Pembahasan Matematika UN SMA 2014 (4)


1. Hasil dari \int_0^{\frac{\pi}{6}} (\sin 4x \cos 2x) ~dx = \ldots

A. \dfrac{4}{3}

B. \dfrac{2}{3}

C. \dfrac{1}{3}

D. \dfrac{7}{24}

E. -\dfrac{1}{3}

Pembahasan

\int_0^{\frac{\pi}{6}} (\sin 4x \cos 2x) ~dx =  \int_0^{\frac{\pi}{6}} \dfrac{1}{2}(2 \sin 4x \cos 2x) ~dx

= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \dfrac{1}{2} (\sin (4x+2x) + \sin (4x-2x)) ~dx

= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \dfrac{1}{2} (\sin 6x + \sin 2x)~dx

= \left( -\dfrac{1}{12} \cos 6x -\dfrac{1}{4} \cos 2x \right) |_0^{\frac{\pi}{6}}

= \left( -\dfrac{1}{12} \cos \pi -\dfrac{1}{4} \cos \dfrac{\pi}{3} \right)- \left( -\dfrac{1}{12} \cos 0-\dfrac{1}{4} \cos 0 \right)

= \dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{4}

= \dfrac{2}{24} -\dfrac{3}{24} + \dfrac{2}{24} + \dfrac{6}{24}

= \dfrac{7}{24}

Jawaban : D

2.  Hasil dari \int (\cos^3 2x \sin 2x) ~dx = \ldots

A. \dfrac{1}{4} \cos^4 2x + C

B. \dfrac{1}{4} \sin^4 2x + C

C. \dfrac{1}{6} \cos^4 2x + C

D. -\dfrac{1}{8} \cos^4 2x + C

E. -\dfrac{1}{8} \sin^4 2x + C

Pembahasan

misal u = \cos 2x \Rightarrow du = -2 \sin 2x ~dx

\int (\cos^3 2x \sin 2x) ~dx = \int u^3 ~\dfrac{du}{-2}

= -\dfrac{1}{8}u^4 + C

= -\dfrac{1}{8}\cos^4 2x + C

Jawaban : D

3.  Diketahui g(x) = \dfrac{1}{3}x^3-A^2x+1, f(x) = g(2x-1), A konstanta. Jika f naik pada x \leq 0 atau x \geq 1, nilai maksimum relatif g adalah …

A. \dfrac{7}{3}

B. \dfrac{5}{3}

C. \dfrac{1}{3}

D. -\dfrac{1}{3}

E. -\dfrac{5}{3}

Pembahasan

f(x) = g(2x-1)

= \dfrac{1}{3}(2x-1)^3-A^2(2x-1)+1

= \dfrac{1}{3}(8x^3-12x^2+6x-1)-2A^2x+A^2+1

= \dfrac{8}{3}8x^3-4x^2 + 2x-\dfrac{1}{3}-2A^2x + A^2+1

= \dfrac{8}{3}8x^3-4x^2 + (2-A^2)x + (A^2+\dfrac{2}{3})

Syarat fungsi f naik yaitu f'(x) > 0

f'(x) = 8x^2-8x + (2-A^2) > 0

Karena fungsi f naik pada x \leq 0 atau x \geq 1, artinya f'(x) mempunyai akar-akar x=0 atau x_2=1

Perhatikan

x_1 x_2 = \dfrac{-(2-A^2)}{8}

0 = \dfrac{-(2-A^2)}{8}

A^2-2 = 0

A = 1

Sehingga diperoleh,

g(x) = \dfrac{1}{3}x^3-x+1

Selanjutnya, fungsi g(x) mencapai nilai maksimum relatif di x=a jika g'(a)=0 dan g''(a)<0.

Perhatikan

g'(x) = x^2-1 =0 \Leftrightarrow (x-1)(x+1) = 0

Diperoleh x=-1 atau x=1. Kemuidan, uji titik x=-1 dan x=1, manakah yang memenuhi g''(x)<0.

g''(x) = 2x

Untuk x=-1

g''(-1) =-2 <0

Untuk x=1

g''(1) = 2 > 0

Jadi, titik x=-1 adalah titik relatif maksimum. Sehingga diperoleh

g(-1) = \dfrac{1}{3}(-1)^3-(-1)+1 = -\dfrac{1}{3}.

Jawaban : D

4.  Volume benda putar yang terbentuk dari daerah yang dibatasi oleh kurva y = -\sqrt{3}x^2, sumbu X, di dalam lingkaran x^2+y^2=4, diputar mengelilingi sumbu X adalah …

A. \dfrac{80}{15} \pi satuan volume

B. \dfrac{68}{15} \pi satuan volume

C. \dfrac{64}{15} \pi satuan volume

D. \dfrac{34}{15} \pi satuan volume

E. \dfrac{32}{15} \pi satuan volume

Pembahasan

un_math_2014_34Batas-batas : y = 0

-\sqrt{3}x^2 = \sqrt{4-x^2}

3x^4 = 4-x^2

3x^4+x^2-4 = 0

(x+1)(x-1)(3x^2+4) = 0

Jadi, batas-batasnya adalah x_1=-1 dan x_2=1.
Selain itu, lingkaran persamaan lingkaran tersebut juga memotong pada titik x=-2 dan x=2

Volume = \pi \int_{-2}^{-1} (4-x^2) ~dx + \pi \int_{-1}^{1} (-\sqrt{3}x^2) ~dx + \pi \int_{1}^{2} (4-x^2) ~dx

= \pi \int_{-2}^{-1} (4-x^2) ~dx + \pi \int_{-1}^{1} 3x^4 ~dx + \pi \int_{1}^{2} (4-x^2) ~dx

= \pi \left( 4x-\dfrac{1}{3}x^3 \right)|_{-2}^{-1} + \pi \dfrac{3}{5}x^5 |_{-1}^{1} + \pi \left( 4x-\dfrac{1}{3}x^3 \right)|_{1}^{2}

Perhatikan

\pi\left(4x-\dfrac{1}{3}x^3\right)|_{-2}^{-1} = \pi\left(4(-1)-\dfrac{1}{3}(-1)^3\right) -\left(4(-2)-\dfrac{1}{3}(-2)^3 \right)

= \pi \left( -4+\dfrac{1}{3} \right)-\left( -8+\dfrac{8}{3} \right)

= \left( 4-\dfrac{7}{3} \right) \pi

= \dfrac{5}{3} \pi

\pi \dfrac{3}{5}x^5 |_{-1}^{1} = \pi \left( \dfrac{3}{5}1^5 \right)-\left( \dfrac{3}{5}(-1)^5 \right)

= \left( \dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{5} \right) \pi

= \dfrac{6}{5} \pi

\pi \left( 4x-\dfrac{1}{3}x^3 \right)|_{1}^{2} = \pi \left( 4(2)-\dfrac{1}{3}(2)^3 \right)-\left( 4(1)-\dfrac{1}{3}(1)^3 \right)

= \pi \left( 8-\dfrac{8}{3} \right)-\left( 4-\dfrac{1}{3} \right)

= \left( 4-\dfrac{7}{3} \right) \pi

= \dfrac{5}{3} \pi

Sehingga diperoleh

= \dfrac{5}{3} \pi + \dfrac{6}{5} \pi + \dfrac{5}{3} \pi

= \dfrac{25}{15} \pi + \dfrac{18}{15} \pi + \dfrac{25}{15} \pi

= \dfrac{68}{15} \pi

Jawaban : B

5.  Luas daerah yang diarsir pada gambar dapat dinyatakan dengan rumus …un_math_2014_35(1)

A. \int_0^8 2x~dx-\int_4^8 (x+4)~dx

B. \int_0^8 2x~dx+\int_4^8 (x+4)~dx

C. \int_0^8 \sqrt{2x}~dx-\int_4^8 (x+4)~dx

D. \int_0^8 (\sqrt{2x}-x+4)~dx

E. \int_0^4 \sqrt{2x}~dx+\int_4^8 (\sqrt{2x}-x+4)~dx

Pembahasan

un_math_2014_35Luas yang diarsir = Luas 1 + Luas 2.

L = \int_0^4 \sqrt{2x}~dx + \int_4^8 (\sqrt{2x}-(x-4))~dx

= \int_0^4 \sqrt{2x}~dx + \int_4^8 (\sqrt{2x}-x+4)~dx

Jawaban : E

6.  Dua buah dadu dilempar undi bersama satu kali. Peluang muncul jumlah kedua mata dadu 4 atau 7 adalah …

A. \dfrac{5}{36}

B. \dfrac{6}{36}

C. \dfrac{7}{36}

D. \dfrac{8}{36}

E. \dfrac{9}{36}

Pembahasan

 

1

2

3

4

5

6

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,5)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

Jadi, peluangnya adalah \dfrac{9}{36}

Jawaban : E

7.  Pada suatu tes penerimaan  pegawai, seorang pelamar wajib mengerjakan 6 soal diantara 14 soal. Soal nomor 1 sampai 3 harus dikerjakan. Banyak pilihan soal yang dapat dilakukan adalah …

A. 2.002 cara

B. 990 cara

C. 336 cara

D. 165 cara

E. 120 cara

Pemabahasan

Karena nomor 1 sampai nomor 3 wajib dikerjakan, berarti tinggal 3 soal yang akan dikerjakan dari 11 soal. Banyak cara mengerjakan 3 soal dari 11 soal adalah

_{11}C_3 = \dfrac{11!}{3!((11-3)!}

= \dfrac{8!.9.10.11}{1.2.3.8!}

= 3.5.11 = 1655

Jawaban : D

8.  Kuartil atas dari data pada tabel berikut adalah …

Data

Frekuensi

20-25

26-31

32-37

38-43

44-49

50-55

56-61

4

6

6

10

12

8

4

A. 49,25

B. 48,75

C. 48,25

D. 47,75

E. 47,25

Pembahasan

Quartil : Q_i = b_i + l \left( \dfrac{\dfrac{i}{4}N -F}{f} \right)

Q_i : kuartil ke-i

b_i : tepi bawah kelas quartil ke-i

N : banyaknya data

F : frekuensi kelas sebelum kuartil

l : lebar kelas

f : frekuensi kelas komulatif

Letak Q_3 pada frekuensi = \dfrac{3}{4}50 = 37,5. Jadi, letak Q_3 pada data ke-37 sampai 38, yaitu pada interval 44-49.

Q_i = 43,5 + 6 \left( \dfrac{\dfrac{3}{4}50 -26}{12} \right)

= 43,5 + 6 \left( \dfrac{\dfrac{150}{4}-\dfrac{108}{4}}{12} \right)

= 43,5 + 6 \left( \dfrac{\dfrac{42}{4}}{12} \right)

= 43,5 + 6 \left( \dfrac{21}{2 \cdot 12} \right)

= 43,5 + \dfrac{21}{4}

= 43,5 + 5,75 = 49,25

Jawaban : A

9.  Perhatikan histogram berikut!

 un_math_2014_39

Modus dari data pada histogram adalah …

A. 23,25

B. 23,75

C. 24,00

D. 25,75

E. 26,25

Pembahasan

Modus : Mo = b + \left( \dfrac{b_1}{b_1+b_2} \right)p

Mo : modus

b : batas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak

p : panjang kelas interval

b_1 : frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sebelumnya

b_2 : frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sesudahnya

Letak Mo pada frekuensi = 12.

Sebelumnya, dicari dulu interval pada frekuensi 12, yaitu \left( \dfrac{20+25}{2}, \dfrac{25+30}{2}\right) = (22,5; 27,5).

Mo = b + \left( \dfrac{b_1}{b_1+b_2} \right)p

= 22 + \left( \dfrac{(12-10)}{(12-10)+(12-6)} \right)5

= 22 + \dfrac{2}{8} 5

= 22 + 1,25

= 23,25

Jawaban : A

10.Joni mempunyai koleksi 3 pasang sepatu dengan merk yang berbeda, 4 baju berlainan coraknya, dan 3 celana yang berbeda warna. Banyak cara berpakaian Joni dengan penampilan berbeda adalah …

A. 36

B. 24

C. 21

D. 12

E. 10

Pembahasan

Banyak cara berpakaian Joni dengan penampilan berbeda adalah 3 x 4 x 3 = 36

Jawaban : A

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s