Pembahasan Matematika UN SMA 2008 (2)


1.  Diketahui ^2\log 7 = a dan ^2\log 3 = b. Nilai ^6\log 14 adalah …

A. \dfrac{a}{a+b}

B. \dfrac{a+1}{a+b}

C. \dfrac{a+1}{b+1}

D. \dfrac{a}{a(1+b)}

E. \dfrac{a+1}{a(1+b}

Pembahasan

^6\log 14 = \dfrac{\log 14}{\log 6}

= \dfrac{\log (2.7)}{\log (2.3)}

= \dfrac{\log 2 + \log 7}{\log 2 + \log 3}

= \dfrac{^2\log 2 + ^2\log 7}{^2\log 2 + ^2\log 3}

= \dfrac{1 + a}{1 + b}

Jawaban : C

2.  Invers fungsi f(x) = \dfrac{3x-2}{5x+8}, x \neq -\dfrac{8}{5} adalah f^{-1}(x) = \ldots

A. \dfrac{-8x+2}{5x-3}

B. \dfrac{8x-2}{5x+3}

C. \dfrac{8x-2}{3+5x}

D. \dfrac{8x-2}{3-5x}

E. \dfrac{-8x+2}{3-5x}

Pembahasan

m = \dfrac{3x-2}{5x+8}

5mx+8m = 3x-2

8m+2 = 3x-5mx

8m+2 = (3-5m)x

x = \dfrac{8m+2}{-5m+3}

Invers dari f(x) adalah f^{-1}(x) = \dfrac{8x+2}{-5x+3} = \dfrac{8x+2}{3-5x}

Jawaban :

3.  Bila x_1 dan x_2 penyelesaian persamaan 2^{2x}-6\cdot 2^{x+1}+32=0 dengan x_1 > x_2, maka nilai dari 2x_1+x_2 = \ldots

A. \dfrac{1}{4}

B. \dfrac{1}{2}

C. 4

D. 8

E. 16

Pembahasan

2^{2x}-6\cdot 2^{x+1}+32=0

(2^x)^2-6\cdot 2 \cdot 2^x+32=0

misal m = 2^x, maka

m^2 -12m+32=0

(m-8)(m-4) = 0

m=8 atau m=4

untuk m=8

2^x = 8

2^x = 2^3

x = 3

Untuk m=4

2^x = 2^2

x = 2

Diperoleh, x_1=3 dan x_2 = 2. Jadi, 2x_1+x_2 = 2(3)+2 = 8.

Jawaban : D

4.  Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen : 9^{2x-4} \geq \left( \dfrac{1}{27} \right)^{x^2-4} adalah …

A. \left \{ x \mid -2 \leq x \leq \dfrac{10}{3} \right \}

B. \left \{ x \mid -\dfrac{10}{3} \leq x \leq 2 \right \}

C. \left \{ x \mid x \leq -\dfrac{10}{3} \text{ atau } x \geq 2 \right \}

D. \left \{ x \mid x \leq -2 \text{ atau } x \geq \dfrac{10}{3} \right \}

E. \left \{ x \mid -\dfrac{10}{3} \leq x \leq -2 \right \}

Pembahasan

9^{2x-4} \geq \left( \dfrac{1}{27} \right)^{x^2-4}

(3^2)^{2x-4} \geq \left( 3^{-3} \right)^{x^2-4}

3^{4x-8} \geq \left( 3 \right)^{-3x^2+12}

4x-8 \leq -3x^2+12

3x^2+4x-20 \leq 20

(3x+10)(x-2) \leq 0

x=-\dfrac{10}{3} atau x=2

Dengan menggunakan garis bilangan, diperoleh -\dfrac{10}{3} \leq x \leq 2

Jawaban : B

5.  Akar-akar persamaan ^2\log^2 x- 6 ^2\log x+8 = ^2\log 1 adalah x_1 dan x_2. Nilai x_1+x_2 = \ldots

A. 6

B. 8

C. 10

D. 12

E. 20

Pembahasan

^2\log^2 x- 6 ^2\log x+8 = ^2\log 1

(^2\log x)^2- 6 ^2\log x+8 = 0

misal m = ^2\log x, maka

m^2-6m+8 = 0

(m-2)(m-4) = 0

m=2 atau m=4

Untuk m = 2

^2\log x = 2

x = 2^2 = 4

Untuk m = 4

^2\log x = 4

x = 2^4 = 16

Jadi, x_1+x_2 = 4+16 = 20.

Jawaban : E

6.  Persamaan garis singgung melalui titik A(-2,-1) pada lingkaran x^2+y^2+12x- 6y+13 = 0 adalah …

A. -2x-y-5=0

B. x-y+1=0

C. x+2y+4=0

D. 3x-2y+4=0

E. 2x-y-3=0

Pembahasan.

x^2+y^2+12x- 6y+13 = 0

(x^2+12x)+ (y^2-6y)+13 = 0

(x^2+2(6x)+6^2-6^2)+ (y^2- 2(3y)+ 3^2-3^2)+13 = 0

(x+6)^2-36+ (y-3)^2 -9+13 = 0

(x+6)^2+(y-3)^2 = 32

Pusat lingkaran (-6,3) dan r = \sqrt{32}.

Persamaan garis singgung lingkaran : (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) = r^2

(-2-(-6))(x-(-6))+(-1-3)(y-3) = 32

4(x+6)+(-4)(y-3) = 32

4x+24-4y+12 = 32

4x-4y+4 = 0

x-y+1 = 0

Jawaban : B

7.  Salah satu faktor suku banyak P(x) = x^4-15x^2-10x+n adalah (x+2). Faktor lainnya adalah …

A. x-4

B. x+4

C. x+6

D. x-6

E. x-8

Pembahasan

x+2 merupakan salah satu faktor P(x) artinya P(-2)=0

P(-2) = (-2)^4-15(-2)^2-10(-2)+n

0 = 16-60+20+n

n = 24

Jadi, P(x) = x^4-15x^2-10x+24. Selanjutnya diperoleh

\dfrac{P(x)}{x+2} = x^3-2x^2-11x+12

Dengan menggunakan Metode Horner, persamaan x^3-2x^2-11x+12 mempunyai solusi x=4 atau x-4, yaitu

4^3-2(4^2)-11(4)+12 = 64-32-44+12 = 0

Jawaban : A

8.  Pada toko  buku  “Murah”  Adil  membeli  4  buku,  2  pulpen  dan  3  pensil  dengan harga  Rp 26.000,00.  Bima  membeli  3  buku,  3  pulpen,  dan  1  pensil dengan  harga  Rp  21.500,00.  Citra membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp 12.500,00. Jika Dina membeli 2 pulpen dan 2 pensil, maka ia harus membayar …

A. Rp5.000,00

B. Rp6.500,00

C. Rp10.000,00

D. Rp11.000,00

E. Rp13.000,00

Pembahasan

Misal : x = buku, y = pulpen, z = pensil

4x+2y+3z = 26.000 … (i)

3x+3y+z = 21.5000 … (ii)

3x+z = 12.500 … (iii)

Elminasi pers (i) dan (ii), diperoleh

4x+2y+3z = 26.000 (x3)

3x+3y+z = 21.5000 (x2)

——————————   –

12x+6y+9z = 78.000

6x+6y+2z = 43.000

————————–   –

6x+7z = 35.000 … (iv)

Elminasi pers (iii) dan (iv), diperoleh

3x+z = 12.500 (x2)

6x+7z = 35.000 (x1)

—————————   –

6x+2z = 25.000

6x+7z = 35.000

———————   –

-5z = -10.000

z = 2.000

Selanjutnya diperoleh

3x+z = 12.500

3x+2.000 = 12.500

3x = 10.500

x = 3.500

3x+3y+z = 21.5000

3(3.000)+3y+2.000 = 21.5000

9.000+3y+2.000 = 21.500

3y = 10.500

y = 3.500

Jadi, untuk membeli dua pulpen dan dua pensil, Dina harus membayar sebesar 2y+2z = 11.000.

Jawaban : D

9.  Daerah yang diarsir pada gambar merupakan himpunan penyelesaian suatu  sistem pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari f(x,y)= 7x+6y adalah …un_math_2008_19

A. 88

B. 94

C. 102

D. 106

E. 196

Pembahasan.

Dari gambar pada soal diperoleh, persamaan garis

12y + 20x = 20 \cdot 12

3y + 5x = 60 … (i)

18y + 15x = 18 \cdot 15

6y + 5x = 90 … (ii)

Eliminasi pers garis (i) dan (ii) untuk mendapatkan titik potong

3y + 5x = 60

6y + 5x = 90

——————– –

-3y = -30

y=10

6y + 5x = 90 \Rightarrow 60+5x=90 \Rightarrow x=6

Sehingga diperoleh titik potong (6,10). Jadi, diperoleh titik-titik yang merupakan calon titik maksimum yaitu (0,0), (12,0), (0,15) dan (6,10). Substitusi ke fungsi tujuan.

f(0,0) = 7(0)+6(0) = 0

f(12,0) = 7(12)+6(0) = 84

f(0,15) = 7(0)+6(15) = 90

f(6,10) = 7(6)+6(10) = 102 (nilai maksimum)

Jawaban : C

10.Seorang pembuat kue mempunyai 4 kg gula dan 9 kg tepung. Untuk membuat sebuah kue jenis A dibutuhkan 20 gram gula dan 60 gram tepung, sedangkan untuk membuat sebuah kue jenis B dibutuhkan 20 gram gula dan 40 gram tepung. Jika kue A dijual dengan harga Rp4.000,00/buah dan kue  B  dijual  dengan  harga  Rp3.000,00/buah,  maka  pendapatan  maksimum yang  dapat diperoleh pembuat kue tersebut adalah …

A. Rp600.000,00

B. Rp650.000,00

C. Rp700.000,00

D. Rp600.000,00

E. Rp600.000,00

Pembahasan

Misal : Kue A = x dan Kue B = y

Model matematika

20x+20y = 4000 \Rightarrow 2x+2y = 400 … (i)

60x+40y = 9000 \Rightarrow 3x+2y = 450 … (ii)

Fungsi Tujuan : f(x,y) = 4.000x+3.000y

Eliminasi pers (i) dan (ii), diperoleh x=50 dan y=150. Jadi, pendapatan maksimum adalah 4.000(50)+3.000(150) = 200.000+450.000 = 650.000

Jawaban :B

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s