas

C. \dfrac{7}{4} satuan luas

D. \dfrac{8}{3} satuan luas

E. \dfrac{15}{3} satuan luas

Pembahasan.

un_math_2012_36Menentukan batas-batas.

y_1 = y_2

x^2+3x+4 = 1-x

x^2+4x+3 = 0

(x+3)(x+1) = 0

Batas-batasnya adalah x_1 = -3 dan x_2=-1. Jadi,

L = \int_{-3}^{-1} (x^2+4x+3) ~dx

= \dfrac{1}{3}x^3+2x^2+3x _{-2}^{-1}

= \left(\dfrac{1}{3}(-1)^3+2(-1)^2+3(-1) \right)- \left(\dfrac{1}{3}(-3)^3+2(-3)^2+3(-3) \right)

= \left(-\dfrac{1}{3}+2-3 \right)- \left(-9+18-9 \right)

= \dfrac{7}{3}-1

= \dfrac{7}{3}-\dfrac{3}{3} = \dfrac{4}{3}

Jawaban : B

7.  Volume benda putar yang terjadi untuk daerah yang dibatasi oleh y = -x^2 dan y = -2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360^0 adalah …

A. 3 \dfrac{11}{15} \pi satuan volume

B. 4 \dfrac{4}{15} \pi satuan volume

C. 6 \dfrac{4}{15} \pi satuan volume

D. 6 \dfrac{6}{15} \pi satuan volume

E. 17 \dfrac{1}{15} \pi satuan volume

Pembahasan.

un_math_2012_37Batas-batas : y_1=y_2

-x^2 = -2x

x^2-2x = 0

x(x-2) = 0

Jadi, batas-batasnya adalah x_1=0 dan x_2=2.

Volume = \pi \int_{0}^2 (y_1^2-y_2^2) ~dx

= \pi \int_{0}^2 ((-x^2)^2-(-2x)^2) ~dx

= \pi \int_{0}^2 (x^4-4x^2) ~dx

= \pi \left( \dfrac{1}{5}x^5-\dfrac{4}{3}x^3 \right) \mid_{0}^2

= \pi \left[ \left( \dfrac{1}{5}2^5-\dfrac{4}{3}2^3 \right)- \left( \dfrac{1}{5}(0)^5-\dfrac{4}{3}(0)^3 \right) \right]

= \left( \dfrac{32}{5}-\dfrac{32}{3} \right) \pi

= \left( \dfrac{96}{15}-\dfrac{160}{15} \right) \pi

= \left( 6\dfrac{6}{15}-10\dfrac{10}{15} \right) \pi

= 4\dfrac{4}{15} \pi

Jawaban : B

8.  Data yang diberikan dalam tabel frekuensi sebagai berikut:

Kelas

Frekuensi

20-29

30-39

40-49

50-59

60-69

70-79

80-89

3

7

8

12

9

6

5

Nilai modus dari data pada tabel adalah …

A. 49,5-\dfrac{40}{7}

B. 49,5-\dfrac{36}{7}

C. 49,5+\dfrac{36}{7}

D. 49,5+\dfrac{40}{7}

E. 49,5+\dfrac{48}{7}

Pembahasan.

Modus : Mo = b + \left( \dfrac{b_1}{b_1+b_2} \right)p

Mo : modus

b : batas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak

p : panjang kelas interval

b_1 : frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sebelumnya

b_2 : frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sesudahnya

Letak Mo pada frekuensi = 12, yaitu pada kelas interval 50-59.

Mo = b + \left( \dfrac{b_1}{b_1+b_2} \right)p

= 49,5 + \left( \dfrac{(12-8)}{(12-8)+(12-9)} \right) \cdot 10

= 49,5 + \dfrac{4}{7} \cdot 10

= 49,5 + \dfrac{40}{7}

Jawaban : D

9.  Banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata “WIYATA” adalah …

A. 360 kata

B. 180 kata

C. 90 kata

D. 60 kata

E. 30 kata

Pembahasan

Banyak susunan kata = \dfrac{6!}{2!} = \dfrac{3.4.5.6}{1} = 360

Jawaban : A

10.Dalam kotak terdapat 3 kelereng merah dan 4 kelereng putih, kemudian diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih adalah…

A. \dfrac{3}{35}

B. \dfrac{4}{35}

C. \dfrac{7}{35}

D. \dfrac{12}{35}

E. \dfrac{22}{35}

Pembahasan

Kemungkinan terambilnya paling sedikit kelereng putih adalah (2 kelereng putih dan 1 kelereng merah) atau (3 kelereng putih)

Peluang = \dfrac{_4C_2 \times _3C_1}{_7C_3} + \dfrac{_4C_3}{_7C_3}

= \dfrac{\dfrac{4!}{2!2!} \times \dfrac{3!}{1!2!}}{ \dfrac{7!}{3!4!}} + \dfrac{\dfrac{4!}{3!1!}}{ \dfrac{7!}{3!4!}}

= \dfrac{\dfrac{3.4}{1.2} \times \dfrac{3}{1}}{ \dfrac{5.6.7}{1.2.3}} + \dfrac{\dfrac{4}{1}}{ \dfrac{5.6.7}{1.2.3}}

= \dfrac{6 \times 3}{35} + \dfrac{4}{35}

= \dfrac{22}{35}

Jawaban : E

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s