Pembahasan Matematika UN SMA 2008 (4)


1.  Nilai dari \lim_{x \to 2}\dfrac{x^3-4x}{x-2} = \ldots

A. 32

B. 16

C. 8

D. 4

E. 2

Pembahasan

\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3-4x}{x-2} = \lim_{x \to 2} \dfrac{x(x^2-4)}{x-2}

= \lim_{x \to 2} \dfrac{x(x+2)(x-2)}{x-2}

= \lim_{x \to 2} x(x+2)

= 8

Jawaban : C

2.  Diketahui f(x) = \dfrac{x^2+3}{2x+1}. Jika f'(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0)+2f'(0) = \ldots

A. -10

B. -9

C. -7

D. -5

E. -3

Pembahasan

f(x) = \dfrac{u}{v} \Rightarrow f'(x) = \dfrac{u'v-v'u}{u^2}

f'(x) = \dfrac{2x(2x+1)-2(x^2+3)}{(2x+1)^2}

= \dfrac{4x^2+2x-2x^2-6}{4x^2+4x+1}

= \dfrac{6x^2+2x-6}{4x^2+4x+1}

f(0) = \dfrac{0^2+3}{2(0)+1} = 3

f'(0) = \dfrac{6(0)^2+2(0)-6}{4(0)^2+4(0)+1} = -6

f(0)+2f'(0) = 3+2(-6) = -9

Jawaban : B

3.  Sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi, mempunyai volume 4 m3 terbuat dari selembar karton. Agar karton yang diperlukan sedikit mungkin, maka ukuran panjang, lebar dan tinggi kotak berturut-turut adalah …

A. 2 m, 1 m, 2 m

B. 2 m, 2 m, 1 m

C. 1 m, 2 m, 2 m

D. 4 m, 1 m, 1 m

E. 1 m, 1 m, 4 m

Pembahasan

Volume = p \times l \times t (NOTE : p = l)

4m^3 = p^2 \times t

t = \dfrac{4m^3}{p^2}

Luas Karton = 2(p \times t + l \times t) + p \times l

 = 2 \left( p \times \dfrac{4m^3}{p^2} + p \times \dfrac{4m^3}{p^2} \right) + p^2

 = 2\left( \dfrac{4m^3}{p} + \dfrac{4m^3}{p} \right) + p^2

Agar menggunakan karton seminim mungkin, maka haruslah turunan pertama dari fungsi luas karton sama dengan nol.

2\left( -\dfrac{4}{p^2} -\dfrac{4}{p^2} \right) + 2p = 0

2(-4-4)+2p^3 = 0

2p^3-16=0

p^3=8

p=2

Karena p=l, berakibat l=2. Lebih jauh, t=1

Jawaban : B

4.  Turunan pertama dari y =\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x} adalah y' = \ldots

A. \dfrac{\cos x}{(\sin x+\cos x)^2}

B. \dfrac{1}{(\sin x+\cos x)^2}

C. \dfrac{2}{(\sin x+\cos x)^2}

D. \dfrac{\sin x-\cos x}{(\sin x+\cos x)^2}

E. \dfrac{2 \sin x \cos x}{(\sin x+\cos x)^2}

Pembahasan

y = \dfrac{u}{v} \Rightarrow y' = \dfrac{u'v-v'u}{u^2}

y' = \dfrac{\cos x(\sin x+\cos x)-(\cos x-\sin x)\cos x}{(\sin x+\cos x)^2}

= \dfrac{\cos x \sin x + \cos^2 x-\cos^2 x + \sin x \cos x}{(\sin x+\cos x)^2}

= \dfrac{2 \cos x \sin x}{(\sin x+\cos x)^2}

Jawaban : E

5.  Hasil dari \int \cos^2 x \sin x ~dx = \ldots

A. \dfrac{1}{3} \cos^3 x +C

B. -\dfrac{1}{3} \cos^3 x +C

C. -\dfrac{1}{3} \sin^3 x +C

D. \dfrac{1}{3} \sin^3 x +C

E. 3 \sin^3 x +C

Pembahasan

misal u = \cos x \Rightarrow du = -\sin x ~dx

\int \cos^2 x \sin x ~dx = \int -u^2 ~ du

= -\dfrac{1}{3}u^3 + C

= -\dfrac{1}{3} \cos^3 x + C

Jawaban : B

6.  Hasil \int_1^4 \dfrac{2}{x\sqrt{x}}~dx = \ldots

A. -12

B. -4

C. -3

D. 2

E. \dfrac{3}{2}

Pembahasan

\int_1^4 \dfrac{2}{x\sqrt{x}}~dx = 2x^{-\frac{3}{2}}~dx

= 2 \dfrac{1}{-\frac{1}{2}} x^{-\frac{1}{2}} \mid_1^4

= -\dfrac{4}{\sqrt{x}} \mid_1^4

= -\dfrac{4}{\sqrt{4}}- \left(-\dfrac{4}{\sqrt{1}} \right)

= -2+4 = 2

Jawaban : D

7.  Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=-x^2+4x, sumbu X, garis x=1, dan x=3 adalah …

A. 3\dfrac{2}{3} satuan

B. 5\dfrac{1}{3} satuan

C. 7\dfrac{1}{3} satuan

D. 9\dfrac{1}{3} satuan

E. 10\dfrac{2}{3} satuan

Pembahasan.

un_math_2008_37Menentukan batas-batas.

y = 0

x^2+4x = 0

x(x-4) = 0

Penyelesaian dari y adalah x_1 = 0 dan x_2=4. Jadi, diperoleh batas-batasnya adalah x_1 = 1 dan x_2=3

Luas = \int_{1}^3 (x^2-4x) ~dx

= \dfrac{1}{3}x^3-2x^2 \mid_1^4

= \left( \dfrac{1}{3}3^3-2(3)^2 \right)- \left( \dfrac{1}{3}1^3-2(1)^2 \right)

= 9-18-\dfrac{1}{3}+2

= -7-\dfrac{1}{3}

= 7\dfrac{1}{3}

Jawaban : C

8.  Volume anda putar yang terbentuk jika daerah yang dibatasi oleh kurva x-y^2+1=0, -1 \leq x \leq 4, dan sumbu X sejauh 360^0 adalah …

A. 8 \dfrac{1}{2} \pi satuan volume

B. 9 \dfrac{1}{2} \pi satuan volume

C. 11 \dfrac{1}{2} \pi satuan volume

D. 12 \dfrac{1}{2} \pi satuan volume

E. 13 \dfrac{1}{2} \pi satuan volume

Pembahasan.

un_math_2008_38Batas-batas :

y=0

0 = \sqrt{x+1}

x+1 = 0

x = -1

Jadi, batas-batasnya adalah x_1=-1 dan x_2=4.

Volume = \pi \int_{-1}^4 y^2 ~dx

= \pi \int_{-1}^4 (x+1) ~dx

= \pi \left( \dfrac{1}{2}x^2+x \right) \mid_{-1}^4

= \pi \left( \left( \dfrac{1}{2}4^2+4 \right)- \left( \dfrac{1}{2}(-1)^2+(-1) \right) \right)

= \pi (8+4-\dfrac{1}{2}-1)

= 11 \dfrac{1}{2} \pi

Jawaban : C

9.  Dua buah dadu dilempar undi secara bersamaan sebanyak satu kali. Peluang kejadian muncul jumlah mata dadu 9 atau 11 adalah …

A. \dfrac{1}{2}

B. \dfrac{1}{4}

C. \dfrac{1}{6}

D. \dfrac{1}{8}

E. \dfrac{1}{12}

Pembahasan.

 

1

2

3

4

5

6

1

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(1,4)

(1,5)

(1,6)

2

(2,1)

(2,2)

(2,3)

(2,4)

(2,5)

(2,6)

3

(3,1)

(3,2)

(3,3)

(3,4)

(3,5)

(3,6)

4

(4,1)

(4,2)

(4,3)

(4,4)

(4,5)

(4,6)

5

(5,1)

(5,2)

(5,3)

(5,4)

(5,5)

(5,6)

6

(6,1)

(6,2)

(6,3)

(6,4)

(6,5)

(6,6)

Peluang = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}

Jawaban : C

10.Perhatikan data berikut!

Berat Badan

f

50-54

55-59

60-64

65-69

70-74

75-79

4

6

8

10

8

4

Kuartil atas dari data pada tabel tersebut adalah …

A. 69,50 cm

B. 70,00 cm

C. 70,50 cm

D. 70,75 cm

E. 71,00 cm

Pembahasan.

Quartil : Q_i = b_i + l \left( \dfrac{\dfrac{i}{4}N -F}{f} \right)

Q_i : kuartil ke-i

b_i : tepi bawah kelas quartil ke-i

N : banyaknya data

F : frekuensi komulatif kelas sebelum kuartil

l : lebar kelas

f : frekuensi kelas quartil

Letak Q_3 pada frekuensi = \dfrac{3}{4}40 = 30. Jadi, letak Q_3 pada data ke-30, yaitu pada interval 70-74.

Q_3 = 69,5 + 5 \left( \dfrac{\dfrac{3}{4}40-28}{8} \right)

= 69,5 + 5 \left( \dfrac{2}{8} \right)

= 69,5 + 1,25 = 70,75

Jawaban : D

NOTE : silahkan dikoreksi dan berikan komentar jika ada kesalahan atau masih ada keambiguan baik dalam soal maupun penyelesaian soal ini.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s