Pembahasan Matematika UN SMA 2014 (1)


1. Bentuk sederhana dari \dfrac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}} = \ldots

A. 3\sqrt{2}+2\sqrt{3}

B. 6\sqrt{2}+2\sqrt{3}

C. 6\sqrt{2}+4\sqrt{3}

D. 18\sqrt{2}+2\sqrt{3}

E. 18\sqrt{2}+12\sqrt{3}

Pembahasan

\dfrac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}} = \dfrac{12}{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}} \times  \dfrac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}

= \dfrac{12(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})}{18-12}

= 2(3\sqrt{2}+2\sqrt{3})

= 6\sqrt{2}+4\sqrt{3})

Jawaban : C

2.  Bentuk sederhana dari \left( \dfrac{a^{3} b^{-2} c}{a b^{-4} c^2} \right)^{-1} = \ldots

A. a^2 b^3 c

B. a^2 b^2 c

C. \dfrac{b^2 c^2}{a^2}

D. \dfrac{b}{a^2 c}

E. \dfrac{c}{a^2 b^2}

Pembahasan

\left( \dfrac{a^{3} b^{-2} c}{a b^{-4} c^2} \right)^{-1} = \left( \dfrac{a^{3-1} b^{-2+4}}{c^{2-1}} \right)^{-1}

= \left( \dfrac{a^{2} b^{2}}{c} \right)^{-1}

= \dfrac{c}{a^{2} b^{2}}

Jawaban : E

3.  Hasil dari \dfrac{^3\log \dfrac{1}{9} + ^{\sqrt{2}}\log 9 \cdot ^{3}\log 16}{^2\log 10- ^2\log 5} = \ldots

A. 2

B. 6

C. 10

D. 14

E. 16

Pembahasan

\dfrac{^3\log \dfrac{1}{9} + ^{\sqrt{2}}\log 9 \cdot ^{3}\log 16}{^2\log 10- ^2\log 5} = \dfrac{^3\log 3^{-2} + ^{2^{1/2}}\log 3^2 \cdot ^{3}\log 2^4}{^2\log \dfrac{10}{5}}

= \dfrac{-2 ^3\log 3 + \dfrac{2}{1/2} \cdot 4 ^{2}\log 3 \cdot ^{3}\log 2}{^2\log 2}

= \dfrac{-2 + 16 ^{2}\log 3 \cdot ^{3}\log 2}{1}

= 14

Jawaban : D

4.  Himpunan penyelesaian dari 3^{2x}-6.3^x < 27 adalah …

A. \{ x | x<-3, x \in R \}

B. \{ x | x<-2, x \in R \}

C. \{ x | x<2, x \in R \}

D. \{ x | x>2, x \in R \}

E. \{ x | x>3, x \in R \}

Pembahasan

misal : 3^x = m, berakibat

3^{2x}-6.3^x < 27

m^2-6m-27 < 0

(m-9)(m+3)<0

m=9 atau m=-3.

Untuk m=9

3^x = 9

3^x = 3^2

x=2

Untuk m=-3

3^x = 9

3^x = 3^{-1}

x=-1

Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh -1<x<2. Jadi, berdasarkan pilihan yang ada, jawabannya adalah x < 2

Jawaban : C

5.  Akar persamaan x^2+(p+1)x-18=0 adalah \alpha dan \beta. Jika \alpha + 2 \beta = 0 dan p \geq 0, nilai p = \ldots

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

E. 4

Pembahasan

Persamaan Kuadrat : x^2+(p+1)x-18=0

\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a} = -(p+1) dan \alpha \beta = \dfrac{c}{a} = -18

\alpha+2\beta = 0

(\alpha+\beta) + \beta= 0

-(\alpha+\beta) = \beta

\beta = p+1

\alpha \beta = -18

\alpha (p+1) = -18

\alpha = -\dfrac{18}{p+1}

\alpha+\beta = -(p+1)

-\dfrac{18}{p+1} + (p+1) = -(p+1)

-18 + (p+1)^2 = -(p+1)^2

-18 + 2(p+1)^2 = 0

-18 + 2(p^2+2p+1) = 0

-18+2p^2+4p+2 = 0

2p^2+4p-16 = 0

p^2+2p-8 = 0

(p+4)(p-2) = 0

p=-4 atau p=2

Jawaban : C

6.  Dina, Ety dan Feby belanja di toko yang sama. Dina membeli 5 bungkus mie dan 2 kaleng susu kental seharga Rp25.500,00. Ety membeli 10 bungkus mie dan 3 kaleng susu kental seharga Rp42.000,00. Jika Feby membeli 1 bungkus mie dan 1 kaleng susu kental, maka ia harus membayar …

A. Rp13.000,00

B. Rp12.000,00

C. Rp10.500,00

D. Rp11.000,00

E. Rp12.500,00

Pembahasan

Misal : x = mie, y = susu kental.

5x+2y = 25.500 … (i)

10x+3y = 42.000 … (ii)

Elminasi pers (i) dan (ii), diperoleh

5x+2y = 25.500 (x2)

10x+3y = 42.000

———————————   –

10x+4y = 51.000

10x+3y = 42.000

———————————   –

y = 9.000

Selanjutnya substitusi y = 9.000 ke pers (ii), diperoleh

10x+3(9.000) = 42.000

\Leftrightarrow 10x = 42.000-27.000 … (v)

\Leftrightarrow x = 1.500

Jadi, Feby harus membayar Rp.10.500.

Jawaban : C

7.  Persamaan garis singgung pada lingkaran 2x^2+2y^2-4x+8y-8=0 yang sejajar dengan garis 5x+12y-15=0 adalah …

A. 5x+12y-20=0 dan 5x+12y+58=0

B. 5x+12y-20=0 dan 5x+12y+20=0

C. 12x+5y-20=0 dan 12x+5y+20=0

D. 12x+5y=-20 dan 5x+12y=58

E. 5x+12y=-20 dan 5x+12y=58

Pembahasan

Persamaan Garis Singgung : (y-b) = m(x-a) \pm \sqrt{r^2(1 + m^2)}

2x^2+2y^2-4x+8y-8=0

x^2+y^2-2x+4y-4=0

x^2-2(x)+y^2+2(2y)-4=0

(x^2-2(x)+1)-1+(y^2+2(2y)+4)-4-4=0

(x-1)^2+(y+2)^2 = 9

Diperoleh pusat (1,-2) dan jari-jari = 3

5x+12y-15=0

12y = 15-5x

y = \dfrac{15}{12}-\dfrac{5}{12}x

Jadi, diperoleh m = -\dfrac{5}{12}

(y-(-2)) = m(x-1) \pm \sqrt{3^2\left( 1 + \left( -\dfrac{5}{12} \right)^2 \right)}

(y+2) = -\dfrac{5}{12}(x-1) \pm \sqrt{9\left( \dfrac{144}{144} + \dfrac{25}{144} \right)}

(y+2) = -\dfrac{5}{12} (x-1) \pm \sqrt{9\left( \dfrac{169}{144} \right)}

(y+2) = -\dfrac{5}{12} (x-1) \pm 3\dfrac{13}{12}

12(y+2) = -5(x-1) \pm 3(13)

12y+24 = -5x+5 \pm 39

12y+24 = -5x+5 + 39

12y+5y-20 = 0 (persamaan garis singgung 1)

12y+24 = -5x+5- 39

12y+5y+58 = 0 (persamaan garis singgung 2)

Jawaban : A

8.  Diketahui fungsi f(x)=3x+4 dan g(x)=\dfrac{4x-5}{2x+1}, x \neq \dfrac{1}{2}. Invers (f \circ g)(x) adalah …

A. (f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x-14}{-2x+20}, x \neq 10

B. (f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x-11}{-2x+20}, x \neq 10

C. (f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x-16}{-2x+20}, x \neq 10

D. (f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x+11}{-2x+20}, x \neq 10

E. (f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x+14}{-2x+20}, x \neq 10

Pembahasan

(f \circ g)(x) = f(g(x))

= 3\left(\dfrac{4x-5}{2x+1} \right) + 4

= \dfrac{12x-15}{2x+1} + \dfrac{8x+4}{2x+1}

= \dfrac{20x-11}{2x+1}

Misal m = \dfrac{20x-11}{2x+1}

2mx+m = 20x-11

2mx-20x = -m-11

x(2m-20) = -m-11

x = \dfrac{-m-11}{2m-20}

x = \dfrac{m+11}{-2m+20}

Jadi, (f \circ g)^{-1}(x) = \dfrac{x+11}{-2x+20}, x \neq 10.

Jawaban : D

9.  Diketahui premis-premis berikut:

Premis 1 : Ada siswa yang tidak rajin belajar atau hasil ulangan baik

Premis 2 : Jika hasil ulangan baik, maka beberapa siswa dapat mengikuti seleksi perguruan tinggi.

Premis 3 : Semua tidak dapat mengikuti seleksi perguruan tinggi

Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah …

A. Ada siswa yang hasil ulangan baik

B. Ada siswa yang hasil ulangan tidak baik

C. Ada siswa yang rajin belajar

D. Ada siswa yang tidak rajin belajar

E. Semua siswa rajin belajar

Pembahasan

Misal : p = semua siswa yang rajin belajar, q = hasil ulangan baik, dan r = beberapa siswa dapat mengikuti seleksi perguruan tinggi.

INGAT : p \vee \sim q \equiv \sim p \Rightarrow \sim q

p \Rightarrow q

q \Rightarrow r

————————-

p \Rightarrow r

\sim r

\therefore \sim p

Jadi, kesimpulannya adalah ada siswa yang tidak rajin belajar.

Jawaban : D

10.Suku banyak berderajat 3, jika dibagi (x^2+2x-3) bersisa  (3x-4), jika dibagi (x^2-x-2) bersisa  (2x+3). Suku banyak tersebut adalah …

A. x^3-x^2-2x-1

B. x^3+x^2-2x-1

C. x^3+x^2+2x-1

D. x^3+2x^2-x-1

E. x^3+2x^2+x-1

Pembahasan

f(x) = (Pembagi)(Hasil Bagi) + sisa

f(x) = (x^2+2x-3)(x+n) + (3x-4)

Perhatikan

x^2+2x-3 = 0

(x+3)(x-1) = 0

x=-3 atau x=1.

Substitusi ke f(x), diperoleh

f(1) = (0)(x+n) + (3(1)-4) = -1

f(-3) = (-3)(x+n) + (3(-3)-4) = -13

Selanjutnya perhatikan bahwa,

f(x) = (x^2-x-2)(x+m) + (2x+3)

f(1) = (1^2-1-2)(1+m) + (2(1)+3)

-1 = (-2)(1+m) + 5

-1 = -2-2m + 5

2m = 4 \Rightarrow m=2

Sehingga diperoleh

f(x) = (x^2-x-2)(x+2) + (2x+3)

= x^3-x^2-2x+2x^2-2x-4 + 2x+3

= x^3+x^2-2x-1

Jawaban : E

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

One comment on “Pembahasan Matematika UN SMA 2014 (1)

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s