Des 14 2014

Pembahasan Matematika UN SMA 2008 (3)

1. Diketahui vektor $\vec{a} = 2ti-j+3k$ , $\vec{b} = -ti+2j-5k$ dan $\vec{c} = 3ti+tj+k$ . Jika vektor $(\vec{a}+\vec{b})$ tegak lurus $\vec{c}$ , maka nilai $2t = \ldots$

A. -2 atau $\dfrac{4}{3}$

B. 2 atau $\dfrac{4}{3}$

C. 2 atau $-\dfrac{4}{3}$

D. 3 atau 2

E. -3 atau 2

Pembahasan

$\vec{a}+\vec{b} = \begin{pmatrix} 2t\\-1\\3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -t\\2\\-5 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} t\\1\\-2 \end{pmatrix}$

$(\vec{a}+\vec{b})$ tegak lurus $\vec{c}$ , artinya $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$

$\begin{pmatrix} t\\1\\-2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3t\\t\\ \end{pmatrix} = 0$

$3t^2+t-2 = 0$

$(3t+2)(t-1) = 0$

$t = -\dfrac{2}{3}$ atau $t=1$

Jadi, $2t = -\dfrac{4}{3}$ atau $2t=2$

Jawaban : C

2. Diketahui vektor $\vec{a} = \begin{pmatrix} -2\\3\\4 \end{pmatrix}$ dan $\vec{b} = \begin{pmatrix} x\\0\\3 \end{pmatrix}$ . Jika panjang proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah $\dfrac{4}{5}$ , maka satu nilai $x$ adalah …

A. 6

B. 4

C. 2

D. -4

E. -6

Pembahasan.

$Proy_a b = \dfrac{a \cdot b}{|b|^2}b$

$= \dfrac{(-2,3,4)(x,0,3)}{(\sqrt{x^2+0^2+3^2})^2}(x,0,3)$

$= \dfrac{-2x+0+12}{x^2+0+9}(x,0,3)$

$= \dfrac{-2x+12}{x^2+9}(x,0,3)$

Panjang proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$

$\dfrac{4}{5} = \sqrt{\left(\dfrac{-2x+12}{x^2+9} \right)^2(x^2+0^2+3^2)}$

$\left( \dfrac{4}{5} \right)^2 = \left(\dfrac{-2x+12}{x^2+9} \right)^2(x^2+9)$

$\dfrac{16}{25} = \dfrac{(-2x+12)^2}{x^2+9}$

$16(x^2+9) = 25(4x^2-48x+144)$

$16x^2+144 = 100x^2-1200x+3600$

$84x^2-1200x+3456=0$ (:12)

$7x^2-100x+288=0$

Dengan menggunakan Metode Horner, diperoleh $x=4$ merupakan salah satu solusi dari persamaan kuadrat di atas.

Jawaban : B

3. Persamaan parabola $y=x^2+4$ karena rotasi dengan pusat $O (0,0)$ sejauh $180^0$ adalah …

A. $x=y^2+4$

B. $x=-y^2+4$

C. $x=-y^2-4$

D. $y=-x^2-4$

E. $y=x^2+4$

Pembahasan

Rotasi :

$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos 180^0 & -\sin 180^0\\ \sin 180^0 & \cos 180^0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -x\\ -y \end{pmatrix}$

Hasil transformasi :

$y'=x'^2+4$

$-x=(-y)^2+4$

$y^2=-x-4$

Jawaban : D

4. Persamaan bayangan garis $4y+3x-2=0$ oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks $\begin{pmatrix} 0&-1\\1&1 \end{pmatrix}$ dilanjutkan matriks $\begin{pmatrix} 1&1\\1&-1 \end{pmatrix}$ adalah …

A. $8x+7y-4=0$

B. $8x+7y-2=0$

C. $x-2y-2=0$

D. $x+2y-2=0$

E. $5x+2y-2=0$

Pembahasan

$\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&-1\\1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -y\\x+y \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} x''\\y'' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -y\\x+y \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -y+x+y\\ -y-(x+y) \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} x\\ -2y-x \end{pmatrix}$

Hasil transformasi

$4y''+3x''-2=0$

$4(-2y-x)+3(x)-2=0$

$-8y-4x+3x-2=0$

$-8y-x-2=0$

Jawaban :

5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Jika sudut antara diagonal AG dengan bidang ABCD adalah $\alpha$ , maka $\sin \alpha$ adalah …

A. $\dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

B. $\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

C. $\dfrac{1}{3} \sqrt{3}$

D. $\dfrac{1}{2}$

E. $\dfrac{1}{3} \sqrt{2}$

Pembahasan

Dalam menyelesaikan soal ini, sudut antar diagonal AG dan bidang ABCD sama dengan sudut segi tiga ACG yang siku-siku di titik C. Perhatikan segitiga ACG

$AC = \sqrt{AB^2+BC^2}$

$= \sqrt{6^2+6^2}$

$= \sqrt{2 \cdot 6^2} = 6\sqrt{2}$

$AG = \sqrt{AC^2+CG^2}$

$= \sqrt{(6\sqrt{2})^2+6^2}$

$= \sqrt{2 \cdot 6^2+6^2}$

$= \sqrt{3 \cdot 6^2} = 6\sqrt{3}$

$\sin \alpha = \sin \angle CAG = \dfrac{CG}{AG} = \dfrac{6}{6\sqrt{3}} = \dfrac{1}{3} \sqrt{3}$

Jawaban : C

6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H dan garis AC adalah …

A. $8\sqrt{3}$

B. $8\sqrt{2}$

C. $4\sqrt{6}$

D. $4\sqrt{3}$

E. $4\sqrt{2}$

Pembahasan

Dalam menyelesaikan soal ini, jarak titik H ke garis AC merupakan sisi miring dari segi tiga APP’ dengan P dan P’ adalah berturut-turut titik tengah dari bidang ABCD dan EFGH.

$AC = \sqrt{AB^2+BC^2}$

$= \sqrt{8^2+8^2}$

$= \sqrt{2 \cdot 8^2} = 8\sqrt{2}$

$AP = \dfrac{1}{2} AC = 4\sqrt{2}$

$AP = HP' = 4\sqrt{2}$

Perhatikan segi tiga HPP’.

$HP =\sqrt{(PP')^2+(P'H)^2}$

$= \sqrt{8^2+(4\sqrt{2})^2}$

$= \sqrt{64+32}$

$= \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$

Jawaban : C

7. Himpunan penyelesaian persamaan $\cos 2x + 7 \sin x -4 = 0$ untuk $0^0<x<360^0$ adalah …

A. $\{ 240^0, 300^0 \}$

B. $\{ 210^0, 330^0 \}$

C. $\{ 120^0, 240^0 \}$

D. $\{ 60^0, 120^0 \}$

E. $\{ 30^0, 150^0 \}$

Pembahasan

$\cos 2x + 7 \sin x -4 = 0$

$\cos^2 x -\sin^2 x + 7 \sin x -4= 0$

$(1-\sin^2 x) -\sin^2 x + 7 \sin^2 x -4 = 0$

$1 -2 \sin^2 x + 7 \sin x -4= 0$

$-2\sin x + 7 \sin x -3 = 0$

$2\sin x -7 \sin x +3 = 0$

$(2\sin x -1)(\sin x -3)$

$\sin x = \dfrac{1}{2}$ atau $\sin x = -3$

a. untuk $\sin x = \dfrac{1}{2}$ , diperoleh $x = \{ 30^0, 150^0 \}$ .

b. untuk $\sin x = -3$ , tidak ada yang memenuhi.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $\{ 30^0, 150^0 \}$

Jawaban : E

8. Nilai dari $\dfrac{\cos 50^0 + \cos 40^0}{\sin 50^0 + \sin 40^0} = \ldots$

A. $1$

B. $\dfrac{1}{2} \sqrt{2}$

C. $0$

D. $-\dfrac{1}{2} \sqrt{3}$

E. $-1$

Pembahasan

$\dfrac{\cos 50^0 + \cos 40^0}{\sin 50^0 + \sin 40^0} = \dfrac{2 \cos \dfrac{1}{2} (50^0+40^0) \cos \dfrac{1}{2} (50^0-40^0)}{2 \sin \dfrac{1}{2} (50^0+40^0) + \cos \dfrac{1}{2}(50^0-40^0)}$

$= \dfrac{2 \cos 90^0 \cos 10^0}{2 \sin 90^0 \cos 10^0}$

$= \dfrac{\cos 90^0}{\sin 90^0}$

$= 0$

Jawaban : C

9. Jika $\tan \alpha = 1$ dan $\tan \beta = \dfrac{1}{3}$ dengan $\alpha$ dan $\beta$ sudut lancip, maka $\sin (\alpha-\beta) = \ldots$

A. $\dfrac{2}{3} \sqrt{5}$

B. $\dfrac{1}{5} \sqrt{5}$

C. $\dfrac{1}{2}$

D. $\dfrac{2}{5}$

E. $\dfrac{1}{5}$

Pembahasan

Jika menggunakan bantuan segi tiga (untuk $\tan \alpha$ ) dengan sisi tegak = 1 dan alas = 1, maka diperoleh sisi miring segi tiga adalah $\sqrt{2}$ . Sehingga diperoleh $\sin \alpha = \dfrac{1}{2} \sqrt{2}$ dan $\cos \alpha = \dfrac{1}{2} \sqrt{2}$ .

Selanjutnya dengan cara yang sama untuk $\tan \beta$ dengan sisi tegak = 1 dan alas = 3, maka diperoleh sisi miring segi tiga adalah $\sqrt{10}$ . Sehingga diperoleh $\sin \beta = \dfrac{1}{10} \sqrt{10}$ dan $\cos \beta = \dfrac{3}{10} \sqrt{10}$ .

$\sin (\alpha-\beta) = \sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

$= \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \dfrac{3}{10} \sqrt{10} -\dfrac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{10} \sqrt{10}$

$= \dfrac{3}{20} \sqrt{20} -\dfrac{1}{20} \sqrt{20}$

$= \dfrac{2}{20} \sqrt{20}$

$= \dfrac{1}{5} \sqrt{5}$

Jawaban : B

10.Diketahui segitiga MAB dengan AB = 300 cm, sudut MAB = 60⁰ dan sudut ABM = 75⁰. Maka AM = …

A. $150(1+\sqrt{3})cm$

B. $150(\sqrt{2}+\sqrt{3})cm$

C. $150(3+\sqrt{3})cm$

D. $150(\sqrt{2}+\sqrt{6})cm$

E. $150(\sqrt{3}+\sqrt{6})cm$

Pembahasan

$\angle AMB = 180^0-60^0-75^0 = 45^0$

$\dfrac{\sin \angle AMB}{AB} = \dfrac{\sin \angle ABM }{AM}$

$\dfrac{\sin 45^0}{300} = \dfrac{\sin 75^0}{AM}$

$\dfrac{\dfrac{1}{2} \sqrt{2}}{300} = \dfrac{\sin (45^0+30^0)}{AM}$

$\dfrac{1}{2}\sqrt{2} AM = 300(\sin 45^0 \cos 30^0 + \cos 45^0 \sin 30^0)$

$\dfrac{1}{2} \sqrt{2} AM = 300(\dfrac{1}{2} \sqrt{2} \dfrac{1}{2} \sqrt{3} + \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \dfrac{1}{2})$

$\dfrac{1}{2} \sqrt{2}{AM} = 300(\dfrac{1}{4} \sqrt{6} + \dfrac{1}{4} \sqrt{2})$

$AM = \dfrac{150(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{2}}$

$= \dfrac{150(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$= \dfrac{150(\sqrt{12} + 2)}{2}$

$= \dfrac{150(2\sqrt{3} + 2)}{2}$

$= 150(\sqrt{3} + 1)$

Jawaban : A

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

Ketikkan komentar di sini...

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Email (wajib) (Alamat takkan pernah dipublikasikan)

Nama (wajib)

Situs web

You are commenting using your WordPress.com account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Twitter account. ( Logout / Ubah )

You are commenting using your Facebook account. ( Logout / Ubah )

Batal

Connecting to %s

	PRP pada Pembuktian Rumus Trigonometri…
	PRP pada Pembuktian Rumus Trigonometri…
	olis mukhlisoh pada Metode Bagi-Dua (Bisection…
	Nurul pada Pembuktian Integral sec x dx =…
	Silas pada Garis Singgung Persekutuan Dal…
	Wga pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Redi pada Tanya Jawab MATEMATIKA
	Nathan pada Jasa Jawab Soal
	Ravael pada Jasa Jawab Soal
	Cahwa pada Operator Matematika di Ex…

Share this:

Menyukai ini:

Terkait

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan